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scaer93	Verfasst am: 27. Apr 2013 08:35    Titel: Hi, danke für die Bemerkungen. Ich hatte zuerst an das Mantra "Wurzel hat zwei Lösungen" gedacht, dann aber genau wegen deiner Begründung die eine vernachlässigt. Wolfram-Alpha kann bestimmte Integrale berechnen? Danke für den Tipp... Grüße
Huggy	Verfasst am: 27. Apr 2013 07:52    Titel: Noch zwei Schlussbemerkungen: (1) Nach der Integration über r' entstand entstand der Ausdruck . Den hast du vereinfacht zu z - z'. Das ist nur richtig für z - z' >= 0, d h. z >= z'. Da das Potential laut Aufgabe für z > L bestimmt werden soll, ist diese Bedingung erfüllt. Will man das Potential auch für -L < z < L bestimmen, d. h. innerhalb des Zylinders, gibt es auch Bereiche mit z < z'. Dort gilt . Man muss dann das Integral über z' in zwei Teile aufspalten. (2) Von Wolfram kann man sich auch bestimmte Integrale berechnen lassen.
scaer93	Verfasst am: 26. Apr 2013 19:39    Titel: Ja, genau das meinte ich. Dann bin ich jetzt aber froh... Danke sehr....
Huggy	Verfasst am: 26. Apr 2013 19:37    Titel: scaer93 hat Folgendes geschrieben: Stimmt es nun, wenn man für a nun L minus -L einsetzten würde? Wenn du damit meinst, man solle für die obere Grenze L und die untere Grenze -L einsetzen und dann den zweiten Term von dem ersten abziehen, dann stimmt das.
scaer93	Verfasst am: 26. Apr 2013 18:45    Titel: Hi, gut, wenn die Lösung des dr-Integrals passt, sollte doch dann wohl: in den Grenzen 0 bis R folgt dann doch wohl: Dieses Q muss ich nun Integrieren von -L bis L, also das dz'-Integral: Laut Wolfram Alpha kommt da das raus: http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate+%28sqrt%28%28z-a%29%5E%282%29%2Br%5E%282%29%29-%28z-a%29%29+da Mit a=z'! Stimmt es nun, wenn man für a nun L minus -L einsetzten würde? Grüße
Huggy	Verfasst am: 26. Apr 2013 18:26    Titel: Es ist zum Verzweifeln: Das unbestimmte Integral stimmt. Das bestimmte Integral stimmt nicht! Also korrigiere das, bevor du dich mit dem Integral über z' befasst. Mit den Helferlein, die einem heute zur Verfügung stehen, ist die Aussage, das bekomme ich nicht hin, unverständlich. Es ist übrigens nicht nützlich auszumultplizieren. Das verbleibende Integral wird etwas übersichtlicher, wenn man die Substitution ' macht. Dann steht es in jeder Formelsammlung. Und Wolfram sollte eh, auch ohne Substitution, kein Problem damit haben.
scaer93	Verfasst am: 26. Apr 2013 17:02    Titel: Oh, das habe ich tatsächlich übersehen. Irgendwie kam ich mit den Strichen durcheinander... So, nun aber: 1. Lösung des dr-Integrals: (unbestimmt) => nun habe ich zu lösen, was ich leider nicht hinbekomme....
Huggy	Verfasst am: 26. Apr 2013 16:43    Titel: Irgendetwas läuft bei dir noch mächtig schief. Ich weiß nur nicht was, das Integrieren, die Bedeutung der Variablen, die Sorgfalt oder vielleicht eine Mischung? Also nochmal die bisherigen Schritte und dabei verwende ich, damit es keine Missverständnisse gibt, jetzt konsequent für den Aufpunkt ungestrichene Variablen und für die Integrationsvariablen gestrichene Variablen. Zu berechnen ist: Es ist und es soll der Spezialfall betrachtet werden. Deswegen ändert die Umrechnung in Zylinderkoordinaten nichts. Es ist . Damit ergab sich: Ferner ist . Das zu berechnende Integral lautet jetzt: Und jetzt schau dir nochmal das Integral über r' an. r' steht nicht nur im Zähler sondern auch im Nenner unter der Wurzel.
scaer93	Verfasst am: 26. Apr 2013 15:08    Titel: Hi, warum? Hab ich doch... Zusammen...oh, das fehlt..., aber insgesamt ergibt sich: Für das Potential..oder? Ich weiß einfach nicht, was du meinst, was falsch ist. Das fehlende Pi war wirklich mein Fehler, den ich jetzt gesehen habe, aber sonst...Keine Ahnung. Könntest du mir bitte noch helfen?
