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TomS	Verfasst am: 01. Okt 2021 12:16    Titel: Zu Rollbedingung und die Rotationsenergie DrStupid hat Folgendes geschrieben: Wie ich oben schon sagte, sollten dadurch alle Beschleunigungen um einen konstanten Faktor verringert werden. Bei einer Vollkugel wäre es beispielsweise der Faktor 5/7. An der qualitativen Überlegung ändert das nichts. Dieser Effekt geht im Endergebnis an allen Stellen ein, wo die Fallbeschleunigung g auftritt. Man setzt Unter Verwendung der Rollbedingung sowie mittels folgt Setzt man nun E = 0 durch geeignete Wahl des Nullpunktes für die Energie E bzw. des Höhenprofils h, so gilt D.h. die Rechnungen bleiben gültig, wenn man im Endergebnis die Ersetzung durchführt.
Brillant	Verfasst am: 01. Okt 2021 11:57    Titel: DrStupid hat Folgendes geschrieben: Wenn sie dagegen abhebt, dann bleibt ihre Geschwindigkeit in x-Richtung während der Flugphase konstant Nehmen wir doch mal eine Bahn (A) in Form einer Flugparabel. Die x-Geschwindigkeit bleibt also konstant, während die Kugel auf der schiefen Ebene (B) an Geschwindigkeit zunimmt. Demnach müsste die Kugel auf B eher am Ziel sein, sofern Kugel A ihre Fallgeschwindigkeit durch sofortigen Aufstieg, also ohne Rennstrecke im Tal, wieder verliert.
DrStupid	Verfasst am: 01. Okt 2021 10:19    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Wie soll das funktionieren? Indem sich die Bahn stärker nach unten krümmt, als die Wurfparabel. TomS hat Folgendes geschrieben: Ja, man muss eine Röhre betrachten. Mit einer mangetische Kugel auf Stahlblech oder über einer supraleitenden Bahn ginge es auch. Es gibt sicher viele Möglichkeiten, wie man sowas realisieren kann. TomS hat Folgendes geschrieben: Außerdem müsste man die Rollbedingung und die Rotationsenergie betrachten. Wie ich oben schon sagte, sollten dadurch alle Beschleunigungen um einen konstanten Faktor verringert werden. Bei einer Vollkugel wäre es beispielsweise der Faktor 5/7. An der qualitativen Überlegung ändert das nichts.
DrStupid	Verfasst am: 01. Okt 2021 09:57    Titel: ML hat Folgendes geschrieben: Hmm, dann gilt's auch nicht für nur geneigte Bahnen, denn die können ja auch steiler sein als die Wurfparabel. Doch, da gilt es immer. Das Problem ist der Wechsel von der horizontalen zur geneigen Ebene. Wenn die Kugel dabei nicht abheben darf, dann wird sie in x-Richtung um den Faktor gebremst. Wenn sie dagegen abhebt, dann bleibt ihre Geschwindigkeit in x-Richtung während der Flugphase konstant. Allerdings muss sie dann elastisch Abprallen, weil bei einem unelastischen Stoß Energie verloren gehen würde. Das könnte möglicherweise auch dazu führen, dass sie ingesamt später ankommt, als die Vergleichskugel. Um dieses Problem zu vermeiden muss sich die Neigung kontinuierlich ändern und zwar niemals schneller als im freien Fall.
TomS	Verfasst am: 01. Okt 2021 09:37    Titel: DrStupid hat Folgendes geschrieben: Die Formel basiert auf einer falschen Annahme (dass die Geschwindigkeit einen instantanen Sprung macht) und führt deshalb zu einer falschen Schlussfolgerung (dass Kugel B immer schneller ankommt). Du hast recht. DrStupid hat Folgendes geschrieben: Prinzipiell sind auch Bahnen denkbar, bei denen die Kugel auf dem Weg nach unten in x-Richtung gebremst wird. Wie soll das funktionieren? Bei abnehmender Höhe nimmt die Geschwindigkeit zu. Du müsstest eine Bahn konstruieren, wobei eine Zunahme der Geschwindigkeit in y- jedoch eine Abnahme in x-Richtung erfolgt. DrStupid hat Folgendes geschrieben: Dazu muss die Kugel aber am Abheben gehindert werden. Wenn sie frei auf der Oberfläche rollt oder gleitet, dann ist das nicht möglich. Ja, man muss eine Röhre betrachten. Außerdem müsste man die Rollbedingung und die Rotationsenergie betrachten.
