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TruEnemy	Verfasst am: 26. Jun 2012 13:12    Titel: Herrlich, vielen Dank Wenn ich Zeit finde, schreibe ich nachher noch meine anderen Lösungen auf. Ansonsten gibt's dann einen neuen Thread (Aufgabe)
Telefonmann	Verfasst am: 25. Jun 2012 23:37    Titel: TruEnemy hat Folgendes geschrieben: Die Schreibweise mit dem LC-Symbol gibt JEDE Komponente des Operators des Drehimpuls-Vektors wieder. Genau. Zitat: Wenn ich also den Kommutator berechne und da Null rauskommt, dann zeige ich allgemein, dass Null ist ...? Genau .
TruEnemy	Verfasst am: 25. Jun 2012 22:41    Titel: Jetzt bin ich total verwirrt. Ich muss mir das erst mal verinnerlichen. Anscheinend besteht das Problem wirklich in dem (mangelnden) Ver- ständnis der Schreibweise. Für mich sind nämlich und nicht das Gleiche! Das eine bezeichnet für mich den Operator des Drehimpuls- Vektors und das andere den Operator der -ten Komponente des Drehimpuls-Vektors. Hier mal die originalen (Teil-)Aufgaben. Sind meine Rechnungen denn OK? EDIT: Ich glaub', ich hab's! Die Schreibweise mit dem LC-Symbol gibt JEDE Komponente des Operators des Drehimpuls-Vektors wieder. Wenn ich also den Kommutator berechne und da Null rauskommt, dann zeige ich allgemein, dass Null ist ...?
TomS	Verfasst am: 25. Jun 2012 21:30    Titel: Also nochmal ganz langsam. Zu berechnen ist der Kommutator wobei r² eine etwas irreführende Schreibweise ist. In Komponenten lautet dies wobei über den Index i summiert wird. Der Index k bezeichnet die k-te Komponente des Drehimpulsvektors. Die (Deine) Rechnung liefert einen Term der Form was nichts weiter ist als die Indexschreibweise für was bekanntermaßen Null ergibt. In Indexschreibweise liefert der Ausdruck Null, da es sich um eine Summe der Form handelt, wobei A für eine antisymmetrische und S für eine symmetrische Matrix steht. Eine derartige Summe ergibt immer Null.
Telefonmann	Verfasst am: 25. Jun 2012 21:18    Titel: TruEnemy hat Folgendes geschrieben: Entweder, ich stehe total auf dem Schlauch Hallo TruEnemy, und sind genau genommen nur zwei Schreibweisen für das Gleiche und zwar den Drehimpulsvektor.
TruEnemy	Verfasst am: 25. Jun 2012 20:30    Titel: Entweder, ich stehe total auf dem Schlauch, oder, ich bin zu blöd dafür. Wie auch immer, Du wirst es besser wissen, als ich. Somit ist es = 0! Meine Rechnung ist aber korrekt? Und gilt das dann auch für ?
TomS	Verfasst am: 25. Jun 2012 17:39    Titel: TruEnemy hat Folgendes geschrieben: In der ersten Zeile steht, dass ist, aber nicht, dass ist? Oder sehe ich das falsch? Hier der relevante Ausschnitt: In der ersten Zeile steht, also dass der Operator (Ortsvektor-zum-Quadrat) mit dem Drehimpulsoperator als Vektor, also mit jeder einzelnen Komponente vertauscht!!! Und von einem Drehimpuls zum Quadrat steht da nichts.
TruEnemy	Verfasst am: 25. Jun 2012 17:22    Titel: In der ersten Zeile steht, dass ist, aber nicht, dass ist? Oder sehe ich das falsch? Hier der relevante Ausschnitt:
TomS	Verfasst am: 25. Jun 2012 17:17    Titel: TruEnemy hat Folgendes geschrieben: Aha, das deckt sich aber nicht mit dem Ergebnis, das ich gerade hier gefunden habe: Zeile 14: http://www.itp.phys.ethz.ch/education/lectures_hs08/QMI/qmi08-sol07.pdf Zeile 14??? Dass da Null rauskommt steht in der ersten Zeile! Und es muss Null sein, da der Ausdruck in den Indizes zu x symmetrisch, in den Indizes des Epsilonsymbols jedoch antisymmetrisch ist. Außerdem ist das doch nur das Kreuzprodukt des Ortsvektors mit sich selbst - und das ist natürlich Null!
TruEnemy	Verfasst am: 25. Jun 2012 17:06    Titel: Aha, das deckt sich aber nicht mit dem Ergebnis, das ich gerade hier gefunden habe: Zeile 14: http://www.itp.phys.ethz.ch/education/lectures_hs08/QMI/qmi08-sol07.pdf
TomS	Verfasst am: 25. Jun 2012 17:01    Titel: Ich sag' mal ganz platt folgendes: der Term ergibt Null!
