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TruEnemy	Verfasst am: 16. Jun 2013 17:16    Titel: Übrigens hätte ich mein Ergebnis aus Teil a noch umformen können: Und mit Hilfe der 'modifizierten' Hamilton-Jacobi-Gleichung hätte ich 'nur' die zeitliche Ableitung von S berechnen müssen. Aber auch der etwas anstrengendere Weg, erst R und S und damit dann den lokalen Erwartungswert von H zu berechen, war richtig. Du deiner Frage mit dem Teilen durch |psi|^2: KA wieso er das dann in der Vorlesung so hingeschrieben hatte ...
TruEnemy	Verfasst am: 16. Jun 2013 16:32    Titel: Ja, sorry, die 'normale' QM-Vorlesung ist schon eine Weile her und ich hatte seitdem mit komplexen Zahlen relativ wenig zu tun. Ich muss da halt erst wieder reinfinden. Zudem hat mich die Aufgabe irgendwie to- tal verwirrt. Sorry nochmal, und vielen Dank für deine Hilfe ...
TomS	Verfasst am: 11. Jun 2013 15:22    Titel: na, dann solltest du das mal lernen - und dich anschließend wieder an die QM setzen; sonst ist das alles ziemlich sinnlos :-(
TruEnemy	Verfasst am: 11. Jun 2013 14:37    Titel: Zitat: Sag mal, hast du evtl. grundsätzliche Probleme mit komplexen Zahlen?? Evtl.
TomS	Verfasst am: 11. Jun 2013 14:14    Titel: TruEnemy hat Folgendes geschrieben: Selbstkonsistente Gleichung?! Ist der Imaginärteil von psi zufällig -(E_0 + E_1)t? Und der Realteil die Amplituden? Sag mal, hast du evtl. grundsätzliche Probleme mit komplexen Zahlen?? R ist der Betrag und S die Phase, das hat nichts mit Real- und Imaginärtiel zu tun. Für das gegebene psi ist das naturgemäß komplizierter, da die A's ebenfalls komplex sind und da zu eine Summe zweier Terme hast. Eine mögliche (explizite) Darstellung (mit reellen r's und s's jeweils als Funktionen von x) wäre Du must eben probieren und einen vernünftigen Ansatz finden.
TruEnemy	Verfasst am: 11. Jun 2013 14:09    Titel: Selbstkonsistente Gleichung?! Ist der Imaginärteil von psi zufällig -(E_0 + E_1)t? Und der Realteil die Amplituden?
TomS	Verfasst am: 11. Jun 2013 13:51    Titel: TruEnemy hat Folgendes geschrieben: So, und jetzt die spezielle Form von psi und ausrechnen. TruEnemy hat Folgendes geschrieben: Falls stimmt, wieso ist dann in der in der Aufgabe gegebenen Formel ...immer noch S im Tangens vorhanden? Das weiß ich nicht, ich hab das noch nicht gerechnet; jetzt musst du mal ein paar Gehversuche machen ... TruEnemy hat Folgendes geschrieben: Und es handelt sich doch bei psi nicht wirklich um eine komplexe Zahl, sondern um ein Funktional, oder nicht?? psi ist eine komplexe Funktion von x und t, d.h. an jedem Punkt (lokal) gelten die o.g. Beziehungen. R und S sind damit Funktionen von x und t.
TruEnemy	Verfasst am: 11. Jun 2013 12:45    Titel: Ich verstehe zwar immer noch nicht, wieso ich das nicht auf 'meine Weise' machen kann, aber OK ... was soll's ... ist also Falls stimmt, wieso ist dann in der in der Aufgabe gegebenen Formel immer noch S im Tangens vorhanden? Und es handelt sich doch bei psi nicht wirklich um eine komplexe Zahl, sondern um ein Funktional, oder nicht??