ML	Verfasst am: 01. Okt 2021 09:25    Titel: Hallo, DrStupid hat Folgendes geschrieben: ML hat Folgendes geschrieben: Auf der steileren Bahn geht es also auch schneller in x-Richtung voran. Das gilt aber nur für geneigte Ebenen und nicht für gekrümmte Bahnen. Wenn die Bahn z.B. der Wurfparabel entspricht, dann geht es in x-Richtung immer gleich schnell voran - egal wie steil sie ist. Hmm, dann gilt's auch nicht für nur geneigte Bahnen, denn die können ja auch steiler sein als die Wurfparabel. Das Problem mit dem "Abheben", das Du weiter oben angesprochen hast, muss man offenbar immer berücksichtigen. Viele Grüße Michael
DrStupid	Verfasst am: 01. Okt 2021 09:06    Titel: ML hat Folgendes geschrieben: Auf der steileren Bahn geht es also auch schneller in x-Richtung voran. Das gilt aber nur für geneigte Ebenen und nicht für gekrümmte Bahnen. Wenn die Bahn z.B. der Wurfparabel entspricht, dann geht es in x-Richtung immer gleich schnell voran - egal wie steil sie ist. Prinzipiell sind auch Bahnen denkbar, bei denen die Kugel auf dem Weg nach unten in x-Richtung gebremst wird. Ein Extremfall ist der senkrechte Abstieg und Aufstieg in und aus einer unendlich steilen Kugel, für die meine obige Rechnung gilt. Dazu muss die Kugel aber am Abheben gehindert werden. Wenn sie frei auf der Oberfläche rollt oder gleitet, dann ist das nicht möglich. Mittlerweile bin ich davon überzeugt, dass die Überlegung auch für rollende Kugeln gilt. In dem Fall tritt zwar zusätzlich zu Gewichtskraft und Normalkraft eine tangentiale Kraft auf, aber sie wirkt immer entgegen der Hangabtriebskraft und wird niemals größer als diese. Dadurch wird die Beschleunigung und Abbremsung in x-Richtung um einen bestimmten Faktor verringern, aber ihre Richtung wird nicht umgekehrt.
ML	Verfasst am: 01. Okt 2021 01:41    Titel: Hallo, Zitat: Was ich noch nicht ganz verstehe: Wieso bleiben die Talfahrer auf ihrer (ihren) Abwärts-Strecken nicht x-mäßig zurück? vergleichen wir einmal zwei schiefe Ebenen, die im Winkel zur Waagerechten verlaufen. Das bedeutet, die schiefe Ebene mit dem Index 2 ist steiler als die mit dem Index 1. Der Einfachheit halber soll die Kugel gleiten, so dass wir ihre Rotationsenergie vernachlässigen können. Für die Beschleunigung in x-Richtung gilt dann bzw. . Da der Sinus im angegebenen Bereich streng monoton steigend ist, gilt Auf der steileren Bahn geht es also auch schneller in x-Richtung voran. Viele Grüße Michael
Brillant	Verfasst am: 01. Okt 2021 00:14    Titel: ML hat Folgendes geschrieben: Hier gibt es das Experiment als Video: https://www.youtube.com/watch?v=nJIOlM837Zw (ab 1:30 min) oder so: https://www.reddit.com/r/Physics/comments/6p48aq/highs_and_lows_take_you_further/ Hallo Michael. Ich sehe meine Theorie bekräftigt. Im ersten Beispiel hat die Kugel (grün) durch die lange Gerade einen deutlichen Vorsprung. Im zweiten Beispiel sind die drei Talstrecken zusammen deutlich kürzer als die lange Kuhle aus 1 und der Vorsprung des Talfahrers ist gerade mal zwei Kugeldurchmesser. Was ich noch nicht ganz verstehe: Wieso bleiben die Talfahrer auf ihrer (ihren) Abwärts-Strecken nicht x-mäßig zurück? Gruß, Brilli
