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Gast	Verfasst am: 10. Jan 2005 14:37    Titel: für mich ist das alles ziemlich kompliziert und ich weiß auch nicht, warum er unbedingt das machen musste. dies ist eine hausaufgabe die abgegeben wird... hätte er das nur so zum nachdenken abgegeben und wenn es dann gemeinsam gelöst worden wäre, dann hätte ich wenige probleme damit gehabt, aber so... thx für eure hilfe
yeti777	Verfasst am: 08. Jan 2005 16:09    Titel: @ PROF: Ich möchte SIMONKO und sein "Beraterteam" aus 2 Gründen in Schutz nehmen: a) Die Aufgabe ist sehr unklar gestellt. Will der Lehrer wirklich eine Lösung für den Skater in der Halfpipe mit ROLLREIBUNG oder ist es nur eine analoge Aufgabenstellung wie das Fadenpendel mit grossem Ausschlag (Dank an etzwane und navajo ) oder will er gar eine Analogie herstellen mit dem Feder/Massependel, indem hier die potentielle Energie des Skateboarders der Federenergie gleichgesetzt wird? Wozu die Angabe einer Masse (fällt beim Fadenpendel und bei der Rollreibung raus), warum wird nichts über den Reibungskoeffizienten ausgesagt, etc.? b) Simonko hat nicht nichts getan! Er hat sich bemüht, die ihm vorgebrachten Vorschläge zu verstehen und umzusetzen. Für Simonko deshalb @ Laplacus und die anderen: Danke, dass ihr "die Stellung gehalten" habt. Ich war 2 Tage weg und bin im Moment zeitlich ziemlich angespannt. Hallo Simonko ! Im Prinzip kannst du dich an die Lösung von Laplacus halten. Der Hinweis von etzwane und navajo haben mich aber auf die Idee gebracht, ob es hier nicht ganz einfach um die Anschauung einer ungedämpften resp. gedämpften Schwingung geht, schön verpackt mit dem Skateboarder in der Halfpipe. Deshalb habe ich die Idee von etzwane/navajo mit dem Fadenpendel aufgegriffen und noch einen anderen Lösungsansatz verfolgt. Die Masse, die beim Fadenpendel eigentlich keine Rolle spielt, habe ich in den Reibungskoeffizienten verpackt, was für diesen zu etwas unorthodoxen Dimensionen führt, aber was soll's. Ich bin von folgender Diff.gleichung ausgegangen: alpha: Winkel zwischen der y-Achse und dem Massepunkt, mathematisch positiver Sinn mu/m: Reibungskoeffizient, 0: ungedämpft, <>0, >0: gedämpft g: Erdbeschleunigung r: Radius der Halfpipe Die Masse könnte man sich eigentlich sparen. So aber hat sie den Effekt, dass bei grösser werdender Masse die Reibung vermindert wird. Nun zu deinen Differenzengleichungen, wiederum hergeleitet mit dem Polygonzugverfahren von EULER: Sei y1(t) := alpha(t), Winkel im Bogenmass [-] und y2(t) := Winkelgeschwindigkeit [1/s] T := Zeitschritt in [s] Anfangsbedingungen: y1(0) = Startwinkel, zB. pi/2 y2(0) = 0, Geschwindigkeit = 0! Rekursion: y1(k) = y1(k-1) + T*y2(k-1) y2(k) = y2(k-1) - T*(mu/m)*y2(k-1) - T*(g/r)*sin(y1(k-1)), k = 1,2,3,..... Mit diesem Algorithmus kannst du Winkel und Winkelgeschwindigkeit berechnen. x(t) und y(t) erhältst du durch die entsprechenden Projektionen von r(t) auf die x- resp. y-Achse. Die Berechnung des Skateboarders auf der Bahn lasse ich dir als Hausaufgabe . Die Winkelbeschleunigung erhältst du durch numerische Differentiation der Winkelgeschwindigkeit. Aber aufgepasst: Das EULER-Verfahren ist ziemlich primitiv, die Resultate entsprechend "wackelig" (siehe Plots im Anhang). Durch die Differentiation findet eine zusätzliche Aufrauhung statt, sodass du bezüglich Genauigkeit nicht allzuviel erwarten kannst. Ich habe den Algorithmus programmiert und mit dem Runge-Kutta-Verfahren verglichen. Die Resultate findest du im Anhang. Wenn's also nicht läuft, gib nicht mir die Schuld . Falls du noch Fragen hast, stelle sie. Ich werde dann noch schnell ins Board reinschauen. Gruss yeti PS. Die Sache mit Vorzeichen in meinem ersten Lösungsvorschlag mit der Bogenlänge hat sich erledigt. Es kommt nur auf die Definition des Winkels an. Winkel zwischen r(t) und x-Achse -> Vorzeichen negativ, Winkel zwischen r(t) und y-Achse -> Vorzeichen positiv.
