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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>schnudl</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. Aug 2007 20:26<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Allgemein ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Phi(\vec x) = \sum_i \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac {q_i}{\vert \vec x - \vec x_i\vert}"> <br /> <br />Das Wort Dipolfeld deutet nun auf eine Näherung hin. Die Näherung besteht darin, dass der Ausdruck <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{1}{\vert x - x_i\vert }"> <br /> <br />in eine Reihe um x entwickelt und beim linearen Anteil (= 1 Ordnung in xi) abbricht ! Ich gehe von der Art deiner Fragestellung davon aus, dass du nicht nach Kugelflächenfunktionen entwickeln sollst, sondern in normalen Koordinaten. <br /> <br />Die Reihenentwicklung einer eindimensionalen Funktion ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f(x+a) = f(x) + a \cdot f'(x) + (1/2) \cdot a^2 \cdot f''(x) + \ldots"> <br /> <br />Die Reihenentwicklung einer dreidimensionalen Funktion im Raum ist genauso, nur eben dreidimensional: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f(\vec x+\vec a) = f(\vec x) + \vec a \cdot \vec \nabla f(\vec x) + (1/2) \cdot (\vec a \cdot \vec \nabla)^2 f(\vec x) + \ldots"> <br /> <br />Du musst also die Reihe bis zum ersten Glied ermitteln und dann in die Summe hineinnehmen. Daraus erhältst du deine gewünschte Formel und das Dipolmoment p. Ich hoffe, Du weisst was der Nabla Operator ist. Er ist der Gradient, d.h. gibt die Steigung der Kontur von f in jedem Raumpunkt an. <br /> <br />Hilft dir das weiter ?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>isi1</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. Aug 2007 19:54<span class="gen"> </span> Titel: Re: Dipolfeld herleiten</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>zickzack hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi(r,\vartheta) = \frac{p \cos \vartheta}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}"></td> </tr></table><span class="postbody">Du rechnest m.E. das Monopol-Feld, das natürlich =0 wird. <br />Hier (S.5) findest Du die Berechnung des idealen Dipols. <br /><a href="http://www.physnet.uni-hamburg.de/hp/pfannkuche/E-Dynamik_03/vorlesungen/vorlesung12.pdf" target="_blank">http://www.physnet.uni-hamburg.de/hp/pfannkuche/E-Dynamik_03/vorlesungen/vorlesung12.pdf</a> <br /> <br />Um Deine Formel zu erhalten, muss man das Vektorprodukt berechnen: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{\phi} = \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} "> <br /> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi = \frac{p \cdot r \cdot \cos \vartheta}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} = \frac{p \cdot \cos \vartheta}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} "></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>zickzack</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. Aug 2007 14:50<span class="gen"> </span> Titel: Dipolfeld herleiten</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo zusammen! <br /> <br />Ich würde gerne das E-Feld eines Dipols herleiten - habe dabei aber Probleme. In unserem Skript steht für das Potential: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi(r,\vartheta) = \frac{p \cos \vartheta}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}"> <br /> <br />Dabei ist <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p"> das Diplomoment, <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vartheta"> der Winkel zwischen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r"> eben der Radius zum zu berechnenden Punkt von der Mitte des Dipols aus. Außerdem soll <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r \gg l"> sein. (Hoffe es ist halbwegs verständlich, sonst zeichne ich es mal auf). <br /> <br />Wenn man das Potential erstmal hat muss man ja nur noch den Gradienten berechnen und ist fertig. Aber wie kommt man auf dieses Potential? <br />Ich dachte mir folgendes: <br /> <br />Beim Potential hat man ja das Superpositionsprinzip. Ich fange mal ganz einfach an und betrachte das Potential entlang des Dipolmomentes. Dann ist für die "vordere" positive Ladung: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_c = \frac{1}{4 \pi \varepsilon} \frac{q_+ \cdot q_0}{(r+\frac{l}{2})^2}"> <br /> <br />Und das Potential: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi = \frac{q_+}{4 \pi \varepsilon} \int_{\infty}^r \frac{1}{(r'+\frac{l}{2})^2} dr'"> <br /> <br />Ich vermute mal, wegen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r \gg l"> kann man <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{l}{2}"> vernachlässigen und erhält für das Potential also: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi = -\frac{q_+}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r}"> <br /> <br />Ich kapiere jetzt erstens nicht, wie man (wenn man l/2 vernachlässigt) das Superpositionsprinzip anwenden soll. Dann würden sich die Potentiale doch gegenseitig aufheben. Und zweitens ist mir schleierhaft, wie man bei der angegebenen Formel auf das <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r^2"> im Nenner kommt. <br /> <br />Kann mir jemand dabei helfen?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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