TomS	Verfasst am: 11. Jun 2013 12:26    Titel: Also nochmal; für eine komplexe Zahl gelte: Also und Und da musst du jetzt dein einsetzen. Für R folgt dann plus ausmultiplizieren. Für S wird das etwas länglich, aber man muss wohl wiederum nur stupide einsetzen. Die anschließenden Rechnungen werden wohl ziemlich eklig, ich kann aber jetzt nicht erkennen, dass es da eine Abkürzung gibt.
TruEnemy	Verfasst am: 11. Jun 2013 12:17    Titel: Zitat: 1) berechne R und S aus dem Ansatz für psi 2) berechne daraus den lokalen Erwartungswert für H (zumindest ist das mein Verständnis der Aufgabe) Jaaa, DAS ist mir ja klar. Zumindest (1) habe ich ja versucht zu machen. Wäre gegeben, wäre ja einfach . Mich verwirrt es aber, dass hier aber eine Summe aus zwei verschiedenen Anteilen ist. Mein Ansatz, das zu 'lösen', war aber anscheins falsch. Zitat: Allerdings verstehe ich nicht, wozu der lokale Erwartungsweert hier gut sein soll; und du musst ihn auch keineswegs in der (R,S) Darstellung berechnen; eine Darstellung von psi ist so gut wie die andere, physikalische Größen hängen ja nicht von der Schreibweise einer Funktion ab Doch, ich denke, das will er hier sicher sehen. Wieso sonst auch hätte ich ihn in Teil a herleiten sollen Der Dozent ist an dieser Stelle schon sehr genau. Eine andere Berechnung würde wahr- scheins bedeuten, dass ich DIESE Aufgabe nicht richtig gelöst habe.
TomS	Verfasst am: 11. Jun 2013 12:09    Titel: Na, ganz einfach. 1) berechne R und S aus dem Ansatz für psi 2) berechne daraus den lokalen Erwartungswert für H (zumindest ist das mein Verständnis der Aufgabe) Allerdings verstehe ich nicht, wozu der lokale Erwartungsweert hier gut sein soll; und du musst ihn auch keineswegs in der (R,S) Darstellung berechnen; eine Darstellung von psi ist so gut wie die andere, physikalische Größen hängen ja nicht von der Schreibweise einer Funktion ab
TruEnemy	Verfasst am: 11. Jun 2013 12:02    Titel: Nope, sorry, ich komme nicht drauf, was du mir sagen willst.
TruEnemy	Verfasst am: 11. Jun 2013 10:57    Titel: Dann sehe ich wohl leider den Wald vor lauter Bäumen nicht. Ich verstehe nicht, was mir hier R^2 bringen soll ... ich will ja R und S auf dem psi-Ansatz 'extrahieren' und dann in meinen lokalen Erwartungswert einsetzen ...
TomS	Verfasst am: 11. Jun 2013 10:51    Titel: zu kompliziert
TruEnemy	Verfasst am: 11. Jun 2013 10:40    Titel: Nützlicher Hinweis Kann das aber gerade nicht mit dem Ansatz für \psi verbasteln. Oder gilt, dass
TomS	Verfasst am: 11. Jun 2013 10:27    Titel: TruEnemy hat Folgendes geschrieben: Wie soll ich denn aus der gegebenen Wellenfunktion R und S berechnen? [/latex] Für eine komplexe Zahl gelte: Also und
TruEnemy	Verfasst am: 11. Jun 2013 10:18    Titel: Wie soll ich denn aus der gegebenen Wellenfunktion R und S berechnen? Ich könnte lediglich sagen, dass ist?! Und, Ja, ich glaube auch, dass der lokale Er- wartungswert der Energie der Bohm'schen Trajektorien entspricht. D.h. also, ich müsste oben in mein R und S einsetzen und berechnen.