PROF	Verfasst am: 08. Jan 2005 00:01    Titel: also wenn ich der lehrer dieses schülers wäre, wäre ich ganz schön zornig, da er ja selber so gut wie nix gemacht hat
Enthalpus-Laplacus	Verfasst am: 05. Jan 2005 01:50    Titel: Hallo Simonko, dein Ansatz: d.h. somit ist dann die Gesamtbeschleunigung: ist korrekt und plausibel, denn: Die zu einem bestimmten Zeitpunkt t wird die Tangentialbeschleunigung durch die Reibung (-sbeschleunigung) vermindert. Das es sich sozusagen um eine "Zustandsgleichung" handelt, die nicht die Periodizität der Bewegung berücksichtigt musst du sie nach dem Euler-Polygonenzugverfahren das Yeti777 beschrieben und erklärt hat Stück für Stück immer wieder zu einem späteren Zeitpunkt neu berechnen. Damit bekommst du dann den groben bewegungsablauf der Bewegung. Zu deiner Frage bezüglich des Winkels: Da der Winkel im Argument der Sin- und Cos- der Gleiche ist, nimmst du daher die gleichen Bedingungen für die Berechnung wie es Yeti beschreibt.
Simonko_	Verfasst am: 04. Jan 2005 16:30    Titel: Ja ich weiss dass das delta T klein sein muss um genauere ergebnisse zu haben. wir nehmen in der schule immer 0.1 sec das reicht für unsere zwecke aus. Nein ich glaub das ist eher gummi auf holz. Das soll jetzt auch nicht so genau sein. Wir sollen nur das Model aufstellen das mü kann man dann selbst in der Tabelle eingeben daraus errechnet die tabellenkalkulation dann neue werte. Brauchen würd ich nur die Formel.
yeti777	Verfasst am: 04. Jan 2005 13:37    Titel: Hallo Simonko, Es ist Mittagspause und ich wollte mal schnell reinschauen, wie weit du bist. Zu Fall 1, ohne Reibung: Das EULER'sche Polygonzugverfahren ist von der Konsistenzordnung 1, dh. für den Diskretisationsfehler gilt für T -> 0. Das bedeutet, dass du genauere Resultate kriegst, wenn du den Zeitschritt T verkleinerst. Praktisch hat das natürlich seine Grenzen, denn da man auf jedem Rechner nur mit endlicher Stellenzahl rechnen kann, überwiegen mit immer kleiner werdendem T ab einem gewissen Punkt die Rundungsfehler. Überdies musst du natürlich mehr rechnen . Zu Fall 2, mit Reibung: Ich kann deinen Ansatz mit Reibung, der auf der Formel von Laplacus basiert, weder bestätigen noch widerlegen, denn ich hatte noch keine Zeit, mich damit zu befassen (man muss ja auch noch was anderes tun!). Aber gib mir doch bitte den Reibungskoeffizienten bekannt für den Fall, dass ich noch Zeit finde, mich damit zu beschäftigen. Beim Skateboard handelt es sich um Rollreibung, aber von was auf was (Gummi auf Stahl, Stahl auf Stahl)? Gruss yeti
Simonko_	Verfasst am: 03. Jan 2005 21:23    Titel: also in diesem fall: FN=3*70*9,81*sin(phi) // das selbe phi wie yeti? FR=FN*mü a2=FR/m a2=FR/70 a(k) = g*cos(s(k-1)/r) - a2 so stimmts jetzt oder?
Enthalpus-Laplacus	Verfasst am: 03. Jan 2005 21:13    Titel: Hallo Simonko, das habe ich in meinem Post auf Seite 3 ausgerechnet. (Der Teil von Anfang bis EDIT Nr. 1).
Simonko_	Verfasst am: 03. Jan 2005 21:00    Titel: Ich bedanke mich für die antwort. der skateboard fahrer wiegt aber 70 kilo und ich muesste die reibung berücksichtigen. wie sieht denn die normalkraft auf so einer half pipe aus? wie kann ich sie errechnen?
