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Nachricht |
| TruEnemy |
 Verfasst am: 07. Jan 2013 13:51 Titel: |
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Ich muss noch die freie Energie F und das chemische Potential my berechnen :/
Aber das ist nur einsetzen. Ich danke Dir vielmals für Deine Hilfe, und vor allem Geduld  |
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| 12345 |
| Verfasst am: 07. Jan 2013 13:44 Titel: |
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Genau so siehts aus  Ich denke den Rest bekommst du jetzt gut alleine hin. Wenns doch noch Probleme gibt kannst du dich ja einfach wieder melden |
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| TruEnemy |
| Verfasst am: 07. Jan 2013 13:33 Titel: |
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Klar 
^{3N/2} \left( \frac{4\pi}{\beta M H} \sinh \left(\beta M H\right) \right)^N = \frac{1}{h^{3N} N!} \left( \left(\frac{2\pi m}{\beta} \right)^{3/2} \frac{4\pi}{\beta M H} \sinh \left(\beta M H\right) \right)^N
<br />) |
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| 12345 |
| Verfasst am: 07. Jan 2013 13:22 Titel: |
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So stimmt das aber nicht. Denk nochmal drüber nach:
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| TruEnemy |
| Verfasst am: 07. Jan 2013 13:21 Titel: |
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Insgesamt habe ich nun also das hässliche Zustandsintegral bestimmt zu:
^{3N/2} \sinh \left(\beta M H\right)
<br />) |
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| TruEnemy |
| Verfasst am: 07. Jan 2013 13:17 Titel: |
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Jepp, hatte ich vorher auch da stehen, habe es aber wieder weggemacht gehabt
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| 12345 |
| Verfasst am: 07. Jan 2013 13:10 Titel: |
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Ja und mit dem  von vorne bekommst du dann
}{\beta m H})
(Aber für das Integral braucht man doch kein Mathematica!?)
Der Faktor im Produkt hängt nicht mehr von j ab. Ist also ein Produkt aus N gleichen Faktoren...Das kann man auch noch umformen und dann ist man das lästige Pi los |
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| TruEnemy |
| Verfasst am: 07. Jan 2013 12:56 Titel: |
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Mathematica sagt mir, das Integral löse sich zu }{\beta M H} ) |
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| 12345 |
| Verfasst am: 07. Jan 2013 12:48 Titel: |
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| Ja. Jetzt nurnoch ausrechnen. Aber das sollte jetzt ja kein Problem mehr darstellen |
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| TruEnemy |
| Verfasst am: 07. Jan 2013 12:43 Titel: |
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Danke, habe es korrigiert. Ich habe nun also:
\right)
<br />)
Minus vor dem letzten Integral deshalb, weil ich
die Integralsgrenzen vertauscht habe. Nun ist:
<br />) |
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| 12345 |
| Verfasst am: 07. Jan 2013 12:30 Titel: |
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| Vorsicht, du hast im letzten Schritt das Minus verschlampt! |
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| 12345 |
| Verfasst am: 07. Jan 2013 12:29 Titel: |
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Einfach die Werte von  in deine Substitutionsgleichung ) einsetzen. |
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| TruEnemy |
| Verfasst am: 07. Jan 2013 12:24 Titel: |
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Sorry, weiß auch nicht, was mit mir los war ... also mache ich es mal:
 \exp \left( \beta M H \cos \left( \theta_j \right) \right)
<br />)
 = x_j ) und  \Leftrightarrow d\theta_j = \frac{dx_j}{-\sin (\theta_j)})
} \sin (\theta_j) \exp \left( \beta M H x_j \right)
<br />& = \prod_{j=1}^N \int_0^{2\pi} d\varphi_j \int_0^{\pi} dx_j\;-\exp \left( \beta M H x_j \right)
<br />\end{split}
<br />)
Wie substituiere ich die Grenzen nochmal? |
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| 12345 |
| Verfasst am: 07. Jan 2013 11:48 Titel: |
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Eigentlich hatte ich es dir ja schon vorgesagt. Das Integral ist von der Form
e^{cos(\theta)}\,\dd \theta)
Probiere doch mal die Substitution |
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| TruEnemy |
| Verfasst am: 07. Jan 2013 01:22 Titel: |
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Ich bin eingepennt ... und habe heute Morgen trotzdem keine Ahnung  |
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| TruEnemy |
| Verfasst am: 07. Jan 2013 00:46 Titel: |
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| Ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht |
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| 12345 |
| Verfasst am: 07. Jan 2013 00:41 Titel: |
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Nein ich meinte verschwinden lassen im Sinne von so Substituieren, dass du eine Funktion bekommst die du easy lösen kannst.
z.B. sowas wie
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| TruEnemy |
| Verfasst am: 07. Jan 2013 00:37 Titel: |
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| Dazu müsste es 1 werden |
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| 12345 |
| Verfasst am: 07. Jan 2013 00:32 Titel: |
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Ach ja stimmt, du hast recht
Kann sein das es an der Uhrzeit liegt oder daran, dass die Substitution so offensichtlich ist, oder an beidem
Du musst nur das ) aus der e-Fkt verschwinden lassen. |
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| TruEnemy |
| Verfasst am: 07. Jan 2013 00:24 Titel: |
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Habe auch noch einen Fehler in der Notation entdeckt und nun Deinen Hinweis
von vorhin richtig deuten können  und nicht einfach
 . Mit dem Integral hadere ich aber immer noch ... vll ist es schon zu spät :/ |
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| 12345 |
| Verfasst am: 07. Jan 2013 00:11 Titel: |
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Ah ich habe grade noch einen Fehler entdeckt!