TomS	Verfasst am: 11. Jun 2013 08:27    Titel: TruEnemy hat Folgendes geschrieben: Sei das Spektrum von H diskret mit Eigenwerten E_j, j >= 0. Zeigen Sie, dass die Grundzustandsenergie E_0 keine untere Grenze für die Energie der Bohm'schen Trajektorien ist. Hin- weis: Benutzen Sie den folgenden Ansatz für die Wellenfunktion und zeigen Sie damit, dass sodann folgendes gilt: wobei S die Phase von psi bezeichnet. Differenzieren Sie die obige Gleichung nach der Zeit, um die Energie der Trajektorien zu erhalten und zeigen sie, dass diese für kleiner als E_0 werden kann. Nun, zunächst würde ich genau das machen, was dasteht, nämlich R und S aus der Wellenfunktion berechnen. Der für mich (!) unklare Punkt ist die "Energie der Bohm'schen Trajektorie"; ist das nun gerade der lokale Erwartungswert? Wenn ja, dann musst du den eben ausrechen. Ich gehe davon aus, dass du dabei irgendwie auf die o.g. Beziehung kommen wirst bzw. musst.
TruEnemy	Verfasst am: 11. Jun 2013 07:45    Titel: Also ich finde bei Teil b einfach keinen Ansatz, mal loszurechen
TruEnemy	Verfasst am: 10. Jun 2013 23:25    Titel: Wie gesagt, nicht weiter wichtig Vll hilft das hier bei der b weiter??
TomS	Verfasst am: 10. Jun 2013 23:11    Titel: Sorry, ich hab übersehen, dass du ein S/hbar im Exponenten stehen hast
TruEnemy	Verfasst am: 10. Jun 2013 23:07    Titel: Ich habe bei R'' eigentlich keine hbars ... nochmal, auch wenn's nervt: Ich wüsste auch nicht, wie durch alleiniges Differenzieren von R hbars dazukommen sollen? Ist ja aber eigentlich auch nicht so wichtig ... Sorgen bereitet mir der Aufgabenteil b, da zwar der Ansatz recht schön aussieht, aber ich wirklich keine Ahnung habe, wo ich den einsetzen soll ... oder wie kommt man sonst auf diesen Tangens-Ausdruck!? Kein Plan ...
TomS	Verfasst am: 10. Jun 2013 16:37    Titel: Das hbar war bei dir schon falsch; jede Ableitung ist mit einem hbar versehen, d.h. sowohl bei R'' als auch bei (S')^2 Den Rest muss ich mir mal in Ruhe anschauen, ich kenn' mich mit den Details der Bohmschen Formulierung nicht genau aus ...
TruEnemy	Verfasst am: 10. Jun 2013 16:21    Titel: Zitat: Wenn du das \hbar^2 herausziehst, müsste es dann nicht lauten: Zitat: Die Potenz von R im Nenner passt aber noch nicht ... Ja, das stimmt, da hatte ich offensichtlich ein Quadrat zu viel Zitat: Jetzt kommt es darauf an, wozu du das brauchst. ... Das ist die Frage. Mehr als das, was im Skript steht, und mehr als die explizite Aufgabenstellung habe ich auch nicht. Ich kann mir ehrlich gesagt auch nichts unter einem lokalen Erwartungs- wert vorstellen. Der Dozent ist auch relativ strange ... naja. Vielleicht hilft ja der Aufgabenteil b weiter (wahrscheins nicht). "Sei das Spektrum von H diskret mit Eigenwerten E_j, j >= 0. Zeigen Sie, dass die Grundzustandsenergie E_0 keine untere Grenze für die Energie der Bohm'schen Trajektorien ist. Hin- weis: Benutzen Sie den folgenden Ansatz für die Wellenfunktion und zeigen Sie damit, dass sodann folgendes gilt: wobei S die Phase von psi bezeichnet. Differenzieren Sie die obige Gleichung nach der Zeit, um die Energie der Trajektorien zu erhalten und zeigen sie, dass diese für kleiner als E_0 werden kann. Wo fang ich da denn an??