DrStupid	Verfasst am: 30. Sep 2021 14:57    Titel: Myon hat Folgendes geschrieben: Wenn die Kugel abhebt, wird sie in horizontaler Richtung nicht beschleunigt. Dann ist sie im Beispiel des 1. Beitrags i.a. nicht mehr schneller. Um in horizontaler Richtung nicht zu beschleunigen, darf Kugel B in der Kuhle nur im freien Fall unterwegs sein und zwischendurch elastisch abprallen. Sobald an irgend einer Stelle eine Hangabtriebskraft auftritt, wird sie Kugel A überholen. Langsamer als Kugel A kann sie in horizontaler Richtung nur werden, wenn es Zwangskräfte gibt, die ein Abheben verhindern. PS: Dabei gehe ich davon aus, dass die Kugel gleitet. Wenn sie ohne Schlupf rollt, dann wird es komplizierter.
Myon	Verfasst am: 30. Sep 2021 14:47    Titel: Das mit der Hangabtriebskraft war Blödsinn. Die Normalkraft hängt von der Geschwindigkeit ab. Wenn die Kugel abhebt, wird sie in horizontaler Richtung nicht beschleunigt. Dann ist sie im Beispiel des 1. Beitrags i.a. nicht mehr schneller.
DrStupid	Verfasst am: 30. Sep 2021 14:31    Titel: Myon hat Folgendes geschrieben: Voraussetzung neben fehlender Reibung ist einzig, dass die Kugel nie abhebt. Das müsste selbst dann gelten, wenn die Kugel abhebt. Du meinst vermutlich, dass keine Kräfte außer Schwerkraft und Normalkraft wirken dürfen.
Myon	Verfasst am: 30. Sep 2021 13:51    Titel: PS: Sehe, dass Veryyy oben schon genau dasselbe geschrieben hatte. Das gilt für diesen Fall einer horizontalen, geraden Strecke. Bei einer schiefen, geraden Strecke gilt es sehr wahrscheinlich schon nicht mehr allgemein. Die horizontale Komponente der Hangabtriebskraft erreicht wahrscheinlich bei einer Neigung von 45 Grad ein Maximum. Kann leider momentan nur so etwas gedanklich herumsinnieren und nichts rechnen.
ML	Verfasst am: 30. Sep 2021 13:47    Titel: Hallo, Myon hat Folgendes geschrieben: Frage mich aber: ist die Kugel in B nicht immer früher am Ziel, unabhängig von der Kuhlenlänge? Wenn Du die Kuhle unendlich tief machst, kommt die Kugel auf der gekrümmten Bahn auf jeden Fall später an, egal, wie lang die Bahn "unten" ist. Viele Grüße Michael
Myon	Verfasst am: 30. Sep 2021 13:28    Titel: Kann leider nur kurz schreiben, da ich im Spital liege. Frage mich aber: ist die Kugel in B nicht immer früher am Ziel, unabhängig von der Kuhlenlänge? Betrachtet man nur die Kräfte, die in horizontaler Richtung wirken sowie die horizontale Geschwindigkeitskomponente, so nimmt letztere zu Beginn der Kuhle infolge der Normalkräfte zu und am Ende der Kuhle wieder ab. Also ist die horizontale Geschwindigkeitskomponente an jedem Ort grösser oder gleich derjenigen in A. Voraussetzung neben fehlender Reibung ist einzig, dass die Kugel nie abhebt. Oder übersehe ich da etwas?
