 Verfasst am: 20. Jun 2014 20:28 Titel: |
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| Schreiben wir lieber Dabei steht links der allgemeine Operator für den abstrakten Hilbertraum, rechts dagegen die spezielle Ortsdarstellung, gekennzeichnet durch (x). Bsp. Es ist klar, dass die Operatoren rechts in x- bzw. p- Darstellung mathematisch unterschiedliche Objekte sind (genau wie die jeweiligen Wellenfunktionen), während die Operatoren links immer das selbe Objekt bezeichnen. Natürlich lässt man das (x) bzw. (p) in der Praxis weg, da aus der Darstellung der Wellenfunktion (dem Argument) klar wird, was gemeint ist. |
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| Verfasst am: 20. Jun 2014 19:39 Titel: |
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| Mal wieder eine kurze allgemeine Frage (zu Matrixelementen). Anschaulich ist mir das soweit klar, ich wollte mal wissen ob es richtig ist, hier das = Zeichen zu verwenden: Lg |
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| Verfasst am: 10. Jun 2014 20:18 Titel: |
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| Kurze Nachfrage nochmal. Der Hamiltonoperator, den ich für die Berechnung des Ausdrucks nach dem Hadamard-Lemma verwende, müsste dieser hier sein oder?: edit: Jedenfalls klappt es so  Links habe ich das Hadamard-Lemma verwendet, dann ergibt sich der Rest durch Umformen. Danke nochmal. Lg |
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| Verfasst am: 06. Jun 2014 12:37 Titel: |
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| Um einen derartigen Ausdruck zu berechnen benötigst du das Hadamard-Lemma Dabei wird das P aus dem Exponenten an dem x aus H "hängen bleiben", d.h. der Operator wirkt als Translationsoperator auf alle von x abhängigen Terme in H. http://de.wikipedia.org/wiki/Baker-Campbell-Hausdorff-Formel |
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| Verfasst am: 06. Jun 2014 11:52 Titel: |
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| Hi, Ich bin wieder über etwas gestolpert, was ich nicht richtig einordnen kann. Und zwar der Ausdruck: Hintergrund: Es geht um den Hamiltonoperator eines harm. Oszillators, wobei ein zusätzliches elektrisches Feld zum Zeitpunkt t_o eingeschaltet wird. Umformen mit quadratischer Ergänzung klappt gut (ohne das a), hab dann die Verschiebung in x. In dem Fall soll aber gelten: D.h. ich habe eine zusätzliche Verschiebung um a, aber wie gesagt kann ich das a links im Exponenten nicht einordnen. Die Exponenten können sich nicht wegheben, weil der Operator im Exponenten steht und somit nichts vertauscht werden darf, oder? Lg |
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| Verfasst am: 20. Mai 2014 10:40 Titel: |
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Alles klar, danke! Dann schau ich mir den später nochmal an, wichtig ist ja für mich erstmal dass ich die Eigenzustände richtig interpretiert habe  Lg |
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| Verfasst am: 20. Mai 2014 08:45 Titel: |
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| Die Lösung verwendet den sog. Dichtematrixformalismus http://de.wikipedia.org/wiki/Dichtematrix. Die Lösungen mit Vektoren ist allerdings genauso sinnvoll und vollständig und ist wahrscheinlich besser für dich, wenn du die Dichtematrix noch gar nicht kennst. | |
| Verfasst am: 19. Mai 2014 20:37 Titel: |
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Mit dem zweiten Eigenvektor hast du natürlich Recht, habe da meine Aufzeichnungen etwas durcheinandergebracht (genauso dann entsprechend der Eigenraum). Ansonsten leuchtet mir das ein; σ_z steht für die physikalische Variable und für den Eigenzustand liegt jeweils der Eigenwert (=Messwert der physkalischen Variable) fest, richtig? So macht es ja auch mathematisch Sinn. Dann poste ich einfach mal die Lösung, weil die will mir immer noch nicht in den Kopf  . Die lautet folgendermaßen: Ich verstehe dabei nicht, wieso der Eigenzustand eine Matrix sein soll. Nach meinem Verständnis sind das Vektoren, und wieso wird auf Unterräume projiziert Vielleicht stehe ich ja auf dem Schlauch, wäre über eine Erklärung sehr dankbar. Lg |
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| Verfasst am: 19. Mai 2014 19:43 Titel: |