TomS	Verfasst am: 10. Jun 2013 14:47    Titel: Anyway - frag' doch mal, wozu dieser lokale Erwartungswert (mit dem Nenner, den man im Integral wieder dazumultiplizieren muss) gut sein soll - ich kann's mir nicht denken, keiner verwendet das, ... ist das irgendwas spezielles in der Bohmschen QM?
TomS	Verfasst am: 10. Jun 2013 14:44    Titel: Ich denke, deine folgende Gleichung (hab' sie leicht umgeschrieben) müsste stimmen. Jetzt kommt es darauf an, wozu du das brauchst. Unter der Voraussetzung, dass du nur integrieren willst, kannst du noch wie bei einer partiellen Integration umstellen Die Potenz von R im Nenner passt aber noch nicht; R geht nur quadratisch ein, d.h. du bekommst
TruEnemy	Verfasst am: 10. Jun 2013 14:18    Titel: Tut mir Leid, es ist eigentlich wirklich kein Hexenwerk, ich ver- schicke mich nur selbst wegen der ganzen Rumrechnerei ... Ich soll es für keinen expliziten Zustand ausrechnen, nehme ich an. Ich habe leider auch nicht mehr als die Aufgabenstellung, die ich dir vor einigen Postes geschrieben habe. Da steht aber auch nichts von einem harmonischen Oszillator drinne ... Deine Einwände sind alle berechtigt, habe mal ein Minus ver- gessen, und die ' müssen natürlich Nablae sein. Also nochmal: Schwere Geburt ... das sollte nun aber stimmen?! Wenn ich nun habe, bekomme ich also insgesamt:
TomS	Verfasst am: 10. Jun 2013 13:53    Titel: Einiges passt noch nicht. Im Exponenten hast du einmal iS und einmal -iS, d.h. zuletzt heben sich die Exponenten gegenseitig weg; du hast aber ein exp(2iS) da stehen. Den reellen Term mit S'' verstehe ich nicht, S'' entsteht doch durch einmaliges Ableiten von exp(iS), dann hast du ein iS', sowie nochmaliges Ableiten des S', d.h. das i bleibt. Den in S' quadratischen Term hast du vergessen. Bei deinem V fehlt ein R. Alle imaginären Terme kannst du eigtl. wg. Realteil weglassen. Ist kein Hexenwerk, du musst nur sehr sorgfältig auf die Differentationsregeln achten. Und zuletzt habe ich das Ergebnis nur für die x-Komponenten durchgerechnet, daher das '. Du musst das aber für den Laplace durchführen, d.h. ein ' entspricht dem Gradient, ein '' dann wieder dem Laplace. Für welchen Zustand sollst du das eigtl. ausrechnen? Bisher ist das alles allgemein gültig, zu Beginn war aber die Rede vom harmonischen Oszillator. Für einen Eigenzustand u(x) gilt aber Hu = Eu, d.h. du könntest dir die ganze Rechnerei sparen.
TruEnemy	Verfasst am: 10. Jun 2013 13:33    Titel: Ja, es ist also doch die 'Wirkungsrichtung' zu beachten ... Stimmt das so? Kann ich nun ...
TomS	Verfasst am: 10. Jun 2013 07:03    Titel: Der Laplaceoperator wirkt als Differentialoperator nach rechts auf R*exp(iS); du musst zweimal ableiten und dabei die Produktregel der Differentation anwenden; am Bsp. der x-Ableitung: Für den lokalen Erwartungswert der kin. Energie müsste dann sowas wie herauskommen (deine Rechnung stimmt für den Potentialterm)
TruEnemy	Verfasst am: 09. Jun 2013 23:41    Titel: OK, dann müsste das soweit also korrekt sein ... Darf ich an dieser Stelle eigentlich ausmultiplizier- en? Ich bin mir da wegen der Rechtswirkung des (Impuls-)Operators nicht mehr sicher Falls Ja, wäre das wohl aber ziemlich witzlos, also eher nein
TomS	Verfasst am: 09. Jun 2013 22:42    Titel: Die Bohmsche QM ist an der Stelle exakt äquivalent zur "Standard"-QM.
