Physikerboard.de :: Thema-Überblick - mech. Spannung und Kraft beim Plattenkondensator

GvC · Verfasst am: 04. Dez 2009 20:39 Titel:

Hatte mich in meinem mittlerweile gelöschten Beitrag vom 2. Dez. 09 ein bisschen mit den Indizes und den Richtungen vertan, möchte das aber jetzt umfassend richtig stellen. Dazu eine Vorbemerkung und anschließend eine Vorbetrachtung.

Vorbemerkung: Sofern soja auf einer angeblich vorgegebenen Ladung von 20 C besteht, kann man dem Aufgabensteller nur zu seiner physikalischen und technischen Unkenntnis gratulieren. 20 C ist eine irre große Ladungsmenge, die auf einer Fläche von 0,1 m² bei den gegebenen weiteren Abmessungen eine Spannung in der Größenordnung von mehr als 10^7 kV (10^10 V) erfordert und Feldstärken in den hier gegebenen Dielektrika um die 10^7 kV/mm erzeugt. Die maximale im Labor erreichbare Feldstärke an Feststoffen liegt mehr als 6 Größenordnungen unter diesem Wert, und das auch nur in sehr sehr kleinen Volumina. Aber sei's drum, vielleicht hat soja sich ja geirrt; theoretisch rechnen kann man auch mit unrealistischen Werten.

Vorbetrachtung:
Ob bei angelegter oder abgetrennter Spannungsquelle, die Kraft auf die Grenzfläche wird in beiden Fällen dieselbe sein. Denn durch das Abtrennen der Spannungsquelle ändert sich wder die Spannung am Kondensator noch seine Kapazität. Es gilt in jedem Fall Q = C*U und für die Energiedichte

im Bereich 1
w1 = D1*E1/2

im Bereich 2
w2 = D2*E2/2

Bei gedachter virtueller (gedachter) Verschiebung der Grenzfläche in Richtung größerer DZ (epsr) um ds wird der Bereich 1 um das diffrentiell kleine Volumen dV = A*ds vergrößert, der Bereich 2 um dasselbe Volumen verkleinert. Der Energieinhalt des Bereiches 1 vergößert sich demnach um dW1 = w1*dV, der des Bereiches 2 verringert sich um dW2 = w2*dV. Insgesamt verändert sich der Energieinhalt des gesamten Kondensators also um eine (gedachte) Energiedifferenz von dW = dW1 - dW2.

Ist dW>0, wurde Energie in das System hineingesteckt, d.h. es wurde eine Kraft gegen die Grenzflächenkraft aufgewendet, die Grenzflächenkraft würde also gegen die Verschiebungsrichtung wirken (also in Richtung der kleineren DZ). Bei einer Energiedifferenz dW<0 (unerwarteterweise) wäre Energie gewonnen worden, die Grenzflächenkraft würde also in Richtung der Verschiebung wirken. Da F = -dW/dt, hätte die Grenzflächenkraft bei F<0 die entgegengesetzte Richtung wie die Verschiebung (also in Richtung der kleineren DZ), bei F>0 natürlich gerade umgekehrt.

Fall 1: angeschlossene Spannungsquelle, U = const, E1 = const, E2 = const. und wegen Gaußschem Flusssatz D1 = D1 = D (allerdings bei der virtuellen Verschiebung nicht konstant, da bei virtueller Veränderung der Kapazität und konstanter Spannung sich die Ladung und damit D=Q/A ändert)

dW = dV*(w1-w2) = dV*(D*E1/2 - D*E2/2)

D = eps*E

---> dW = (dV/2)*(eps1*E1² - eps2*E2²)

wegen D = eps*E = const. gilt E2 = (eps1/eps2)*E1

---> dW = (dV/2)*[(eps1*E1² - (eps2*eps1²/eps2²)*E1]

Kürzen, Ausklammern usw. führt zu

dW = (dV*eps1*E1²/2)*(1 - epsr1/epsr2) = (A*ds*eps1*E1²/2)*(1 - epsr1/epsr2)

---> F = -dW/ds = (A*eps0*epsr1*E1²/2)*(epsr1/epsr2 - 1)

Wie man sieht, ist F<0, d.h. die Grenzflächenkraft wirkt gegen die Verschiebungsrichtung, weist also in Richtung kleinerer DZ.

Fall 2: abgetrennte Spannungsquelle, d.h. D = const. (bei virturller Verschiebung und in Bereich 1 und Bereich 2 wegen des Gaußschen Flusssatzes gleich groß)

dW = (dV/2)*(D*E1 - D*E2)

E = D/eps

---> dW = (dV/2)*(D²/eps1 - D²/eps2) = (dV*D²/2eps0)*(1/epsr1 - 1/epsr2)

---> F = -dW/ds = (A*D²/2eps0)*(1/epsr2 - 1/epsr1)

Auch hier stellt man fest, dass F<0, die Grenzflächenkraft also gegen die Verschiebungsrichtung gerichtet ist.