DrStupid	Verfasst am: 30. Sep 2021 11:24    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Meine Formel gilt natürlich für einen Spezialfall, erklärt aber das wesentliche. Die Formel basiert auf einer falschen Annahme (dass die Geschwindigkeit einen instantanen Sprung macht) und führt deshalb zu einer falschen Schlussfolgerung (dass Kugel B immer schneller ankommt). Was soll damit erklärt werden?
TomS	Verfasst am: 30. Sep 2021 11:08    Titel: DrStupid hat Folgendes geschrieben: TomS hat Folgendes geschrieben: Eigentlich haben wir das oben alles schon erklärt; man muss nur noch die Formeln diskutieren ;-) Vor allem müssen wir sie korrigieren. In Deiner Formel für die stückweise flache Strecke fehlen die oben schon mehrfach erwähnten Zeiten für die vertikale Bewegung. Meine Formel gilt natürlich für einen Spezialfall, erklärt aber das wesentliche. Der allgemeine Fall folgt aus dem Integral.
DrStupid	Verfasst am: 30. Sep 2021 10:34    Titel: TomS hat Folgendes geschrieben: Eigentlich haben wir das oben alles schon erklärt; man muss nur noch die Formeln diskutieren ;-) Vor allem müssen wir sie korrigieren. In Deiner Formel für die stückweise flache Strecke fehlen die oben schon mehrfach erwähnten Zeiten für die vertikale Bewegung. Die vollständige Gleichung lautet Im vorliegenden Fall ergibt sich daraus die Zeitdifferenz und somit Antwort 1 für Antwort 2 für und Antwort 3 für
Frankx	Verfasst am: 30. Sep 2021 09:46    Titel: Zitat: Eigentlich haben wir das oben alles schon erklärt; Interessanter ist, welche Anwendungsmöglichkeiten in Technik und Natur in Frage kommen. Ich könnte mir vorstellen, dass das in bestimmten Sportarten (z.B. Bahnradsport) eine Rolle spielt. Wäre es eventuell sinnvoll den Effekt bei Straßen oder Schienen zumindest teilweise zu nutzen? In der Natur kann man bei manchen Vögeln beobachten, dass sie nicht einfach geradeaus fliegen. Sie holen in kleinen Bögen immer wieder Schwung. Auch kurz vor der Landung auf einem Ast steigen sie wieder etwas auf, selbst wenn sie von weiter oben gestartet sind und der direkte Flug auf einer Geraden möglich wäre. Allerdings spielen hier sicher noch andere zusätzliche aerodynamische Fragen eine Rolle. Wer kennt noch andere Möglichkeiten oder hat den Effekt in der Natur beobachtet? .
Kurt	Verfasst am: 30. Sep 2021 09:04    Titel: ML hat Folgendes geschrieben: Hier gibt es das Experiment als Video: https://www.youtube.com/watch?v=nJIOlM837Zw (ab 1:30 min) Dieses Ergebnis ist eindeutig. Aber was ist wenn die Anordnung so ist wie in der Zeichnung? Kurt
TomS	Verfasst am: 30. Sep 2021 08:59    Titel: Brillant hat Folgendes geschrieben: Demnach müsste die Länge der Kuhle dafür verantwortlich sein, ob Kugel B eher am Ziel ist. Eigentlich haben wir das oben alles schon erklärt; man muss nur noch die Formeln diskutieren ;-)
Frankx	Verfasst am: 30. Sep 2021 08:46    Titel: Brillant hat Folgendes geschrieben: Demnach müsste die Länge der Kuhle dafür verantwortlich sein, ob Kugel B eher am Ziel ist. Nicht die Länge allein, sondern die geometrische Form insgesamt. In den gängigen Experimenten ist die Kugel auf der Bahn mit Kuhle schneller. Man kann sich aber auch leicht eine andere Kuhle vorstellen (oder bauen), bei der die Kugel mehr Zeit benötigt, als auf der direkten geraden Linie. Die ideale (schnellste) Linie ist die Brachistochrone. .