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| In abstrakter Notation benötigst du eine Observable A, d.h. einen selbstadjungierten Operator; dieser repräsentiert eine physikalisch messbare Größe; gemäß der orthodoxen Interpretation der QM hat ein qm System einen scharfen Wert der zugehörigen Messgröße, wenn sich das System in einem Eigenzustand = Eigenvektor |a> zum Eigenwert a befindet. Die Eigenwertgleichung lautet allgemein In deinem Fall wird das A durch den Spinoperator sigma_z ersetzt; gesucht sind dessen Eigenwerte und Eigenzustände; letztere sind in deinem Fall zweidimensionale Vektoren. Die Eigenwerte sind +1, -1; die beiden Eigenvektoren sinnvollerweise (1,0), (0,1). Der zweite von dir angegebene Vektor ist kein Eigenvektor! Explizite Rechnung bestätigt das: |
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| Verfasst am: 19. Mai 2014 15:24 Titel: |
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| Ich grabe das Thema mal aus, da es ziemlich genau meinem Problem entspricht. Wir haben gerade mit QM angefangen und ich habe ein Verständnisproblem mit Eigenzuständen an einem konkreten Fall. Es geht um die paulischen Spinnmatrizen, genauer betrachte ich: als physikalische Variable und möchte "alle Zustände ρ, für die eine Messung der physikalischen Variablen σ_z mit Sicherheit einen der möglichen Messwerte ergibt" bestimmen. Nach meinem Verständnis sind dies die Eigenzustände? Ich hab mir das so gemerkt, dass ein Eigenzustand für eine Observable den Messwert (d.h. Eigenwert) eindeutig festlegt. Also geht es eigentlich um den Eigenvektor zu dem jeweiligen Eigenwert? Ich wäre dann so vorgegangen, dass ich die Eigenräume zu den Eigenwerten 1 und -1 berechne, das wären dann: Nur, was sind jetzt meine Eigenzustände Ich dachte, das wären dann (1,0) und (1,-1), nur die Lösung hat mich dann eines besseren belehrt, da werden die Eigenvektoren auf die "entsprechenden Unterräume projiziert" und der gesuchte Zustand ist von der Form einer 2x2 Matrix. Beides leuchtet mir nicht ein, vielleicht kann mir jemand weiterhelfen  Lg |
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| Verfasst am: 20. Nov 2012 14:51 Titel: |
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| Alles klar, ich danke dir. Hab mir heute mal noch den Shankar geholt, aber werde mir morgen wohl noch Sakurai ausleihen. | |
| Verfasst am: 19. Nov 2012 23:33 Titel: |
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| Sakurai! Ca. die erste Hälfte des Buchs hat er selbst gechrieben; der zweite Teil wurde nach seinem Tod fertiggestellt und ist m.E. nicht ganz so gut gelungen. In der QM geht es letztlich um zwei Themenbereiche: 1) Verständnis des Formalismus 2) Anwendung des Formalismus (2) bedeutet Rechnungen, DGLs lösen, algebraische Gleichungen lösen, ... Das muss man üben - und dazu ist der Sakurai sicher nicht das beste Buch. Ob du da ein zweites Buch brauchst, oder ob dir Skript / Internet / Bibliothek ausreichen kann ich nicht beurteilen. (1) bezieht sich auf die wesentlichen Konzepte, das Grundverständnis des Formalismus, die Idee "warum" etwas so ist, oder zumindest die Gewöhnung daran ;-) dazu gibt es m.E. kaum ein besseres Buch als den Sakurai |
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| Verfasst am: 19. Nov 2012 13:17 Titel: |
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also ich hör grad eine Vorlesung in theoretischer QM. Allerdings gefällt mir die Vorlesung nicht sonderlich gut. Die Übungsaufgaben passen nicht zur Vorlesung (andere Themen, die nichtmal angesprochen wurden) und auch sonst führt der Dozent lediglich immer Dinge ein ohne zu sagen wohin das ganze führen soll. Ist natürlich immer Geschmackssache, aber mir sagt dir Vorlesung nicht sonderlich zu. Grundkenntnisse in QM habe ich bis dato noch nicht. Ich höre gleichzeitig Atom und Molekülphysik (Experimentalphysik), wo wir demnächst dann zur QM kommen werden. edit: Du hast was von Buch durcharbeiten gesagt. Hast du eine gute Empfehlung, dass die grundlegenden Dinge abdeckt, die sagen wir mal, zu den Basics gehören? Ich habe mich an Nolting Band 5 orientiert. Sakurai habe ich auch gehört, dass er gut sein soll, muss ich aber nochmal reinschauen, haben wir hier nämlich in der Bib. |