yeti777	Verfasst am: 03. Jan 2005 20:53    Titel: Nachtrag von yeti: Da der Upload auf 80 kByte beschränkt ist, konnte ich die Resultate mit dem RUNGE-KUTTA-Verfahren nicht auch noch anhängen. Hier sind sie! Im tiefsten Punkt der Halfpipe, wo der Ort bekannt ist und die Geschwindigkeit mit Hilfe des Energiesatzes berechnet werden kann, ist der Betrag der Abweichung < 10^(-5). Nicht schlecht Gruss yeti
yeti777	Verfasst am: 03. Jan 2005 20:47    Titel: Hallo Simonko , Hier sind deine Gleichungen und dein Vorgehen: 1. Anfangsbedingungen, k=0 (Index) t(0)= 0, Zeit [s] T = 0.05 [s], Zeitschritt, Wert als Beispiel a(0) = g = 9.81 [m/s^2], Erdbeschleunigung v(0) = 0, Geschwindigkeit des Skaters [m/s] s(0) = 0, Weg des Skaters in der Halfpipe [m] phi(0) = 0, Winkel zwischen x-Achse und Skater (siehe meine erste Skizze!) x(0) = r = 6 [m], x-Koordinate des Skaters y(0) = 0, y-Koordinate des Skaters 2. Iteration k = k+1 t(k) = t(k-1)+T a(k) = g*cos(s(k-1)/r) v(k) = v(k-1)+a(k-1)*T s(k) = s(k-1)+v(k-1)*T phi(k) = s(k-1)/r x(k) = r*cos(s(k)/r) y(k) = r*sin(s(k)/r) 3. Loop GOTO 2 UNTIL .... Die eigentliche Knacknuss für mich war, was du mit deinen Differenzengleichungen meinst. Mathematisch gesehen löst du ein System von zwei Differentialgleichungen 1. Ordnung mit dem Polygonzugverfahren von EULER. Das braucht dich weiter aber nicht zu kümmern . Für meine Physikerfreunde im Board habe ich eine kurze Herleitung des Verfahrens angehängt (allerdings etwas hemdsärmelig ). Um dir den Start zu erleichtern, habe ich dir einige Bildchen angehängt: - Vorschlag für die Rechentabelle - die ersten Werte mit dem EULER-Verfahren (DEIN Differenzenverfahren) - Werte mit EULER um den tiefsten Punkt der Halfpipe herum Ich werde noch einen weiteren Post machen, um die Resultate mit einem genaueren Verfahren anzuschlagen, zum Vergleich mit EULER. Viel Erfolg ! Wenn du noch Fragen hast, sei so frei! Edit1: Der Vorschlag für die Rechentabelle fehlt, yeti.
Simonko_	Verfasst am: 03. Jan 2005 19:21    Titel: differentialgleichung kann ich nicht nur differenzengleichung
yeti777	Verfasst am: 03. Jan 2005 19:00    Titel: @ Simonko: Ich habe deine Lösung, dh. Formeln, Algorithmus und Resultate. Ich muss es nur anständig zeichnen, scannen und posten. Muss aber im Moment weg, werde den Kram aber heute noch posten. @ Laplacus: Dein Energieansatz würde mich mächtig interessieren. Auch ich lerne gern etwas zu. Als "Elektromensch" und Ingenieur bin ich nicht sehr gewandt in der Mechanik. Ich habe volles Vertrauen in dich und erwarte deine Lösung Gruss yeti
Enthalpus-Laplacus	Verfasst am: 03. Jan 2005 18:42    Titel: @Yeti777: Das mit der Krümmung war mir jetzt neu. Habe immer mit dem Krümmungsradius gearbeitet. Aber man lernt ja nie aus . Und irgendwie komme ich immer noch nicht auf nen grünen Zweig beim Energieansatz.
para	Verfasst am: 03. Jan 2005 18:15    Titel: Simonko_ hat Folgendes geschrieben: genau Viel interessanter wäre aber, ob ihr in der Schule bereits mit Differentialgleichungen umgeht, dir also die Berechungen seitens yeti, enthalpus und najavo dir was gebracht haben, oder ob du in etwa so schlau bist wie vorher.