ML	Verfasst am: 30. Sep 2021 05:14    Titel: Hallo, Brillant hat Folgendes geschrieben: Aber gedanklich ist das nicht so klar. Beide Kugeln sind bis zum Anfang der Kuhle gleich schnell. Während Kugel B den Abhang runterrollt, bleibt sie in X-Richtung gegenüber Kugel A zurück. Nochmals, wenn sie den Abhang wieder hochrollt. Hier gibt es das Experiment als Video: https://www.youtube.com/watch?v=nJIOlM837Zw (ab 1:30 min) oder so: https://www.reddit.com/r/Physics/comments/6p48aq/highs_and_lows_take_you_further/ Viele Grüße Michael
istdochklar	Verfasst am: 29. Sep 2021 23:34    Titel: Zu Fuss kommst imemr schneller über den Berg also ist die Lösung hier ja klar.
Kurt	Verfasst am: 29. Sep 2021 22:21    Titel: Re: Welche Kugel kommt schneller unten an? Veryyy hat Folgendes geschrieben: 3. Beide Effekte heben sich genau auf. Beide Kugeln kommen gleichzeitig am Ende an. Ich meine, dass das nicht stimmt. Die Kugel mit auf/ab braucht länger bis sie ankommt. Grund. die Effekte heben sich nicht auf. Kurt
Brillant	Verfasst am: 29. Sep 2021 18:49    Titel: Veryyy hat Folgendes geschrieben: Ich habe mir jetzt noch überlegt, dass Kugel B immer schneller ankommen muss Ich kenne das Experiment und weiß, dass das so ist. Aber gedanklich ist das nicht so klar. Beide Kugeln sind bis zum Anfang der Kuhle gleich schnell. Während Kugel B den Abhang runterrollt, bleibt sie in X-Richtung gegenüber Kugel A zurück. Nochmals, wenn sie den Abhang wieder hochrollt. Demnach müsste die Länge der Kuhle dafür verantwortlich sein, ob Kugel B eher am Ziel ist. Wie der alte Psychomedes schon sagte: Einmal Abhang runter und sofort wieder rauf macht die Kugel zwar munter, aber hält sie auch auf.
TomS	Verfasst am: 22. Okt 2009 01:04    Titel: Noch eine kleine Vereinfachung: Nehmen wir an, die Kugel starte mit Geschwindigkeit Null. Falls nein, können wir das dadurch ereichen, dass wir sie eben davor entlang eines neuen Kurvenstücks von Null auf diese Geschwindigkeit beschleunigen. Nehmen wir weiter an, der so definierte Startpunkt der Kurve liege bei Höhe Null, d.h. die Energie sei zu Beginn exakt Null. Dann ergibt sich die klassische Aufgabenstellung:
TomS	Verfasst am: 22. Okt 2009 00:45    Titel: Veryyy hat Folgendes geschrieben: Dann ist bei deiner Rechnung also die Geschwindigkeit in der Kuhle. Das hat mich nur etwas verwirrt, weil ich in meiner Zeichnung die Geschwindigkeit in der Kuhle mit bezeichnet habe. Aber wenn bei dir die Geschwindigkeit in der Kuhle ist, stimme ich zu, dass sie größer ist. Nein! ist die größere der beiden Geschwindigkeiten, also die in der Kuhle, sonst wäre auch die Differenz nicht positiv. Evtl. verwirrt es dich, dass ich nur zwei Streckenabschnitte betrachte. Ich lasse die erste Gefällestrecke und die letzte flache Strecke weg, da hier beide Kugeln offensichtlich die selbe Geschwindigkeit haben und somit keine neuen Beiträge zur Zeitdifferenz entstehen. Veryyy hat Folgendes geschrieben: ... dass also der zusätzliche Weg gar keine Rolle spielt, ... Diese wird dann nur vom Weg nach unten überlagert, der die Geschwindigkeit der Bewegung nach rechts nicht beeinflusst. Siehe dazu die Gajeryis' Antwort. Anderes Gegenbeispiel zu deinem Argument wäre wieder die Brachistochrone: Man könnte geneigt sein, die Kurve nach unten unendlich auszudehnen, um der Kugel unendlich hohe Geschwindigkeit mitzugeben.Das funktioniert aber offensichtlich nicht. Du musst also schon für eine bestimmte Kuhle beweisen, ob der längere Weg eine Rolle spielt oder nicht.
