 Verfasst am: 30. März 2013 10:05 Titel: |
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| Hallo,
du musst dir vorstellen du hast eine verschachtelte Integration. D.h. in dem Beispeil des Quadrats, integrierst du "außen" über x, und für jedes x integrierst du über y. D.h. geometrisch gesehen läufst du über das Quadrat, indem du eine "Spalte" fixierst, und dann über diese Spalte läufst. Für jedes x läufst du über alle y-Werte -- von dem einen Rand zum anderen. Und das machst du wiederum für alle x-Werte. Du kannst dir das Leben mit dem Steiner'schen Satz etwas vereinfachen, er erlaubt dir (bei paralleler Drehachse) das Trägheitsmoment um andere Punkte, als den Schwerpunkt zu berechnen. Außerdem ist das Trägheitsmoement natürlcih rotationinvariant. In den rechnungne solltest du also darauf achten, das Polygon so hinzulegen, dass die Rechnung möglichst einfach wird. Dein Dreieck ist ein rechtwinkliges (rechter Winkel in (-2/3, -1/3), ich nenne diesen Punkt A und den Schwerpunkt S). Der Steinersche Satz, sagt dir, dass Offensichtlich ist die Berechnung des Trägheitsmoemnets bezogen auf Punkt A viel einfacher 
Dazu verschiebe ich den punkt A in den Ursprung. Die anderen Punkte landen bei (0, 1) und (2, 0). [Ich mache grad deinen Aufwand zunichte, als du das Dreieck auf den Schwerpunkt zentriert hattest...] Die Gleichung der Hypothenuse ist dann Das heißt wählst du x aus (das selbst von 0 bis 2 geht), so geht y von 0 bis 1 - x/2: Du musst das Integral mit variablenabhängigen Grenzen <zuerst> berechnen. Damit wird der Integrand für das x-Inetgral etwas komplizierter. Beachte: Gruß! w.bars |
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| Verfasst am: 30. März 2013 00:04 Titel: |
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| Ok, vielen Dank.
Ich habe aber noch die Frage wie ich die Grenzen denn bestimme. Ich finde dazu im netz ziemlich wenig literatur. Wenn ich das dreieck aus den Punkten (-0,666/0.666), (-0.666/-0.333) und (1.333/-0.333) habe, wie bestimme ich die Grenzen? Der Schwerpunkt liegt schon auf (0/0). Sind dann die Grenzen für dX -0.666 und 1.333 und die für dY -0.333 und 0.666? Das wäre aber doch dann abgesehen von dem etwas verschobenen Schwerpunkt genau wie bei einem Rechteck? Ein gleichseitiges Achteck und ein Quadrat würden so den gleichen Trägheitsmoment haben. Wie bestimmt man denn die Grenzen für das dreieck wenn die gleichung für die Hypotenuse y = -0.5x+1 (müsste richtig sein) ist? |
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| Verfasst am: 29. März 2013 13:52 Titel: |
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| Hallo,
hach Glück gehabt
in 2D ist das alles rehct schnell gelöst. Stell dir vor, dein Rechteck besteht aus ganz vielen kleinen Massen Ich rechne dir das mal für ein Quadrat vor: Im Prinzip ändern sich zwar für kompliziertere Polygone ertsmal nur die Grenzen, aber dadurch, dass man zwei Integrale hat, kann das ganze auf kompliziertere Integrale führen, insbesondere auch mit vielen if-Abfragen. Ich mutmaße jetzt mal, dass du das für eine Simulation brauchst. Dann könntest du entweder die Integrale einfach lösen lassen, oder du triangulierst deine Polygone und setzt deren Trägheitsmoemnte zusammen. Die letztere Methode wäre exakt im Rahmen der internen Zahldarstellung (wenn du ein-für-alle-mal das Trägheitsmoemnt eines Dreiecks bestimmst), aber evtl. zu kompliziert in der Anwendung... Gruß! w.bars |
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| Verfasst am: 29. März 2013 12:48 Titel: |
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| Vielen Dank für die Antwort.
Die Polygone fliegen 2-Dimensional durch die Gegend. Die Drehachse ist der Schwerpunkt, nehme ich mal an. Den Schwerpunkt habe ich auch schon ausgerechnet. Aber wie nehme ich jetzt ein Integral? Wenn r der Abstand von der Drehachse zum Kollisionspunkt ist, dann ist r doch eine (konstante) Zahl? |
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| Verfasst am: 28. März 2013 23:16 Titel: |
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| Hallo!
Brauchst du den Trägheitstensor oder nur ein Trägheitsmoment, also fliegen dei Polygone dreidimensional durch die Gegend oder 2-dimensional? Im letzteren Fall müsstest du über das Polygon die Integration von r^2 dm ersrecken. Dabei ist r der Abstadn zur Drehachse (Unterschiedung vom Abstand zu einem Punkt wichtig im dreidimensionalen Fall!) Im dreidimensionalen Fall geht nicht immer der Abstand in die Rechnung ein, siehe die allererste Matrix in http://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitstensor Dabei sind die Summen in deinem Fall durch Integrale zu ersetzen und m_i durch dm. Gruß w.bars |
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| Verfasst am: 28. März 2013 20:40 Titel: Trägheitstensor eines Polygons berechnen |
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| Meine Frage:
Hallo, Ich möchte einen zusammenstoß zwischen Polygonen simulieren und die resultierende Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit berechnen. Ich habe hierzu die Formel die ich in die formeln Ich brauche dafür den Trägheitssensor des Polygons am Zusammenprallpunkt A. Wie berechne ich diesen? Meine Ideen: http://imageshack.us/a/img201/7903/trgheitstensor.png Ich habe diese Formel gefunden, weiß aber nicht wie ich diese anwenden soll. Was bedeutet das Dach über dem A, wieso haben die Variablen den index i und ist r der Abstand zum Schwerpunkt oder was? Wenn r der Abstand zum Schwerpunkt wäre, würde es vom Schwerpunkt aus (r=0) keinen Trägheitstensor geben, was doch eigentlich nicht sein kann!? Vielen Dank für eure Hilfe |
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