TruEnemy	Verfasst am: 25. Jun 2012 16:54    Titel: Spielst Du an auf ?
TomS	Verfasst am: 25. Jun 2012 16:48    Titel: TruEnemy hat Folgendes geschrieben: Und was ist Stichwort: Antisymmetrie und Symmetrie
TruEnemy	Verfasst am: 25. Jun 2012 16:33    Titel: Juhu! Wie sieht's im Folgenden aus? Da habe ich kein gutes Gefühl ...
Telefonmann	Verfasst am: 25. Jun 2012 12:35    Titel: passt .
TruEnemy	Verfasst am: 25. Jun 2012 12:20    Titel: Danke! Beim folgenden Kommutator bin ich nahezu analog vorgegangen: Im letzten Schritt habe ich verwendet, dass ist. Simmt's?
Telefonmann	Verfasst am: 25. Jun 2012 11:56    Titel: TruEnemy hat Folgendes geschrieben: Kommt da raus? ja. BTW: Man sollte hier vielleicht noch erwähnen, dass in Deinem Beitrag von 9:05 über die Indizes j und k summiert wird. Nur deswegen darf man das Kronecker-Delta als k=l lesen.
TruEnemy	Verfasst am: 25. Jun 2012 11:07    Titel: Kommt da raus?
TruEnemy	Verfasst am: 25. Jun 2012 10:16    Titel: Und wie forme ich nun den letzten Ausdruck um? Sorry, ich bin bei dieser Aufgabe wirklich nicht gut
TomS	Verfasst am: 25. Jun 2012 09:07    Titel: ja
TruEnemy	Verfasst am: 25. Jun 2012 09:05    Titel: Ja, ich beiß mir an diesem Übungsblatt wieder die Zähne aus, es bereitet mir sehr viel Probleme :/ Aber in der Tat bin ich noch nicht ganz wach, da habe sich einige Indizes-Fehler eingeschlichen: Nun sollte es von den Indizes her stimmen ... ?
TomS	Verfasst am: 25. Jun 2012 08:54    Titel: Kannst du mal mit den Indizes ein bisschen besser aufpassen; du scheinst da echt Probleme zu haben! Zunächst startest du mit TruEnemy hat Folgendes geschrieben: Anschließend führst du wieder j im Epsilonsymbol ein und ersetzt dafür j durch l bei x. TruEnemy hat Folgendes geschrieben: Das ist natürlich etwas anderes. Die vorletzte große Klammer sieht richtig aus und du hast auch das korrekte Kronecker-Delta mit k=l TruEnemy hat Folgendes geschrieben: Dann schreinbst du aber plötzlich wieder ein Kronecker-Delta mit i=j TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
TruEnemy	Verfasst am: 25. Jun 2012 08:45    Titel: Ist das auch falsch?
TruEnemy	Verfasst am: 25. Jun 2012 08:34    Titel: Ja, ich beiß mir an diesem Übungsblatt wieder die Zähne aus, es bereitet mir sehr viel Probleme :/ Aber in der Tat bin ich noch nicht ganz wach, da habe sich einige Indizes-Fehler eingeschlichen: Nun sollte es von den Indizes her stimmen ... ?
TomS	Verfasst am: 25. Jun 2012 08:31    Titel: TruEnemy hat Folgendes geschrieben: habe ich (zwar nicht gänzlich selbst, aber ich kann es nachvollziehen). Es geht mir aktuell um . Die zwei Denkfehler, die ich in meinem letzten Post genannt habe, treffen ganz genau auf deine Herleitung zu. D.h. ein Index ist falsch und die Annahme, dass die Kommutatoren immer Null sind, ist ebenfalls falsch.
TruEnemy	Verfasst am: 25. Jun 2012 08:19    Titel: habe ich (zwar nicht gänzlich selbst, aber ich kann es nachvollziehen). Es geht mir aktuell um .
TomS	Verfasst am: 25. Jun 2012 07:53    Titel: Erster Fehler: Du darfst du nicht den freien Index j von x nochmal in der Summe über die Indizes des Epsilonsymbols verwenden. Zunächst ist j frei, dann entsteht jedoch aufgrund der Summenkonvention eine Summe über j. Also musst du in der Summe andere (als die freien) Indizes verwenden. Ich hatte dir doch schonmal einen Ansatz genannt: Nun geht es zunächst um den Doppelkommutator, bei dem nur gemischte Terme mit x und p beitragen werden, also Zweiter Fehler: Die Indizes sind aber durchaus nicht immer verschieden, es wird über alle Indizes summiert, d.h. in jeweils einem Fall muss der Index, z.B. n=r, übereinstimmen. Es gelten die kanonischen Vertauschungsrelationen und damit Nun kannst du über doppelt auftretende Indizes summieren. Es gilt r=n und s=m, d.h. im zweiten Epsilonsymbol werden diese Indizes einfach ersetzt. Nun benötigst die Kontraktion zweier Epsilonsymbole über einen Index: In deinem Fall musst du dir überlegen, wie du die Indizes durch zyklisches Vertauschen (d.h. ohne zusätzliches Vorzeichen) so umsortiertst, dass die Summation über den ersten Index erfolgt.
