Physikerboard.de :: Thema-Überblick - Aufgabe 4 Widerstände - mit Gauß-Algorithmus lösen

GvC · Verfasst am: 07. Nov 2011 23:20 Titel:

Es läuft also auf das Aufstellen des vollständigen Gleichungssystems hinaus. Die Gleichungen können nur aus Knotenpunktgleichungen und Maschengleichungen bestehen.

Du hast ein Netzwerk mit z=4 Zweigen, also 4 unbekannten Strömen, und k=2 Knoten (dem Knoten am "oberen" Ende und dem am "unteren" Ende der Parallelschaltung).

Bei k Knoten gibt es k-1 unabhängige Knotenpunktgleichungen, im vorliegenden Fall also eine Knotenpunktgleichung. Dass die zweite Knotenpunktgleichung genau dasselbe aussagt wie die erste, also nicht unabhängig von der ersten ist, ist in vorliegendem Beispiel besonders deutlich, denn I4-I1-I2-I3=0 (oberer Knoten) ist mathematisch dasselbe wie I1+I2+I3-I4=0 (unterer Knoten).

Du hast also k-1 Knotenpunktgleichungen; demzufolge müssen die restlichen zur Lösung notwendigen m Gleichungen, also m=z-(k-1) Gleichungen vom Maschensatz geliefert werden, also aus Maschengleichungen bestehen. Im vorliegenden Fall ergeben sich m=z-(k-1)=4-(2-1)=3 unabhängige Maschengleichungen. Wenn man Deinen (falschen) Zuflüsterungen folgt, wären das beispielsweise die folgenden Maschengleichungen

U4+U1=U
U4+U2=U
U4+U3=U

Wenn Du für U1 bis U4 das ohmsche Gesetz anwendest und noch die Knotenpunktgleichung als vierte Gleichung hinzunimmst, hast Du das folgende vollständige Gleichungssystem:

I4*R4+I1*R1=U
I4*R4+I2*R2=U
I4*R4+I3*R3=U
I4-I1-I2-I3=0

4 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Das System kannst Du mit welchem Algorithmus auch immer lösen.

Wichtig ist, dass auch die Maschengleichungen voneinander unabhängig sein müssen. Bei der Auswahl der obigen Maschen habe ich darauf geachtet. Aber auch die folgenden 3 Maschengleichungen wären voneinander unabhängig:

I4*R4+I1*R1=U
I1*R1-I2*R2=0
I2*R2-I3*R3=0

Zum Aufstellen voneinander unabhängiger Maschengleichungen gibt es besondere Verfahren, z.B. das Verfahren des vollständigen Baums, oder auch ein vereinfachtes Verfahren, das darin besteht, jeden Maschenumlauf, für den man die Maschengleichung bereits aufgestellt hat, an einer beliebigen Stelle gedanklich aufzutrennen und solange weitere Maschenumläufe zu suchen, die nicht über eine solche gedachte Trennstelle führen, bis kein vollständiger Maschenumlauf ohne Trennstelle mehr möglich ist. Du wirst feststellen, dass Du auf diese Art und Weise bei beliebigen Netztwerken immer z-(k-1) voneinander unabhängige Maschengleichungen erhältst.

die.fly · Verfasst am: 07. Nov 2011 16:54 Titel:

habe ich schon verstanden ^^

nur das "problem" ist, dass es eine matheübung für das gausschema sein soll. also muss ich ein paar gleichungen aufstellen ^^

danke dir Zunge raus

GvC · Verfasst am: 07. Nov 2011 13:39 Titel:

die.fly · Verfasst am: 07. Nov 2011 03:06 Titel:

danke dir :p

eigentlich soll ivh es mit dem gaußalgorythmus lösen.
jetzt habe ich es verstanden und muss nur noch u1 u2 u3 an den jeweiligen widerständen berechen. Zunge raus

GvC · Verfasst am: 07. Nov 2011 01:53 Titel:

Die Zuflüsterungen in allen Ehren, aber ich würde die Spannungsteilerregel anwenden. Die hab' ich für solche Fälle nämlich mal gelernt.

Dazu ist erstmal der Gesamtwiderstand der Parallelschaltung zu bestimmen:

R1||R2||R3=(6/11)Ohm

Dann ist nach Spannunsgteilerregl die Spannung an der Parallelschaltung

U1=U*(6/11)/(4+6/11)=1,2V

und demzufolge die Spannung an R4

U4=U-U1=10V-1,2V=8,8V

Und jetzt kommt das ohmsche Gesetz

I4=U4/R4= ...

I1=U1/R1= ...

Und da die Spannungen an parallelen Widerständen dieselbe ist, gilt auch

I2=U1/R2= ...
I3=U1/R3= ...

die.fly

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ich hatte noch kein elektro und bin jetzt etwas irritiert. als ansatz wurden uns 3 gleichungen zugeflüstert.

(1) U4 + U3 = R4 / I4 + R3 / I3
(2) U4 + U2 =....
(3) U4 + U1 = ....

so, aber bei einer reihenschaltung gilt doch U ges. = U1 + ... + Un und bei einer Parallelschaltung ist U1=u2 usw.. und I dafür Iges. = I1 + ... + In.
muss man das nicht anders rechnen?