)
Ich denke jetzt solltest du leicht die passende Substitution finden
Von der Notation her Tip-Top
(Und noch eine kleine Anmerkung zum theta: Damit der Winkel zwischen H und m genau der gleiche ist wie der Azimutalwinkel theta über den Integriert wird muss man natürlich vorher die z-Achse des Koordinatensystems in Richtung von H legen. Aber da man sein Koordinatensystem ja frei wählen kann geht das ja. Hab das vorhin vergessen dazu zuschreiben) |
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| TruEnemy |
| Verfasst am: 06. Jan 2013 23:57 Titel: |
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^{3/2} \prod_{j=1}^N \int \Omega_j \exp \left( \beta M H \sin \left( \theta_j \right) \right) \right]
<br />& = \frac{1}{h^{3N} N!} \left[ \left( \frac{2 \pi m}{\beta} \right)^{3N/2} \prod_{j=1}^N \int_0^{2\pi} d\varphi_j \int_0^{\pi} d\theta_j \sin \left( \theta_j \right) \exp \left( \beta M H \sin \left( \theta_j \right) \right) \right]
<br />\end{split}
<br />)
Du hast mir erklärt, warum ich falsch lag, vielen Dank
Stimmt es so von der Notation her nun? Ich weiß aber
immer noch nicht, wie die Lösung von dem Integral lautet ... |
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| 12345 |
| Verfasst am: 06. Jan 2013 23:46 Titel: |
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Sieht richtig aus Du kannst das große Pi auch weglassen und einfach ^{\frac{3N}{2}})
schreiben. Dann musst du das Pi nicht dauernd mitschleppen.
Ich weiß nicht so genau was du mit dem "Anteil dtheta" meinst. Aber m ist betragsmäßig Konstant kann sich ja in drei Raumrichtungen ausrichten. Sprich die Spitze des Vektors m bewegt sich auf einer Kugelschale. Wenn du jetzt einen festen Winkel theta nimmst kann sich die Spitze ja immernoch auf einem Kreis auf der Schale bewegen, das wäre dann der dphi Anteil (Ich hoffe das war die Frage!?) |
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| TruEnemy |
| Verfasst am: 06. Jan 2013 23:30 Titel: |
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 \right)
<br />& = \frac{1}{h^{3N} N!} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} dp_1 ... \int_{-\infty}^{\infty} dp_N \prod_{i=1}^{N} \exp \left( -\beta \frac{p_i^2}{2m_i} \right) \int d\Omega_1 ... \int d\Omega_N \prod_{j=1}^{N} \exp \left( \beta M\;H\;\sin ( \theta_i) \right) \right]
<br />& = \frac{1}{h^{3N} N!} \left[ \prod_{i=1}^N \int_{-\infty}^{\infty} dp_i \exp \left(- \frac{\beta}{2m_i} p_i^2 \right)\;\; \prod_{j=1}^N \int \Omega_j \exp \left(\beta M H \sin \left(\theta_j \right) \right) \right]
<br />& = \frac{1}{h^{3N} N!} \left[ \prod_{i=1}^N \left( \frac{2 \pi m}{\beta} \right)^{3/2} \prod_{j=1}^N \int \Omega_j \exp \left( \beta M H \sin \left( \theta_j \right) \right) \right]
<br />
<br />\end{split}
<br />)
Jetzt sollte es stimmen. Das zweite Integral macht mir aber noch Probleme ...
eigentlich sollte ja nur der Anteil mit  einen Beitrag liefern, oder?  |
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| 12345 |
| Verfasst am: 06. Jan 2013 23:08 Titel: |
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| Vom Prinzip her genau so. Nur musst du noch beachten, dass der Impuls von jedem Teilchen ja 3 Komponenten hat. Und der Raumwinkel (in Kugelkoordinaten) läuft nicht von minus bis plus unendlich sondern phi von 0 bis 2pi und theta von 0 bis pi! |
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| TruEnemy |
| Verfasst am: 06. Jan 2013 23:00 Titel: |
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 \right)
<br />& = \frac{-\beta}{h^{3N} N!} \int_{-\infty}^{\infty} dp_1 ... \int_{-\infty}^{\infty} dp_N \prod_{i=1}^{N} \exp \left( \sum_i^N \frac{p_i^2}{2m_i} \right) \int_{-\infty}^{\infty} d\Omega_1 ... \int_{-\infty}^{\infty} d\Omega_N \prod_{i=1}^{N} \exp \left( \sum_{i=1}^N -M\;H\;\sin ( \theta_i) \right)
<br />\end{split}
<br />) |
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| TruEnemy |
| Verfasst am: 06. Jan 2013 22:46 Titel: |
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| Danke Und einen Moment bitte, bin gerade dabei ^^ |
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| 12345 |
| Verfasst am: 06. Jan 2013 22:44 Titel: |
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| Ich meinte natürlich epsilon_i. |
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| 12345 |
| Verfasst am: 06. Jan 2013 22:43 Titel: |
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Sieht gut aus Und jetzt musst du halt dieses ganze Gedöns wie ich dir vorhin geschrieben habe auseinander ziehen.