Simonko_	Verfasst am: 03. Jan 2005 18:06    Titel: yeti777 hat Folgendes geschrieben: 6. Jetzt muss ich mich der Lösung für den "armen" Simonko zuwenden, der wahrscheinlich durch unsere Fachsimpelei den Faden vollends verloren hat. genau
yeti777	Verfasst am: 03. Jan 2005 14:16    Titel: Hoi zäme! Ich freue mich, dass das Problem von Simonko auch das Interesse der jungen Löwen der Physik gefunden hat. Ich habe die in der Zwischenzeit geschriebenen Beiträge nicht im Detail studiert, möchte aber zu meinem Lösungsansatz folgende Bemerkungen hinzufügen: 1. @Laplacus: Enthalpus-Laplacus hat Folgendes geschrieben: yeti777 hat Folgendes geschrieben: Zeite Ableitung, Beschleunigung: . Dabei ist der Normaleneinheitsvektor und die Krümmung. ist die Beschleunigung tangential zur Bahn, der Term mit die Beschleunigung senkrecht zur Bahn. Das ist meiner Auffassung nach falsch!!!!!! Das ist nicht falsch! IST die Krümmung. Das zeigt schon eine Plausibilitätsbetrachtung: Bei grossen Krümmungen ist die durch die Richtungsänderung bedingte Zentripetalbeschleunigung gross. Der Krümmungsradius ist . Hingegen habe ich geschlampt beim Hinschreiben des Normalenvektors. Selbstverständlich ist dieser von der zurückgelegten Bogenlänge abhängig und diese wiederum von der Zeit t. Eigentlich müsste es heissen n(s(t)). Siehe dazu mein Mengen-Kommutationsdiagramm im Anhang 1. 2. Zur Frage sin/cos: Beachtet, dass ich meinen Winkel etwas unorthodox definiert habe. Mit dem Additionstheorem des Sinus ergibt sich Übereinstimmung mit dem klassisch definierten Winkel , siehe Anhang 1. 3. Genauigkeit der numerischen Lösung der DGL: Im Gejufel hatte ich keine Zeit, eine Fehlerabschätzung zu machen. Eure Vermutung ist aber schon richtig. Die sich ergende Abweichung zur exakten Lösung hängt nur von der Schrittweite bei der numerischen Integration ab. In einem 2. Versuch habe ich mal die Schrittweite halbiert, dh. delta_t = 0.05 [s] gesetzt und damit sehr brauchbare Resultate erhalten. im Punkt s = 3*pi (Radius = 6 [m]) stimmt die numerische Lösung praktisch auf 5 Dezimalen nach dem Komma mit der exakten Lösung überein, siehe Anhang 2. 4. Zur Lösung s(t): Siehe Grafik im Anhang. Ergibt eine ungedämpfte (da keine Reibung) cos-ähnliche Schwingung (mit dem von mir gewählten Koordinatensytem). Relevant für die gestellte Halfpipe-Aufgabe ist natürlich nur der Bereich bis zum ersten lokalen Maximum. 5. Die xy-Koordinaten in Funktion von ergibt sich jetzt durch die Parameterdarstellung des Kreises: x(t) = r*cos(s(t)/r), y(t) = r*sin(s(t)/r). 6. Jetzt muss ich mich der Lösung für den "armen" Simonko zuwenden, der wahrscheinlich durch unsere Fachsimpelei den Faden vollends verloren hat. Ich denke, ich habe begriffen, was er will: Er will die DGL (die er eigentlich gar nicht sehen will) mit dem Polygonzugverfahren von EULER (Einschrittverfahren) integrieren, zuerst für v(t), dann für s(t) in den xy-Koordinaten. Da dieses Verfahren, im Vergleich mit raffinierteren, recht einfach ist, kann man natürlich nicht dieselbe Genauigkeit erwarten. Geduld! Wenn ich die nötige Zeit noch finde, werde ich die Lösung hier posten. Nur Mut, Simonko ! 7. Vorzeichen des cos in der DGL: Ja, das ist auf Grund meiner allerersten Skizze negativ. Warum das nicht mit dem klassischen Ansatz des Fadenpendels (habe übrigens die Analogie nicht gesehen, da zu lange weg von der Physik) übereinstimmt, kann ich mir nicht erklären. Nur soviel: Wenn ich das Vorzeichen in meiner DGL positiv einsetze, erhalte ich eine negative Bogenlänge . Gruss yeti
Gast	Verfasst am: 03. Jan 2005 10:06    Titel: Enthalpus-Laplacus hat Folgendes geschrieben: Das heißt die Energiegleichung würde folgendermaßen aussehen: Hier hast du über die Energiegleichung ohne Reibung die Geschwindigkeit ausgerechnet und dann in die Energiegleichung mit Reibung eingesetzt. Das ist ja aber nicht richtig, denn so berücksichtigt die eingesetzt Geschwindigkeit die Reibung ja garnicht. Halt ne, du hast ja garnicht die Geschwindigkeit eingesetzt. Aber was hast du da gemacht? Sieht irgendwie ein bisschen wie deine Potentielle Energie aus, aber das wär ja auch nicht richtig. Enthalpus-Laplacus hat Folgendes geschrieben: mit folgt Das wäre die "standard" Beschreibung der Bewegung des Skateboarders unter berücksichtigung der Reibung in Abhängigkeit der x-Koordinate. Ich hoffe das es so stimmt. Hmm das kommt mir irgentwie komisch vor. Die y-Komponente abhängig von der x-Komponente sollte doch einfach einen Halbkreis beschreiben. Also . Und die Reibung dürfte das ja nicht beinflussen. r war doch der Radius des Kreises, oder? Dass der von und von versteh ich auch nicht. Aber prinzipiell müsste dieser Energieansatz ja richtig sein. para hat Folgendes geschrieben: Könnte es eventuell sein dass wir alle viel zu kompliziert denken? Das klingt eher als wäre nach einem rekursiven Lösungsweg gesucht (wegen dem Δt) - würde auch lehrplanmäßig besser in die 11. Klasse passen (denk' ich zumindest). Jo so mathematisch soll die Beschreibung warhscheinlich gar nicht sein . Vll sollten wir uns mal nen Ansatz überlegen, der mehr in Simonkos Sinne ist.