Gajeryis	Verfasst am: 22. Okt 2009 00:13    Titel: Veryyy hat Folgendes geschrieben: Mittlerweile glaube ich aber, dass egal wie klitzeklein die Kuhle ist, Kugel B immer schneller ankommt.(dass also der zusätzliche Weg gar keine Rolle spielt, da er nicht in x-Richtung ist, sondern in y-Richtung) Ich sehe nämlich das Hinabrollen in die Kuhle als Überlagerung von zwei Bewegungen. Zum einen der horizontalen Bewegung (die immer gleich groß ist wie die der Kugel A). Genau dieser Punkt ist nicht ganz richtig. Die Geschwindigkeit, die du per Energieerhaltung errechnest, ist der Geschwindigkeitsbetrag, nicht die Komponente in horizontaler Richtung! Das heisst, in dem Moment, wo die Kugel B abzweigt, hat sie noch die selbe Geschwindigkeit wie Kugel A, ein Teil der Geschwindigkeit zweigt sich aber in die Vertikalbewegung ab. Treiben wir's ins Extrem: Die Abzweigung sei senkrecht. Während Kugel A fröhlich vorwärtsrollt, fällt B an der selben Stelle abwärts und beschleunigt dabei. Horizontal kommt sie aber nicht voran. Deshalb muss die horizontale Strecke, in der der volle Geschwindigkeitsbetrag für die Horizontalbewegung ausgenutzt werden kann, genügend lang sein, um die längere Strecke in den Abzweigungen kompensieren zu können. Dies führt auch zu den komplizierten Integralausdrücken. Nicht jede Bahn ist schneller als die Gerade. TomS hat Folgendes geschrieben: Dass sich eklige Integrale ergeben, ist klar. Aber Mathematica sollte das schon schaffen ... Wenn man Mathematica hat... joa. Aber der Wolfram-Rechner arbeitet ja auch mit einer Mathematica-Umgebung. Bei einer meiner Lösungsversuche kriegte ich als Zwischenlösung ein Integral in der Form Die Lösung dieses Integrals gibt eine "überaus übersichtliche" Formel. *lach* Bin mir aber gerade am überlegen, ob die Brachistochrone nicht mit numerischer Mathematik (Methode der kleinsten Quadrate) gefunden werden könnte. Für jeden Abschnitt zwischen zwei Stützstellen ergibt sich eine Gleichung für die benötigte Zeit. Daraus ergibt sich ein Gleichungssystem Ax - b = r, wobei r der Residualvektor mit den Abschnittszeiten ist, x die y-Koordinate der Stützstellen. Die Norm von r minimeren ist gleichbedeutend mit Minimierung der Laufzeit. Zum Glück rechnet sich sowas mit MATLAB sehr einfach. Dadurch sollte ich auf die optimale Lage der Stützstellen kommen, welche dann die Brachistochrone nachbilden sollten. Hm. Versuche ich aber nicht mehr heute.