(Zu dem "ersetzen": Der Hamilton in der e-Funktion beschreibt einfach nur die Energie des Systems. Das epsilon was du in der Aufgabe gegeben hast ist ja auch nur die Hamiltonfunktion eines Teilchens deines Systems. Wurde in diesem Fall aber mit epsilon bezeichnet um Verwechslungen mit dem Magnetfeld H zu vermeiden.) |
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| TruEnemy |
| Verfasst am: 06. Jan 2013 22:32 Titel: |
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Also wir haben das kanonische Zustandsintegral zu:
 \right)
<br />)
Hierbei bezeichnet  ) den Hamiltonian des Systems.
Dieser kann - da kanonisch - durch  ersetzt werden:
Soweit in etwa korrekt? Dann folgt hiermit, dass
 \right)
<br />) |
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| 12345 |
| Verfasst am: 06. Jan 2013 21:51 Titel: |
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Das geht eigentlich immer nach dem selben Prinzip. Wenn du die Summe über die Energien einsetzt und dann die e-Funktionen als Produkt schreibst kannst du zuerst mal die Integrale über p und q einzeln betrachten (die e-Fkten mit dem magnetischen Moment im Exponenten hängen ja nicht von den Impulsen ab.
Du erhälst dann ein Produkt aus 3N Impulsintegralen (N Teilchen und pro Teilchen drei Impulskomponenten p_x,p_y und p_z!)
Und weil die Integrale alle "gleich" zu berechnen sind kannst du diese auch Zusammenfassen zu einem Integral hoch 3N.
Beim Zusammenfassen analoges Vorgehen bei den Integralen mit dem magnetischen Moment. Da kannst du das Skalarprodukt als m*H*sin(theta_i) schreiben.
Wir hatten erst kürlich eine ähnliche Aufgabe und da stand als Tipp dabei, dass man bei der Integration über m*H*sin(theta_i) nicht über die drei Raumrichtungen (dx dy dz) integrieren soll sondern nur über den Raumwinkel, also anstatt integration über  integration über d\theta_i d\phi) (Es ist ja nur die Richtung von m interessant, da der Betrag ja konstant bleibt). Du musst dann nur noch eine geeignete Substiution finden, dann lässt sich auch das Integral ziemlich einfach lösen. |
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| TruEnemy |
| Verfasst am: 06. Jan 2013 21:24 Titel: |
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| Wie soll ich dieses Integral denn stemmen, ist ja nicht wirklich ohne ... |
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| TruEnemy |
| Verfasst am: 06. Jan 2013 21:22 Titel: |
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| Stimmt ... bin von einem festen Impuls ausgegangen, wir haben hier aber ein Gas ... |
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| 12345 |
| Verfasst am: 06. Jan 2013 21:22 Titel: |
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| Doof Ausgedrückt p beliebige Werte und m beliebige Richtungen! |
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| 12345 |
| Verfasst am: 06. Jan 2013 21:21 Titel: |
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| Ja m und auch der Impuls p können beliebige Werte annehmen. |
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| TruEnemy |
| Verfasst am: 06. Jan 2013 21:08 Titel: |
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| Klingt nicht allzu unlogisch. Liegt das u. a. auch an dem 'beliebigen' magnetischen Moment? |
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| 12345 |
| Verfasst am: 06. Jan 2013 21:01 Titel: |
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| /edit: Bei dem Integral in meinem Beitrag fehlt noch der Vorfaktor c_N=1/(N!h^(3N)) |
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| 12345 |
| Verfasst am: 06. Jan 2013 21:00 Titel: |
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Ja aber dein System kann sich doch kontinuierlich verändern und nicht nur diskrete Zustände einnehmen oder sehe ich das falsch?
Für so ein System berechnet man die Zustandssumme doch über das Zustandsintegral. |
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| TruEnemy |
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| 12345 |
| Verfasst am: 06. Jan 2013 20:40 Titel: |
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Hallo.
Ich verstehe nicht so ganz warum du da eine Summe stehen hast. Ich kenne die kanonische Zustandssumme nur als Integral
=\int e^-\frac{\epsilon(\vec{p}_N,\vec{q}_N)}{k_B T}d^{3N}q d^{3N}p\\ &\text{mit}\quad \epsilon=\sum_i \epsilon_i ) |
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