para	Verfasst am: 03. Jan 2005 08:12    Titel: Könnte es eventuell sein dass wir alle viel zu kompliziert denken? Simonko_ hat Folgendes geschrieben: ich brauch zu jedem zeitpunkt deltat einen ortsvektor r(x,y) und die geschwindigkeit Das klingt eher als wäre nach einem rekursiven Lösungsweg gesucht (wegen dem Δt) - würde auch lehrplanmäßig besser in die 11. Klasse passen (denk' ich zumindest).
Enthalpus-Laplacus	Verfasst am: 03. Jan 2005 05:54    Titel: Ich möchte mal an dieser Stelle anmerken, das nur masochisten versuchen Differentialgleichungen aufzustellen und sie zu lösen. Meine wenigkeit geht immer den Weg des geringsten widerstands, der in diesem Falle wäre: ENERGIEANSATZ Am Punkt A ist die Potentielle Energie maximal. Am Punkt C ist die kinetische Energie Maximal und die Potentielle defintionsgemäß null. Wobei ein Teil der Energie in Reibung umgesetzt wurde, es gilt somit: Das Problem ist die Potentielle Energie zwischen den Punnkten A und C. Deswegen betrachte ich jetzt den Punkt D. Hier gilt für die Potentielle Energie (siehe auch Skizze): Somit kann man jetzt eine Aussage über die Abhängigkeit der Umfangsgeschwindigkeit vom Winkel und somit von der Winkelgeschwindigkeit mache. Dadurch ist nun die Möglichkeit gegegeben auf die Normalkraft zu schließen und somit auch auf die Reibungsverluste im verlauf der Bewegung: EDIT Nr.1: Die Energiegleichung muss lauten: Damit kommt raus: mit folgt Das wäre die "standard" Beschreibung der Bewegung des Skateboarders unter berücksichtigung der Reibung in Abhängigkeit der x-Koordinate. Ich hoffe das es so stimmt. Edit Nr. 2: Für die Geschwindigkeit in abhängigkeit vom Winkel bekommt man mit: somit ist Edit Nr. 3: Die Gleichung für die Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Winkel dürfte richtig sein. Der erste Teil der Summe unter der Wurzel auf jeden Fall, beim zweiten bin ich mir nicht ganz so sicher. Die Einheiten Stimmen auf jedenfall. Die Gleichung y(x) ist auch so eine Sache. Die Krux an der Sache ist die Reibungsarbeit die einen Verlust der Potentiellen Energie verurasacht. Ich bin mir bei dem Integral nicht sicher wie es gelöst werden muss: denn es ist ja das Problem ist das sin, denn man kann nach ds integrieren. Alle dre Möglichkeiten wären meiner Meinung nach Richtig aber sie führen zu völlig verschiedenen Ergebnissen für den Reibungsverlust. Ich komme hier wirklick nicht auf nen grünen Zweig. Scheinbar hab ich doch nicht den Weg des geringsten widerstands genommen. Wäre dacher wirklich genial wenn sich ein oder mehrere zweite "Sachverständige" mal die Sach kurz anschauen könnten.
Enthalpus-Laplacus	Verfasst am: 03. Jan 2005 04:47    Titel: Ich möchte zwar weder vulgär, noch arrogant oder sonstwie erscheinen aber eines muss ich loswerden: Welcher IDIOT von Lehrer stellt eine eigentlich so komplexe Aufgabe in der Schule???? Das ist doch eigentlich total hirnrissig. Und da wundern sich die Leute über PISA. Die Kids in der Schule wissen zwar nicht wie man die relative Luftfeuchte bestimmt, oder wie man Feststellt ob sich ein Wirbelstrum auf der jeweiligen Nord/Südhalb Kugel links oder rechts herum dreht bzw. warum das so ist geschweige denn annähernd eine Ahnung von den Newtonschen Axiomen zu besitzen aber so einen "Scheiß" von Ihnen verlangen. Da kann man seine Kinder wirklich nur noch auf eine Privatschule Schicken (und zwar so eine richtig teure). Da ist es doch kein Wunder das es mit Deutschland den Bach runter geht. (Musste mal sein.)
