TomS |
Verfasst am: 06. Sep 2012 11:20 Titel: Re: Erwartungswert eines Operators ist Erhaltungsgröße |
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Xeal hat Folgendes geschrieben: | Im folgenden Schritt habe ich H und Psi* vertauscht. Allerdings weiss ich nicht ob das zulässig ist... | I.A. ist das nicht zulässig. Psi ist Element eines Hilbertraumes, Psi* dagegen Element des zugehörigen Dualraumes (der i.A. nicht mit dem ursprünglichen Hilbertraumes identisch sein muss; Stichwort: nicht-normierbare Funktionen, rigged Hilbert spaces). D.h. H wirkt immer nur nach rechts auf Psi; seine Anwendung auf Psi* ist zunächst mathematisch nicht definiert. Nun kann man aber immer einen adjungierten Operator konstruieren, der sich eben dadurch auszeichnet, dass er auf dem Dualraum defniert ist. Für Obeervable muss gelten, dass sie selbstadjungiert sind, d.h. das Operator und adjungierter Opoerator "übereinstimmen", was im Falle endlichdimensionaler Räume und damit endlichdimensionaler Matrizen (als Operatoren) recht einfach verstanden werrden kann, im Rahmen der Funktionalanalysis aber aufwändig bewiesen werden muss. Wenn man dies alles voraussetzt, dann ist der Schritt von Fließbach praktisch trivial. Vielleicht noch ein Beispiel, warum das i.A. so kompliziert ist: deine o.g. Herleitung versagt für ebene Wellen, da die Integrale für die Erwartungswerte von Impuls und Energie nicht existieren. D.h. dass für normierbare Wellenfunktionen üblicherweise kein Problem existiert, für nicht-normierbare dagegen mathematisch erheblicher Aufwand betrieben werden muss. Dies geht zwar deutlich über die Vorlesungen QM I und II hinaus und muss deswegen in einem Lehrbuch auch nicht unbedingt behandelt werden, es sollte jedoch zumindest ein Hinweis erfolgen, dass die genannten Problemfälle existieren. |
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