Veryyy	Verfasst am: 21. Okt 2009 23:39    Titel: Zitat: In deinem Fall weißt du natürlich, dass das mittlere Stück (die Kuhle) mit größerer Geschwindigkeit durchlaufen wird, da hier die potentielle Energie geringer, also die kinetische Energie höher ist. Dann ist bei deiner Rechnung also die Geschwindigkeit in der Kuhle. Das hat mich nur etwas verwirrt, weil ich in meiner Zeichnung die Geschwindigkeit in der Kuhle mit bezeichnet habe. Aber wenn bei dir die Geschwindigkeit in der Kuhle ist, stimme ich zu, dass sie größer ist. Zitat: Für eine extrem kurze, flache Kuhle mag nun die höhere Geschwindigkeit einen zu kleinen Zeitgewinn bringen, der durch die größere NBahnlänge wieder aufgezehrt wird. In deinem Fall wird die Länge der Kuhle, über die die Kugel ihre höhere Geschwindigkeit ausspielen kann die etwas längere Wegstrecke (in die Kuhle hinein und wieder hinaus) sicher ausgleichen. Genau da liegt noch mein kleines Problem. Also ich habe deine Begründung durchaus verstanden. Ich habe ja selbst am Anfang so argumentiert. Mittlerweile glaube ich aber, dass egal wie klitzeklein die Kuhle ist, Kugel B immer schneller ankommt.(dass also der zusätzliche Weg gar keine Rolle spielt, da er nicht in x-Richtung ist, sondern in y-Richtung) Ich sehe nämlich das Hinabrollen in die Kuhle als Überlagerung von zwei Bewegungen. Zum einen der horizontalen Bewegung (die immer gleich groß ist wie die der Kugel A). Diese wird dann nur vom Weg nach unten überlagert, der die Geschwindigkeit der Bewegung nach rechts nicht beeinflusst. So kann B nur schneller sein als A, weil sie zwischendrin noch eine Überlagerung mit einer zusätzlichen Geschwindigkeit hat. Was sagst du dazu, ist diese Betrachtungsweise möglich?
TomS	Verfasst am: 21. Okt 2009 23:25    Titel: Also zunächst mal hast du recht, der eine Index fehlt; werde ich korrigieren. In deinem Fall weißt du natürlich, dass das mittlere Stück (die Kuhle) mit größerer Geschwindigkeit durchlaufen wird, da hier die potentielle Energie geringer, also die kinetische Energie höher ist. Für eine extrem kurze, flache Kuhle mag nun die höhere Geschwindigkeit einen zu kleinen Zeitgewinn bringen, der durch die größere NBahnlänge wieder aufgezehrt wird. In deinem Fall wird die Länge der Kuhle, über die die Kugel ihre höhere Geschwindigkeit ausspielen kann die etwas längere Wegstrecke (in die Kuhle hinein und wieder hinaus) sicher ausgleichen. Zu deiner letzten Überlegung: es gilt Und natürlich ist die Geschwindigkeitsdifferenz positiv, da ja das oben bezüglich der Energie gesagte gilt: geringere potentielle bedeutet höhere kinetische Energie und damit größere Geschwindigkeit
Veryyy	Verfasst am: 21. Okt 2009 23:09    Titel: Also die Rechnung habe ich soweit nachvollzogen. Direkt nach dem letzten Gleichheitszeichen müsste statt stehen, oder? Du ersetzt ja gerade durch . Das heißt ich ziehe von der Zeit die die obere Kugel braucht noch etwas ab, die untere Kugel muss also schneller am Ziel sein. Aber woher weiß ich, dass das was ich abziehe auch wirklich positiv ist? Dies gilt ja nur für und damit für . Ist das gegeben?
TomS	Verfasst am: 21. Okt 2009 22:57    Titel: Der Vergleich der beiden Kurven bzw. Zeiten im o.g. Fall reicht völlig aus. Man sieht, dass im zweiten Fall ein Teil der Bahn mit einer größeren Geschwindigkeit durchlaufen wird. Damit ist die benötigte Zeit aber kürzer. Da die Skizze sehr ungenau ist, kannst du ohne exakte Angabe der Kurve ja eh nur qualitativ argumentieren.
Veryyy	Verfasst am: 21. Okt 2009 22:37    Titel: uiuiui, also bei den komplizierten Formeln bin ich ausgestiegen. Zitat: Ach übrigens; die ursprüngliche Aufgabe ist natürlich schon gelöst ... Nur nochmals um sicherzugehen. Die richtige Lösung ist: Kugel B kommt schneller unten an, oder?
TomS	Verfasst am: 21. Okt 2009 21:32    Titel: Ach übrigens; die ursprüngliche Aufgabe ist natürlich schon gelöst ...