Uriezzo	Verfasst am: 25. Jun 2012 07:48    Titel: TruEnemy hat Folgendes geschrieben: Das j in und das j im zweiten ist nicht derselbe Index. Du solltest daher einen anderen Buchstaben verwenden, z.B.
jarCrack	Verfasst am: 25. Jun 2012 01:33    Titel: -
TruEnemy	Verfasst am: 25. Jun 2012 00:46    Titel: Bitte um Hilfe, wo liegt hier der Denk-Fehler? Das Ergebnis ist falsch.
pressure	Verfasst am: 23. Jun 2012 09:53    Titel: TruEnemy hat Folgendes geschrieben: Ich weiß zwar, was eine Permutation von 1,2,3 bezeichnet, aber mir ist schleierthaft, was eine gerade bzw. ungerade Permutationen davon sein soll. Bitte um Erklärung! 1,2,3 und zyklisch ist eine gerade Permutation, weil du diese durch gerade Anzahl von Permutationen aus 1,2,3 generieren kannst. 1,3,2 und zyklisch ist eine ungerade Permutation, weil du diese durch eine ungerade Anzahl von Permutationen aus 1,2,3 generieren kannst.
Telefonmann	Verfasst am: 23. Jun 2012 09:43    Titel: Es geht um die Anzahl der Vertauschungen zweier Indizes und die kann gerade oder ungerade sein. Kurz, bei jeder Vertauschung ändert das Symbol sein Vorzeichen. Du kannst Dir die Vorzeichen der sechs verbleibenden Elemente des LC-Symbols übrigens mit der Definition des Kreuzproduktes von zwei Vektoren sehr schnell herleiten. 21 Elemente sind gleich Null.
TruEnemy	Verfasst am: 23. Jun 2012 09:37    Titel: Ich weiß zwar, was eine Permutation von 1,2,3 bezeichnet, aber mir ist schleierthaft, was eine gerade bzw. ungerade Permutationen davon sein soll. Bitte um Erklärung!
TruEnemy	Verfasst am: 23. Jun 2012 00:19    Titel: Danke. Ich werde mir wohl das LC-Symbol genauer anschauen müssen, ansonsten rechne ich mich schwindelig. Aber für heute ist der Kopf zu ...
Telefonmann	Verfasst am: 22. Jun 2012 23:38    Titel: TruEnemy hat Folgendes geschrieben: Danke, aber wie denn, wenn ich mit diesem LC-Symbol nicht klar komme ... a) Man darf bei dem LC-Symbol für jeden Index (also i,j,k) die Werte 1,2,3 einsetzen b) Haben zwei Indizes den gleichen Wert ist der Wert des Symbols = 0, z.B. c) Ferner gilt per Definition d) Pro Vertauschung zweier Indizes wird das Vorzeichen gewechselt, also Schreibe Dir zur Übung alle 27 Fälle auf
TruEnemy	Verfasst am: 22. Jun 2012 23:26    Titel: Danke, aber wie denn, wenn ich mit diesem LC-Symbol nicht klar komme ...
TomS	Verfasst am: 22. Jun 2012 23:24    Titel: Rechne doch einfach mal hier weiter
TruEnemy	Verfasst am: 22. Jun 2012 23:22    Titel: Ich danke Euch für Eure Antworten. Mein Weg ist also zu kompliziert, schade. Ich habe starke Probleme mit diesem LC-Symbol, ich komme damit nicht klar
TomS	Verfasst am: 22. Jun 2012 23:20    Titel: schau dir mal seine Gleichung an; er setzt i=1, j=2, k=3 und rechnet das völlig korrekt durch, aber eben nur für genau diese festen Werte i=1, j=2, k=3.
Telefonmann	Verfasst am: 22. Jun 2012 23:15    Titel: TruEnemy hat Folgendes geschrieben: Hallo TruEnemy, Diese Gleichung ist falsch, weil i,j,k unabhängig voneinander die Werte 1,2,3 annehmen darf. Wenn ich mal einen Teil deiner Gleichung: mit i=j=k=1 anschaue, finde ich L_1 = 0, also Unsinn. Lösung: Ohne das LC-Symbol musst Du sämtliche Kombinationen für die Indizes durchrechnen, also 3*3*3=27 Kombinationen. Etliche davon sind trivial erfüllt (Kommutator = 0) und bei dem Rest wiederholt sich viel. Wenn dir das zuviel Arbeit ist, musst du formal mit dem LC-Symbol rechnen.

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