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| Verfasst am: 18. Nov 2012 21:59 Titel: Re: Ein paar allgemeine Verständnisfragen |
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Vielleicht darf ich da doch noch eine Sache nachfragen:
Aber POVM lassen sich ja, wenn man zusätzlich noch unitäre Entwicklung zulässt, auf projektorwertige Maße (und damit "Observablen") zurückführen (evtl. auf einem größeren Raum, siehe Naimark). Insofern sehe ich nicht ganz, warum das überhaupt eine echte Verallgemeinerung darstellt, und nicht mehr ein mathematischer Trick ist. Gruß MI |
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| Verfasst am: 18. Nov 2012 20:59 Titel: |
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| Wenn du mehr als nur einen Eindruck von "Zauberei" gewinnen willst, dann wirst du einen QM-Kurs oder ein Buch durcharbeiten müssen. "Warum" etwas so ist, ist in der Physik immer schwer zu erklären - weil es eben funktioniert. Aber es gibt schon eine gewisse Logik hinter den Dingen, die sich aber nicht mal so im Vorbeigehen erschließt. Wieviel Vorkenntnisse hast du, und wieviel Zeit willst du dir nehmen? |
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| Verfasst am: 18. Nov 2012 18:17 Titel: |
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| Schonmal danke für die Hilfe @ tomS bzgl. der Matrix, wir hatten ein paar Beispielaufgaben über Eigenwerte/-vektoren dort kamen dann Matrizen vor. Ich denke diese waren einfach willkürlich gewählt. Gelesen habe ich hauptsächlich im Internet (wiki) und ein bisschen im Nolting. Fouriertransformation sagt mir nur was vom Hörensagen, damit gerechnet habe ich noch nicht. Mein Problem bei QM ist, dass es mir so vorkommt, als dass man ein bisschen rumrechnet und dann zum Ergebnis kommt (so fühlt sich das für mich in den Büchern an). Ich sehe, dass das mathematisch alles wunderbar funktioniert, aber intuitiv ist das für mich nicht. Ich tue mich schwer die Mathematik mit dem physikalischen zu verbinden bei QM. Wenn ich mir die klassische Mechanik anschaue, da kann ich mir das vorstellen, wenn ich z.b. eine Schwingung betrachte und die Lösung vom harmonischen Oszialltor eine Sinus Schwingung ist zum Beispiel. Das macht irgendwie Sinn sag ich mal. Bei QM kommt es mir so vor, dass irgendwelche Dinge "einfach so" eingeführt werden und man dann dahin kommt, was der Autor eben zeigen will. Ein Beispiel, was mir dies bezüglich einfällt wären die Leiteroperatoren (Erzeuger und Vernichter). Ich seh dahinter keine Logik. Kann mein Problem auch leider irgendwie schwer in Worte fassen. Nochmals danke an euch beide |
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| Verfasst am: 17. Nov 2012 19:27 Titel: Re: Ein paar allgemeine Verständnisfragen |
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Das stimmt nicht. Eines der Grundpostulate der QM lautet, das die Eigenwerte a einer Observablen A identisch sind mit den Meßwerten für diese Observable. Wenn ein Eigenszustand |a> vorliegt, dann ist sicher, dass eine Messung von A genau diesen Wert a liefert. Liegt kein Eigenzustand zu A vor, so sind verschiedene Messergebnisse a, a', a'', möglich. Sicher ist aber, dass bei dieser Messung einer der Eigenwerte festgestellt wird und dass das System nach der Messung im entsprechenden Eigenzustand |a> ist (nach Wikipedia). Man weiß heute, dass diese Postulate wohl zu eng gefasst sind, insbs. muss man wohl auf sogenannte positive, operatorwertige Maße verallgemeinern, aber mit dem Erwartungswert (vieler Messungen!) hat das nichts zu tun. |
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| Verfasst am: 17. Nov 2012 19:03 Titel: Re: Ein paar allgemeine Verständnisfragen |
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In der Quantenmechanik wird alles als Operatoren bezeichnet. Man kann in der Tat sagen, dass dies mit der Messung zu tuen haben kann. Nehme Beispielsweise Ort- und Impuls. Beide lassen sich nciht gleichzeitig unendlich exakt bestimmen, da sie durch eine Fouriertransformation verknüpft sind. Dadurch sind Ort und Impulsoperator direkt miteinander Verknüpft. Wählt man eine Darstellung, in der der Impulsoperator ein Skalar ist, so enthält der Ortsoperator eine Ableitung und andersherum.