TomS	Verfasst am: 21. Okt 2009 20:23    Titel: Dass sich eklige Integrale ergeben, ist klar. Aber Mathematica sollte das schon schaffen ... Mir ging es aber eher darum, den allgemeinen Zusammenhang darzustellen. Die Geradenstücke sind jedenfalls der logisch nächste Schritt zu meiner o.g. sehr vereinfachten Formel. Mal sehen, ob mir dazu noch was einfällt.
Gajeryis	Verfasst am: 21. Okt 2009 18:55    Titel: Glaub mir, du willst diese Aufgabe nicht analytisch lösen. Ich habe seit Eröffnung des Threads mehrere A4 Seiten vollgekritzelt, im Versuch, die Brachistochrone herzuleiten bzw. die Laufzeit anderer Kurven zu rechnen. Die Herleitung der Brachistochrone auf Wikipedia kapiere ich mittlerweile, aber wie sie auf den parametrisierten Ansatz gekommen sind, entfällt jeglicher Erkenntnis meinerseits. Aber ich bin auch kein Mathematiker. Ich ergänze mal noch deine Formeln: mit v = v(h) Schon mit einer Funktion h(x) in der Form einer Parabel oder eine Katenoide gibt es äusserst mühsame Integrale, bei welchen sogar der Wolfram Online Integrator seine Zeit braucht - wenn er denn eine halbwegs anwendbare Lösung ausspuckt. Geradenstücke sind ohne Integral einfacher zu lösen.
TomS	Verfasst am: 21. Okt 2009 17:57    Titel: Außerdem kann man natürlich noch das Profil der Kurve einbringen: Dabei ist h eine Funktion h(s). Allerdings benötigt man zum Rechnen eine Funktion h(x), d.h. man muss zunächst s=s(x) über die Bogenlänge der Kurve bestimmen und im Integral dann substituieren:
TomS	Verfasst am: 21. Okt 2009 17:31    Titel: Mal ein paar Formeln dazu: Zunächst mal die Laufzeit der Kugel in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit: Dann der Fall stückweise flacher Strecken mit konstanter Geschwindigkeit Dann der Vergleich der beiden Kurven bzw. Zeiten im o.g. Fall
Veryyy	Verfasst am: 21. Okt 2009 17:02    Titel: Danke für die Tipps. Ich habe mir das mit der Brachistochrone jetzt mal angeschaut. Zitat: In dem hier vorliegenden einfachen Fall würde ich mir zunächst mal den Grenzfall unendlich steiler Kuhlen anschauen, also den Fall, dass die Geschwindigkeit instantan am Rand der Kuhle einen Sprung macht; dann sollte das ja mit dem Weg-Zeit-Gesetz einfach lösbar sein, oder Wenn man diesen Grenzfall betrachtet, ist ganz klar, dass die Kugel B schneller am Ziel. Sie ist ja immer entweder gleichschnell wie A oder schneller (in der Kuhle- egal wie kurz oder lang diese ist). Ich habe mir jetzt noch überlegt, dass Kugel B immer schneller ankommen muss, weil es sich um eine Überlagerung von Bewegungen handelt. Die Horizontalgeschwindigkeit die immer ist, wird auf dem Weg in die Kuhle verstärkt (die Kugel wird schneller) auf dem Weg aus der Kuhle abgeschwächt (die Kugel wird wieder auf abgebremst. Auch während die Kugel sich auf dem Weg in die Kuhle befindet (also an dem ganz kleinen Stück an dem es runter geht, wenn man jetzt einmal nicht den Grenzfall betrachet) bewegt sie sich ja genau so schnell nach rechts weiter. Durch das Hinabrollen wird diese Bewegung noch durch eine zusätzliche Beschleunigungsbewegung überlagert. Und damit rollt die Kugel noch schneller. Diese zusätzliche Beschleunigungsbewegung wird am Ende der Kuhle ganau wieder aufgehoben. Wieder durch Überlagerung sodass wieder genau die horizontale Geschwindigkeit erreicht wird.

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