Enthalpus-Laplacus	Verfasst am: 03. Jan 2005 00:02    Titel: OK. Stimmt. Das (-) habe ich hier scheinbar übersehen. Dann passt das ganze ja so wie du es gemacht hast.
navajo	Verfasst am: 02. Jan 2005 23:57    Titel: Enthalpus-Laplacus hat Folgendes geschrieben: Da muss ich dir wiedersprechen, denn: und somit In der Lagrange-Gleichungs steht ja auch noch ein Minus, was sich mit dem Minus von der Partiellen Ableitung tot macht. Enthalpus-Laplacus hat Folgendes geschrieben: Soweit ich mich erinnere, passt das mit der e-Funktion. Man kann durch Reihenetnwicklung zeigen, dass die e-Funktion aus sinus und cosinus zusammengesetzt ist. Das wird ja glaube ich auch bei der Lösung von DGL durch linearkombination ausgenutzt. Meine Dgl ist ja eine lineare Dgl 2ter Ordnung. Die kann man ja umbauen in eine 2 dimensionale lineare Dgl 1ter Ordnung. Die sieht dann irgentwie so aus: . Dann kann man die Eigenwerte von A bestimmen und Lösung ist dann sowas wie . Das schreibt man dann in diese Schreibweise mit Sin und Cos um und kriegt wie du schon gesagt hast durch Linearkombination linear unabhängige Reele Lösungen, nämlich Sinus und Cosinus. Aber eigentlich meinte ich es garnicht so kompliziert, man kann da ja direkt die Lösungen "raten": Ne Funktion die 2mal abgeleitet das negative von sich selbst gibt errät man halt als sinus oder cosinus und ne funktion die sich selbst ergibt ist die e-funktion. Hier ist nochmal ne Herleitung fürs Fadenpendel: http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/lagrange/node16.html
Enthalpus-Laplacus	Verfasst am: 02. Jan 2005 23:01    Titel: Da muss ich dir wiedersprechen, denn: und somit Soweit ich mich erinnere, passt das mit der e-Funktion. Man kann durch Reihenetnwicklung zeigen, dass die e-Funktion aus sinus und cosinus zusammengesetzt ist. Das wird ja glaube ich auch bei der Lösung von DGL durch linearkombination ausgenutzt. EDIT: Sicher bin ich mir da aber jetzt auch nicht.
navajo	Verfasst am: 02. Jan 2005 22:54    Titel: Enthalpus-Laplacus hat Folgendes geschrieben: @Navajo: Ich komme aber auf: du hast nämlich einen Vorzeichenfehler bei der Koordinatentransformation: Hups, stimmt meine Transformation passt nicht mit meiner Skizze überein. Aber der Vorzeichenfehler da sorgt nicht für ein Minus in der DGL. Denn die x-Komponenten kommt quasi nur im vor, da verschwindet das vorzeichen eh wieder. Wenn dann müsste der Fehler in der y-Komponente bzw in der Potientiellen Energie liegen (Oder ich hab mich verrechnet ). Allerings glaube ich dass meine Lösung richtig ist, denn damit kommt für kleine Winkel auch ein harmonischer Oszilator raus, wie es ja auch sein muss: mit : Sowas führt ja auf Cosinus und Sinus. Mit nem Minus käme man ja auf: Das gibts ja irgendne e-Funktion.
Enthalpus-Laplacus	Verfasst am: 02. Jan 2005 22:38    Titel: @Navajo: Ich komme aber auf: du hast nämlich einen Vorzeichenfehler bei der Koordinatentransformation: Edit: Yeti777 und Ich haben das mit normalem Newtonschen Formalismus versucht zu lösen. (Ich zumidest bin kein Freund von Lagrange und Co) Unter Normalbeschleunigung ist hier die Kraft der Auflage auf den Massenpunkt gemeint (Zentripetalkraft). Nach der Skizze von Yeti777 ist meine aussage von vorhin dann richtig. Die DGL nach dem Lagrange formalismus müsste aber auf die gleiche Lösung führen.
Enthalpus-Laplacus	Verfasst am: 02. Jan 2005 22:04    Titel: Irendwie hat´s die Aufgabe in sich. Ich versuchs mal mit Energien.
navajo	Verfasst am: 02. Jan 2005 21:44    Titel: Hmm ich weiß grad nicht was du mit Normalbeschleunigung meinst, aber ich mal mal ne Skizze wie ich das meine. Naja, und dann hab ich r(t) in Kreiskoordinaten getüddelt: dann ist und somit: Also haben wir für die kinetische und potentielle Energie: Damit ist die Lagrangefunktion: Das setzt man in die Lagrange-Gleichung ein: Das ergibt: eigentlich müsste das so passen. Aber man kommt so halt auch auf diese doofe Dgl die so Probleme bereitet.