Huggy	Verfasst am: 26. Apr 2013 07:12    Titel: Nein, das kommt nicht heraus. Ich bin erschüttert, wie wenig Mühe du dir gibst. Du hast doch ein Dreifachintegral. Die Integrationen über und r bzw. fehlen bei dir. Das sind die einfacheren Integrationen, die man zuerst ausführen sollte.
scaer93	Verfasst am: 25. Apr 2013 19:23    Titel: Gut danke sehr. Kommt als Lösung raus?: Mit gelösten Integral in den Grenzen L und -L : http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28dx%2F%28sqrt%28r%5E%282%29%2B%28z-x%29%5E%282%29%29%29
Huggy	Verfasst am: 25. Apr 2013 18:57    Titel: scaer93 hat Folgendes geschrieben: Hi, Ich muss ja nun nach dem z und nicht nach z' integrieren, da wir ja dz stehen haben. Wenn man die Koordinaten der Massenelemente nennt, dann ist über z' zu integrieren. Zitat: In dem steckt aber doch x und y drinnen, warum wird das dann nicht null? Es wird doch über die Massenelemente des Zylinders integriert und der hat doch einen von 0 verschiedenen Radius. Lediglich für den Punkt, in dem das Potential bestimmt werden soll, ist r = 0 vorgegeben. Aber über den Punkt wird nicht integriert. Zitat: Könntest du mir zum Vergleichen evtl. die End-Lösung schreiben? Schreib halt mal deine Ergebnisse auf. Ich sehe sie mir dann an.
scaer93	Verfasst am: 25. Apr 2013 18:29    Titel: Hi, danke für die Antwort. Ja, ich hatte vergessen, zu sagen, dass ich gemacht habe, wegen etwas Übersichtlichkeit. Naja, Bronstein bzw. Wolfram-Alpha wäre eine erlaubte Variante... Ich muss ja nun nach dem z und nicht nach z' integrieren, da wir ja dz stehen haben. In dem steckt aber doch x und y drinnen, warum wird das dann nicht null? Könntest du mir zum Vergleichen evtl. die End-Lösung schreiben? Grüße Scaer93
Huggy	Verfasst am: 25. Apr 2013 16:16    Titel: scaer93 hat Folgendes geschrieben: Gerechnet: Das ist richtig, bis auf die Klammerung. wenn die radiale Kordinate von sein soll. Korrekt ist: Vereinfacht ergibt das Das kannst du in das Volumenintegral schreiben. Allerdings musst du dann dort auch rdr durch ersetzen. Der Rest, den du geschrieben hattest, war Murks. Und das Integral löse mal schön selber. Das ist ja die Hauptarbeit, wenn man es nicht vom Rechner oder Wolframalpha machen lassen lässt.
scaer93	Verfasst am: 25. Apr 2013 14:47    Titel: Hallo, Ist |r-r'| gleich z-z'? Gerechnet: Mit Trigonometrischer Phytagoras entfernt dann auch schon Winkelabhängigkeit. Gesamtlösung: Stimmt das? Wenn nicht, könntest du bzw, ihr mir dann freundlicherweise das Problem-Integral lösen? Grüße Scaer93
TomS	Verfasst am: 25. Apr 2013 07:47    Titel: Überleg dir mal folgendes: Man kann sich den Zylinder aus unendlich dünnen Scheiben zusammengesetzt denken. Das Gravitationspotential des Zylinders ergibt sich dann durch z-Integration über das Gravitationspotential dieser Scheiben. Das Gravitationspotential dieser Scheiben ist außerdem sicher rotationssymmetrisch bzgl. phi. Starte also mal mit einer Scheibe.