Eigenwerte entsprechen nicht den Messwerten. Eigenwerte sind die Erwartungswerte einer Messung. Diese erhält man, wenn man den entsprechenden Messoperator auf die Wellenfunktion anwendet.
Du benötigst die komplexen Zahlen, weil die Phase für die Überlagerung von Wellenzügen (Interferenz) entscheidend ist. Die einfache Wellenfunktion ohne Betragsquadrat kann wie das elektromagnetische Feld in der Optik verstanden werden: Es enthält alle Informationen über das abbildende System, jedoch lässt sich nur ihr Betragsquadrat messen, sodass die Phase verloren geht. |
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| Verfasst am: 17. Nov 2012 18:51 Titel: Re: Ein paar allgemeine Verständnisfragen |
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Das hat nichts mit der Messung zu tun. Der Formalismus der QM ist einfach so konstruiert, dass statt Funktionen der Koordinaten eben Operatoren verwendet werden.
Was für eine Matrix?
Das ist ebenfalls eine Forderung (ein Postulat) des Formalismus der QM. Wenn einem System ein bestimmter Wert einer Observablen (Energie, Impuls, Drehimuls, …) zugeordnet werden kann, dass ist es in einem Eigenzustand der entsprechenden Observablen.
Weil es funktioniert!!
Gar nicht. Oder kennst du die Fouriertransformation, dann kannst du diese als Analogie benutzen.
Dabei handelt es sich um die vollständige Beschreibung des Zustandes; vorstellen kann man sich das nicht unbedingt
Was fehlt dir da? Eine Grundsatzfrage: wo hast du das gelesen? Hast du dazu auch mal konkrete Berechnungen gesehen? Man kann einige der o.g. Fragen motivieren, wenn man z.B. den Impulsoperator für ebene Wellen betrachtet; sagt dir das was? |
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| Verfasst am: 17. Nov 2012 14:17 Titel: Ein paar allgemeine Verständnisfragen |
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| Hallo, ich habe mich nun ein bisschen mit QM beschäftigt doch leider kommen immer mehr Fragen auf, auf die ich keine Antwort finde. Ich weiß gar nicht wo ich anfangen soll, es kann also sein, dass das hier etwas unstrukturiert wird. In der QM wurde als erstes mal Begriffe eingeführt wie: Hilbert Raum, Observable, Zustände und Messwerte. Warum ist es in der QM so, dass die Obseravblen Operatoren sind? Liegt das einfach daran, dass es relevant ist in der QM wie ich die Messung durchführe, oder steckt da mehr dahinter? Und woher "kommen" die Obersvablen, also konkret: Wenn ich eine Aufgabe rechne und eine Matrix angegeben bekomme, woher weiß ich dann, dass diese Matrix so und so aussieht, sind die einfach vom "Himmel gefallen" oder kann man sich das logisch ableiten? Des Weitereren geht ja oft um ein Eigenwertproblem. Ich verstehe allerdings nicht wieso. Ich kann Eigenwerte und -vektoren berechnen, allerdings ist mir überhaupt nicht klar, warum Eigenwerte den Messwerten entsprechen. Habe hier auch leider keine Idee und in der Literatur in der ich geschaut habe, habe ich auch nichts gefunden, was mir auf die Sprünge hilft. Als letztes vielleicht noch kurz zum Hilbertraum. Warum braucht es einen Hilbertraum in der QM und wie kann ich mir das vorstellen (oder kann man sich das nicht vorstellen und es ist einfach eine "Definition") Mir ist unklar, warum ich komplex arbeiten muss in der QM. Und dann wollte ich noch kurz zur Wellenfunktion was fragen. Mir ist bewusst, dass das Betragsquadrat, wenn es normiert ist eine Wahrscheinlichkeit angibt, aber was ist mit der einfachen Wellenfunktion ohne Betragsquadrat? Hat das eine physikalische Bedeutung? Ich habe gelesen, dass es den Zustand beschreibt, aber das ist doch sehr waage und ich kann damit nichts anfangen. Ich bedanke mich bei euch für die Hilfe |
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