Vergleich der beiden Fälle:
Dazu wird die zuletzt ermittelte Kraft auf eine vergleichbare Form gebracht durch Anwendung der Materialgleichung

D = eps*E, also auch D = eps1*E1

---> F = (A*eps1²*E1²/2eps0)*(1/epsr2 - 1/epsr1)

eps0 kürzen:

F = (A*epsr1*eps1*E1²/2)*(1/epsr2 - 1/epsr1)

epsr1 in die Klammer:

F = (A*eps0*epsr1*E1²/2)*(epsr1/epsr2 - 1)

ist also genauso groß wie die mit U = const. bestimmte Grenzflächenkraft, was natürlich nach Vorbetrachtung auch zu erwarten war.

Numerische Berechnung der Grenzflächenkraft und der mechanischen Spannung:

Dazu die Formulierung des Ergebnisses aus Fall2:

|F| = (A*D²/2eps0)*(1/epsr1 - 1/epsr2)

mit A*D² = Q²/A folgt

|F| = [Q²/(2*A*eps0)]*(1/epsr1 - 1/epsr2)

Wenn man hier die angeblich gegebenen Werte einsetzt, erhält man den ausgesprochen unwahrscheinlichen Wert von

|F| = 3,76*10^13 N

und für die mechanische Spannung

sigma = 3,76*10^13 N/0,1m² = 3,76*10^14 N/m²

Die gegebene Ladung von Q = 20 C ist also so unrealistisch wie nur irgendetwas. Durchaus realistisch wäre eine Ladung von Q = 20 µC.

soja · Verfasst am: 03. Dez 2009 23:00 Titel:

Ich sitze auch an der Aufgabe. Die Ladung Q = 20 C wird konstant gehalten, das ist die Änderung der Aufgabe. Mir fällt das nicht so leicht wie soll man da beginnen ?

DOZ ZOLE · Verfasst am: 03. Dez 2009 21:46 Titel:

vielen dank für die hilfe aber den verantwortlichen kam in den sinn die aufgabe nochmal zu ändern. die spannungsquelle wurde entfernt und nun ist die ladung der platten bekannt... das kann ich nun auch lösen

trotzdem vielen dank

GvC · Verfasst am: 03. Dez 2009 18:50 Titel:

@schnudl

Nur kommt der hier zu bestimmende Fall in der Powerpoint-Präsentation nicht vor. Schade!

schnudl · Verfasst am: 02. Dez 2009 14:26 Titel:

siehe z.B.:

http://www-tet.ee.tu-berlin.de/lehre/tet1_vorlesung/WS07/folien_049-052_screen.pdf

GvC · Verfasst am: 02. Dez 2009 12:23 Titel:

EDIT: Hier stand manches Richtige, aber auch ne Menge Quatsch. Deshalb erstmal gelöscht.

schnudl · Verfasst am: 02. Dez 2009 11:21 Titel:

Du hast im Prinzip zwei Kondensatoren in Serie!

DOZ ZOLE · Verfasst am: 02. Dez 2009 11:18 Titel:

Also denn bekomm ich das für die energie des Kondensators allgeimen:

- Energie des Kondensators

C - Kapazität

U - Spannung

Q - Ladung

A - Fläche der Platten

d - Abstand zwischen den Platten

is das erstmal so richitg? aber wie man die energie bestimmt wenn 2 dielektrika vorhanden sind weiß ich leider nicht, und googlen hat mich auch nicht weiter gebraucht genauso wie mein buch

GvC · Verfasst am: 02. Dez 2009 10:02 Titel:

@DOZ ZOLE

Dir sollte klar sein, dass schnudl mit "E" die Energie meint. Das ist ein bisschen verwirrend, da "E" in den Formeln zuvor die elektrische Feldstärke bezeichnet hat. schnudl hätte die Energie stattdessen besser mit "W" bezeichnen sollen.

schnudl · Verfasst am: 02. Dez 2009 07:09 Titel:

wie schon gesagt:

du musst die Grenzlinie im Kondensator um dx verschieben:

Was ist das dW, welches daraus resultiert?

Gleichzeitig gilt:

--
EDIT: E -> W corrected

DOZ ZOLE · Verfasst am: 01. Dez 2009 20:20 Titel:

also ich würde vermuten man muss beide berücksichtigen. allerdings weiß ich nicht wie man das anstellen soll

schnudl · Verfasst am: 01. Dez 2009 19:55 Titel:

Das E ist in beiden Medien unterschiedlich. Welches nimmst du?

DOZ ZOLE · Verfasst am: 01. Dez 2009 19:28 Titel:

die Änderung der Energie müsste doch folgendes sein:

allerdings ist hier doch nur die Fläche A bekannt. Oder war etwas anderes gemeint?

schnudl · Verfasst am: 01. Dez 2009 18:13 Titel:

du musst die innere Grenzfläche virtuell verschieben: c wird ein wenig grösser, d etwas kleiner.

Wie gross ist die Anderung der im Kondensator gespeicherten Energie unter dieser Änderung?

DOZ ZOLE

Hallo,
ich versuche gerade die folgende Aufgabe zu lösen und bin total überfordert. Bin für alles was mich einer Lösung näher bringt dankbar

http://www.abload.de/img/unbenanntu6pi.jpg

MfG
DOZ ZOLE