Huggy	Verfasst am: 25. Apr 2013 07:28    Titel: Selbstverständlich musst du unter der Wurzel die kartesischen Kordinaten mit den Transformationsformeln kartesisch -> zylindrisch umrechnen.
scaer93	Verfasst am: 24. Apr 2013 18:48    Titel: Hi, danke für die Antwort. Natürlich weiß ich, wie der Betrag im kartesischen berechnet wird. In Kartesischen Koordinaten: Das gilt aber doch so auch nur in Kartesisch. Ich kann doch nicht einfach jetzt jedes x gegen ein r und jedes y gegen den Winkel etc. tauschen?! Heißt es dann so?: Denke aber nicht... Aber der Betrag müsste sich doch in Zylinderkoordinaten anders berechnen lassen, als einfach mit dem Wurzelausdruck und den Quadraten der Komponenten? Jedenfalls wurde uns das eingetrichtert...deshalb vermutlich mein Problem hier mit dem Ausdruck Oder muss ich die Transformationsformeln für Zylinderkoordinaten einsetzten? Danke und Grüße Scaer93
Huggy	Verfasst am: 24. Apr 2013 08:19    Titel: scaer93 hat Folgendes geschrieben: Zunächst noch eine Frage: Ich müsste doch für den Formalismus bei Integral mit Heaviside dann die Grenzen mit den aus meinem ersten Post übernehmen dürfen, oder? Ja. Zitat: Nun zum Gravitationspotenzial: da x=y=0, z>L gelten soll, brauche ich doch nicht über die Vektoren integrieren, oder? Das ist ein ganz gewöhnliches Volumenintegral. Im Integrand stehen ja keine Vektoren, sondern die Länge eines Differenzvektors und die Länge ist ein Skalar. Mit dem zu betrachten Spezialfall x = 0, y = 0 hat das nichts zu tun. Zitat: So, nun stehe ich da und weiß nicht, wie ich den Nenner mit den Vektoren im Integral betrachten soll? Du weißt doch sicher, wie sich die Länge oder Norm eines Vektors berechnet. Das musst du einfach für den Vektor hinschreiben. Das Ergebnis in Zylinderkoordinaten ergibt sich auch aus dem Satz des Pythagoras. Falls du Probleme hast, gehe schrittweise vor. Schreibe die Länge der Differenz allgemein in kartesischen Koordinaten auf: Spezialisiere das Ergebnis auf . Ersetze die kartesischen Koordinaten durch Zylinderkordinaten. Bei ändert sich dadurch nichts. Der Vektor wäre danach konsequent zu schreiben als . Da aber in wegen des Spezialfalls r und gar nicht in Erscheinung treten, kann man bei r' und die Striche auch weglassen. Andernfalls müsste man im Integral für die Integrationsvariablen r' und schreiben. Bei der axialen Koordinate musst du definitiv über z' integrieren, da ja z schon in verwendet wird. Vereinfache das Ergebnis. Die Winkelkoordinate fällt dadurch weg. Nun kannst du integrieren.
