TomS |
Verfasst am: 27. Apr 2009 07:41 Titel: |
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Das Verhalten hängt wesentlich von den Eigenschaften des Hamiltonoperators ab. Aus physikalischen Gründen kann man sich dabei auf symmetrische Operatoren beschräken, d.h. Damit ist sichergestellt, dass H ein reelles Spektrum hat. In den meisten Fällen wird man außerdem eine selbstadjungierte Erweiterung fordern; das ist jedoch nicht immer möglich;ein Gegenbeispiel wäre das freie Teilchen auf den positiven reellen Zahlen. Selbstadjungiert bedeutet dabei, dass die Definitionsbereiche übereinstimmen. H muss natürlich nach unten beschränkt sein, d.h. es muss einen "kleinsten Energieeigenwert" geben, sonst könnte ein Quantenobjekt "unendlich tief in das Potential fallen". Ob einem die Eigenschaften des Banachraumes dabei weiterhelfen ist mir nicht so ganz klar. Man benötigt ja ganz wesentlich die Eigenschaften des Hilbertraumes, also die Existenz eines Skalarproduktes (mit entsprechend normierbaren Eigenvektoren) sowie die Symmetrie bzw. Selbstadjungiertheit des Hamiltonoperators. All dies garantiert der Banachsche Fixpunktsatz natürlich nicht. Ich bin mir auch nicht sicher, ob man nicht zusätzlich die Separabilität des Hilbertraumes fordern muss, bzw. dass die Eigenvektroren eine abzählbare Basis aufspannen. Ich weiß nicht, ob der Formalismus der QM ohne diese Eigenschaften auskommt (ich weiß, dass man die Separabilität teilweise fallen lässt, aber das sind dann schon recht abgehobene Theorien zur Quantengravitation). Für die zeitabhängigte Schrödingergleichung ist das alles trivial, solange es sich um einen zeitunabhängigen Hamiltonoperator handelt; dann ist ein Separationsansatz ja immer durchführbar. Für zeitabhängige Operatoren H(t) wäre zunächst zu prüfen, welche Form der Zeitabhängigkeit überhaupt physikalisch sinnvoll ist. |
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