 Verfasst am: 22. Jan 2012 13:40 Titel: Aufgabe zur eindimensionalen, inhomogenen Wellengleichung |
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| Meine Frage: Hallo! Verzweifle gerade an folgender Aufgabe: Gegeben sei eine beliebige reelle Funktion s(t) der Zeit t. Zeigen Sie, dass die Funktion phi(x,t) = 0,5 s(t-|x|/c) der eindimensionalen Wellengleichung mit der Punktquelle (ds/dt)(t)*(1/c) bei x=0 genügt, d.h. dass d²phi/dx² - (1/c²)d²phi/dt² = -(ds(t)*delta(x))/(dt*c) gilt. Hinweis: Beachten Sie, dass |x|=x für x>=0 und |x|=-x für x<=0 ist, sodass die erste Ableitung von |x| nach x bei x=0 einen Sprung macht. Mit welcher Geschwindigkeit (einschließlic Vorzeichen!) breitet sich die Welle für x<0 bzw. x>0 demnach aus? Anmerkung meinerseits: In der Gleichung oben habe ich bei den Ableitungen ein d verwendet, genaugenommen müsste es natürlich ein del, sein, da partiell abgeleitet wird. Das delta(x) ist die Diracsche Deltafunktion. Meine Ideen: Also ich denke, die prinzipielle Vorgehensweise ist, dass man phi, bzw s, zweimal partiell nach x (und genauso nach t) differenziert, und dann schaut, ob das richtige rauskommt, wenn man das dann entsprechend der gegebenen Wellengleichung subtrahiert. Mein Ansatz: t-|x|/c = u dphi/dx = du/dx * dphi/du = -(1/2c)*dphi/du (muss noch für x<0 mit -1 multipliziert werden!) Das soll jetzt noch mal nach x abgeleitet werden und an der Stelle x=0 ausgewertet werden. Da das ja an der Stelle x=0 den Sprung macht von [(1/2c)*dphi/du] bis [-(1/2c)*dphi/du] war mein Gedanke, den Ausdruck einfach mit 2delta(x) zu multiplizieren, das müsste mir ja dann die Steigung dieser Funktion ergeben.. Aber mir kommt das noch nicht wirklich mathematisch sauber vor^^ Naja, dann weiter: s(t-|x|/c) zweimal nach t abgeleitet müsste ja null, ergeben, da s ja nur von t in der ersten Ordnung abhängt oder? Also: d²phi/dx² = -(ds(t)*delta(x))/(dt*c) (Ich vermute man darf dphi/du = ds(u)/du als ds(t)/dt schreiben, da man ja nur bei x=0 schaut?!?) (1/c²)d²phi/dt² = 0 und damit stimmt dann die obige Gleichung. So, jetzt ist mir aufgefallen, dass ich die Aufgabe ja doch fast schon irgendwie gelöst hab^^ macht also Sinn, das man hier eigene Ansätze aufschreiben muss^^ Aber hat jemand trotzdem nen tipp, wie ich diese zweite Ableitung von phi nach x noch sauber hinbekomm? und darf ich wirklich einfach annehmen, dass die zweite Ableitung nach t verschwindet? Und stimmt der Rest dann so? Danke =) Lg |
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