Enthalpus-Laplacus	Verfasst am: 02. Jan 2005 20:20    Titel: @Navajo: Das kann nicht sein. Du hast hier gerade die DGL zur Beschreibung der Änderung der Normalbeschleunigung mit dem Winkel angegeben. Du hast wahrscheinlich den Winkel falsch eingezeichnet.
navajo	Verfasst am: 02. Jan 2005 19:52    Titel: Wenn der yeti richtig gerechnet hat, ist es genau dieselbe wie beim Fadenpendel. Das Problem ist ja auch komplett analog, nur dass hier die Zwangsbedingung die Halfpipe ist und beim Pendel der Faden. Aber die laufen ja beide darauf hinaus, dass der Abstand vom Mittelpunkt konstant sein muss. Hmm *denk*, aber ich frag mich auch grad ob das Minus sein kann, denn für kleine Winkel (mit cosx=x und so) bekäm man dann ja sowas wie ne e-Funktion als Lösung anstatt cos und sin. Edit: Kann auch sein dass ich das mit deiner Bogenlänge nicht verstanden habe Also ich komm auf diese DGL, wenn ich das durch den Winkel zur Vertikalen beschreibe:
etzwane	Verfasst am: 02. Jan 2005 19:43    Titel: navajo hat Folgendes geschrieben: yeti777 hat Folgendes geschrieben: Diese DGL konnte ich analytisch nicht lösen. Und das kann wohl nicht nur er nicht analytisch lösen. Diese Differentialgleichung erinnert mich an die DGL für ein Fadenpendel bei großen Ausschlägen (obwohl mich das negative Vorzeichen bei cos etwas irritiert), und von der weiß ich, dass sich eine Lösung mit Hilfe der elliptischen Integrale bzw. Funktionen in geschlossener Form darstellen lässt. Nur weiß ich nicht, ob diese Darstellung heute noch üblich ist. Früher waren die entsprechenden Formeln jedenfalls in den Formelsammlungen sowie die entsprechenden Funktionen tabelliert.
Enthalpus-Laplacus	Verfasst am: 02. Jan 2005 18:19    Titel: yeti777 hat Folgendes geschrieben: Zeite Ableitung, Beschleunigung: . Dabei ist der Normaleneinheitsvektor und die Krümmung. ist die Beschleunigung tangential zur Bahn, der Term mit die Beschleunigung senkrecht zur Bahn. Das ist meiner Auffassung nach falsch!!!!!! Denn: ist der Krümmungsradius und somit muss es eigentlich lauten: . wobei deine Darstellung auch etwas seltsam ist, denn normalerweise wird alles Zeitabhängig dargestellt, also sind auch die Normal und Tangentialverktoren zeitabhängig. Sie von der Krümmungswegstrecke abhängig zu machen wie du es mit dem Tangentialeinheitsvektoren gemacht hast ist eigentlich blödsinn. Ich hätte das ganze eher so dargestellt. mit als Einheitsvektor der Tangentialbeschleunigung und wegen mit senkrecht auf EDIT: Zur Differentialgleichung: Dein Ansatz ist eigentlich korrekt. Die Lösung für die Differenzialgleichung müsste aber die gleiche wie für das Mathematische Pendel sein. Und auch hier kommt für heraus. Hast du eine Fehlerabschätzung beim Runga-Kutta gemacht? Ich könnte wetten das der Fehler gleich dem Fehler im Ergebnis ist.
Simonko_	Verfasst am: 01. Jan 2005 19:40    Titel: Ich brauch das bis zum 12 jänner.
yeti777	Verfasst am: 01. Jan 2005 18:15    Titel: Hallo Simonko, Ich habe begriffen, wie ihr das macht. Du musst aber trotzdem a(t), v(t), und s(t) für die Bogenlänge berechnen und dann via die Parameterdarstellung des Kreises auf die xy-Koordinaten umrechnen. Die Formeln dazu stehen in meinem letzten Beitrag. Ist das Thema noch aktuell? Heute habe ich keine Zeit mehr, mich damit zu befassen. Aber wenn es wichtig ist, könnte ich es morgen oder übermorgen noch einmal anpacken. Gruss yeti
Simonko_	Verfasst am: 30. Dez 2004 21:00    Titel: wir machen dass so mit differenzengleichung. ich uploads mal. es sollte irgendwie so aussehen. wobei man hier aber bei dieser aufgabe besser einen ortsvektor r(x,y) benutzt als s(zurückgelegte strecke).