TruEnemy	Verfasst am: 09. Jun 2013 21:45    Titel: Sorry, du meinst den Impulsoperator in der Ortsdarstellung einsetzen? Ich bin mir da etwas unsicher, das einzusetzen, denn wir haben in der klassischen Mechanik ja oft von gesprochen,wobei S die Ha- milton'sche Prinzipalfunktion ist. Da wir unser aber in der 'Bohm'schen Quantenmechanik' befinden, ist hier der allseitsbekannte Impulsopera- tor schon richtig, oder?
TomS	Verfasst am: 09. Jun 2013 21:01    Titel: Soweit so gut; jetzt musst du noch das Quadrat des Impulses = den Laplaceoperator tatsächlich anwenden.
TruEnemy	Verfasst am: 09. Jun 2013 16:39    Titel:
TomS	Verfasst am: 08. Jun 2013 08:51    Titel: TruEnemy hat Folgendes geschrieben: "Betrachten Sie einen zeitunabhängigen Hamiltonoperator H eines Ein-Teilchen-Systems in drei Raumdimensionen ohne Magnetfelder. Komische Angabe; das bedeutet wohl einen Potentialtem V(x), aber man kann sich da allerlei zusammenreimen. TruEnemy hat Folgendes geschrieben: Stellen Sie die Wellenfunktion wieder durch ihren Betrag und ihre Phase dar." Ja, dann sollst du wohl den Ansatz R*exp(iS) einsetzen. Außerdem sollst du wohl für den kinetische Anteil explizit den Laplace-Operator einsetzen und die Differentation durchführen. Ich hab' deinen Beitrag irgendwie übersehen; ich schau' mir die Rechnung dann nochmal an.
TruEnemy	Verfasst am: 08. Jun 2013 08:42    Titel: Hallo?
TruEnemy	Verfasst am: 05. Jun 2013 13:51    Titel: Eventuell sollte ich doch noch die explizite Aufgabenstellung posten: "Betrachten Sie einen zeitunabhängigen Hamiltonoperator H eines Ein-Teilchen-Systems in drei Raumdimensionen ohne Magnetfelder. Berechnen Sie den lokalen Erwartungswert von H. Hinweis: Stellen Sie die Wellenfunktion wieder durch ihren Betrag und ihre Phase dar." In wie weit das nun deine Frage beantwortet ... kA ... ich nehme an, dass ich es allgemein berechnen soll. H ist ja auch nicht explizit ge- geben, aber ich habe einfach mal den obigen Ansatz gemacht. Falsch?
TomS	Verfasst am: 05. Jun 2013 13:17    Titel: Hallo, jetzt hab' ich's verstanden. Ist m.E. nur nutzloses Umschreiben des üblichen Erwartungswertes. Zu berechnen ist also der lokale Erwartungswert des Hamiltonoperators Im Falle deshamronischen Oszillators sind die (stationären) Eigenfunktion rein reell (bis auf eine rein zeitabhängige Phase, auf die H aber nicht wirkt), d.h. das Umschreiben der Wellenfunktion als R*exp(iS) wie in der Bohmschen Mechanik üblich ist hier nicht nötig. Oder sollst du das zunächst allgemein berechnen und dann anschließend speziell für Eigenfunktionen?
TruEnemy	Verfasst am: 05. Jun 2013 11:08    Titel: Re: Lokaler Erwartungswert TomS hat Folgendes geschrieben: Wie lautet denn die Definition und die Aufgabenstellung im Orginal? Exakt so, wie ich sie oben geschrieben habe. Ich hätte vielleicht erwähnen sollen, dass wir uns hier in der Bohm'schen Mechanik befinden. Hierzu vll folgendes:

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