scaer93	Verfasst am: 23. Apr 2013 20:31    Titel: Hi Huggy, danke sehr für die Antwort. Glaube, ich habe alles soweit verstanden. Ich würde gerne meine Lösung Schritt für Schritt hier schreiben, und um Korrektur bitten. Zunächst noch eine Frage: Ich müsste doch für den Formalismus bei Integral mit Heaviside dann die Grenzen mit den aus meinem ersten Post übernehmen dürfen, oder? Nun zum Gravitationspotenzial: da x=y=0, z>L gelten soll, brauche ich doch nicht über die Vektoren integrieren, oder? So, nun stehe ich da und weiß nicht, wie ich den Nenner mit den Vektoren im Integral betrachten soll? Wegen x=y=0, würde ich den Vektor gleich z setzten, aber was ist mit dem Vektor ? Danke und Grüße Scaer93
Huggy	Verfasst am: 23. Apr 2013 18:57    Titel: scaer93 hat Folgendes geschrieben: Worin liegt denn genau der Unterschied zwischen ? ist die normale Dichte mit der Einheit z. B. kg/m^3. wäre die Masse einer Zylinderschale der Dicke dr im Abstand r von der z-Achse geteilt durch dr, hätte also die Einheit kg/m. Zitat: Wenn sich der Zylinder, wie du bei b) sagst besser von -L bis L erstreckt, dann sieht so aus, oder?: Nicht ganz: Zitat: Warum ist -L bis L als Lage des Zylinders besser? Sie ist nicht unbedingt besser. Mir gefällt das nur besser, weil dann der Ursprung des Koordinatensystems mit dem Mittelpunkt des Zylinders zusammenfällt. Zitat: Was ist aber mein '? Das ist die allgemeine Koordinate der Dichte, über die integriert wird. Zitat: Wo ist bei deinem einsetzten von die Heaviside-Funktion geblieben? Die habe ich weggelassen und dafür das Integral gleich nur über das Zylindervolumen V erstreckt. Du kannst sie auch erst hineinschreiben und dann formal bis integrieren. Bringt aber keinen besonderen Nutzeffekt. Zitat: Dann müsste ich ein Dreifach-Integral mit folgenden Grenzen bekommen?: Ja.
scaer93	Verfasst am: 23. Apr 2013 16:24    Titel: Hi, danke für die Antwort. Ich habe noch ein paar Fragen... zu a) Worin liegt denn genau der Unterschied zwischen ? Wenn sich der Zylinder, wie du bei b) sagst besser von -L bis L erstreckt, dann sieht so aus, oder?: zu b) Warum ist -L bis L als Lage des Zylinders besser? Was ist aber mein '? Wo ist bei deinem einsetzten von die Heaviside-Funktion geblieben? Ich weiß, dass ich für dV das Volumenelement in Zylinderkoordinaten einsetzten muss, daher: Dann müsste ich ein Dreifach-Integral mit folgenden Grenzen bekommen?: Danke und Grüße scaer93
Huggy	Verfasst am: 23. Apr 2013 11:12    Titel: a) Nach deinem Aufgabentext sollst du nur angeben und das ist in Zylinderkoordinaten wenn sich der Zylinder in z-Richtung von 0 bis 2L erstreckt. Die Ausführung der Integrationen ist überflüssig. Wenn du allerdings angeben möchtest mit r als der radialen Zylinderkoordinate, so ist dein Ergebnis falsch. Dafür sind nur die Integrationen über und z auszuführen. Was dann noch unter dem Integral steht, ist . b) Das Potential eines Massenelementes an der Stelle ist Das Gravitationspotentials des Zylinders ergibt sich durch Integration über den Zylinder: Auf der Zylinderachse, also für , lassen sich die Integrationen analytisch ausführen. Dabei wäre es mir symphatischer, wenn man den Zylinder sich von -L bis L erstrecken liesse anstatt von von 0 bis 2L.
scaer93	Verfasst am: 22. Apr 2013 09:38    Titel: Gravitationspotential berechnen Hallo, Großes Problem mit Heaviside-Funktion und Gravitationspotential. Hoffe, ihr könnt mir helfen bei der Aufgabe: Sie haben einen Zylinder mit Radius R und Dicke 2L und einer Konstanten Massenverteilung rho_0. a) Drücken sie die Massenverteilung rho(r) mit der Heaviside-Stufenfunktion () in geeigneten Koordinaten aus. (das kleine r hat einen Vektorpfeil) b) Berechnen sie das Gravitationspotential entlang der z-Achse, d.H. für x=y=0, z>L Hinweis: Nutzen sie Symmetrie des Problems, geeignete Koordinaten und denken sie daran, dass das Potential nur in z-Richtung wirkt. Meine Ansätze: Ich denke, mit "Dicke" ist die Höhe gemeint. zu a) Mit Massennormierung folgt Zu b: Müsste ich mit einem Integral machen, jedoch Fehlt mir hier jegliche Idee. Meine Fragen: 1. Stimmt a)? 2. Wie muss ich b) rechnen? Danke und Grüße Scaer93

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