yeti777	Verfasst am: 30. Dez 2004 18:28    Titel: Das Umlegen auf x(t) und y(t) ist einfach, wenn man mal die Lösung für die Bogenlänge s(t) hat. Es gilt Meine Frage ist: Simonko, wie macht ihr das denn mit den sog. Differenzengleichungen? Gruss yeti
yeti777	Verfasst am: 30. Dez 2004 18:14    Titel: @navajo Hallo Häuptling (navajo!), Im Prinzip basiert das Runge-Kutta-Verfahren auf der TAYLOR-Reihe. Aber es würde zu weit führen, dies hier darzulegen (in meiner Vorlesung sind das viele Seiten). Beim Runge-Kutta-Verfahren gibt es verschiedene Ordnungen. Ich habe Ordnung 4 verwendet, was auch als das klassische Runge-Kutta-Verfahren bezeichnet wird. Das Runge-Kutta-Verfahren ist meiner Erfahrung nach ziemlich genau. Deshalb wundert mich die relativ grosse Abweichung und ich frage mich, ob ich nicht bereits im Ansatz einen Fehler gemacht habe. Ich bin von Haus aus nicht Physiker und möchte daher gern, dass ein Physiker meinen Ansatz überprüft. Zu bemerken ist noch, dass die vorgelegte Lösung nur für den ersten Viertelkreis der Halfpipe gilt. Wenn der Skater einmal die tiefste Stelle passiert hat (Ort der grössten Geschwindigkeit und damit der grössten kinetischen Energie), wirkt die Erdbeschleunigung nicht mehr als treibende Kraft, sondern als bremsende. Man muss dager ein zweites AWP (Anfangswertproblem) ansetzen. Im reibungsfreien Fall wird ja beim Steigen in der Halfpipe (kein sich bewegender Skater, nur Massepunkt!) die kinetische Energie wieder verlustfrei in potentielle Energie umgewandelt. Wenn Simonko Schüler ist (welche Klasse?), frage ich mich auch, was in dieser Aufgabe wirklich gefragt ist. Vielleicht gehören Diff.gleichungen noch nicht zum Repertoire und es geht u.U. nur um die Umwandlung von potentieller Energie in kinetische Energie und umgekehrt. In diesem Fall einfach zu bestimmen ist die max. Geschwindigkeit am tiefsten Punkt der Halfpipe, eben die 10.85 [m/s]. Gruss aus dem verschneiten Appenzell und einen guten Rutsch ins Neue wünscht dir yeti Edit1: Sehe gerade, dass etwas gelaufen ist, während ich mit meinem "Adlerstechverfahren" am Tippen war. Also, wenn das Simonko lösen können muss, scheine ich mit meinem Ansatz total "auf dem Schlauch" zu stehen
navajo	Verfasst am: 30. Dez 2004 18:14    Titel: Die Bewegungsgleichung allgemein für jeden Zeitpunkt dürfte man aber nicht so leicht hinkriegen, denn man kommt gezwungendermassen auf sowas wie yeti777: yeti777 hat Folgendes geschrieben: Diese DGL konnte ich analytisch nicht lösen. Und das kann wohl nicht nur er nicht analytisch lösen. Hmm ich seh grad, du hast geschrieben ihr habt das sonst mit Differenzengleichungen gemacht. Hmm da hab ich ja nun aus dem Stehgreif keine Ahnung von . Aber vll gehts ja damit irgendwie
Simonko_	Verfasst am: 30. Dez 2004 17:39    Titel: Ja ich bin schüler. j ich brauch zu jedem zeitpunkt deltat einen ortsvektor r(x,y) und die geschwindigkeit. dann muss ich die reibung irgendwie berücksichtigen damit der typ zum stehen kommt irgendwann.
navajo	Verfasst am: 30. Dez 2004 17:20    Titel: Kannst du mal dieses Runge-Kutta-Verfahren vorführen, wenns nicht zu viel Aufwand ist? Würd mich interessieren. Ich vermute mal, dass die Abweichung daher rührt, dass es nur eine numerische Annäherung ist: Zitat: wikipedia Das klassische Runge-Kutta-Verfahren verwendet – wie die weitaus meisten numerischen Lösungsverfahren für Differentialgleichungen – den Ansatz, Ableitungen (Differentialquotienten) durch (endliche) Differenzenquotienten zu ersetzen. Die dabei bei nichtlinearen Funktionen notwendigerweise auftretenden Fehler (es werden sämtliche höheren Glieder der Taylor-Entwicklung vernachlässigt) können durch geeignete Kombinationen verschiedener Differenzquotienten teilweise kompensiert werden. Das Runge-Kutta-Verfahren ist nun eine solche Kombination, die Diskretisierungsfehler bis zur dritten Ableitung kompensiert. @Simonko: Du bist Schüler, oder? Wenn ja, dann sollten wir vll erstmal klären wie weit diese mathematische Beschreibung gehen soll. Weil die Bewegungsgleichungen kriegt man ja nicht analytisch gelöst. Und ich vermute numerische Näherungen von Lösungen von Differentialgleichungen ist ein wenig utopisch für die Schule, finde ich.

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