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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Feb 2026 18:02<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Hochseeangler hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ok. Ist der Satz von Liouville eigentlich nur für die statistische Mechanik relevant, oder auch für andere Bereiche der Physik (Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie usw)? Wie essentiell ist er für die Physik?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Der Satz gilt in analoger Form für die Quantenstatistik. Er besagt, dass für abgeschlossene und zeitinvariane Quantensysteme das Spektrum des Dichteoperators und die Erwartungswerte von Observablen invatiant unter Zeitentwicklung sind. <br /> <br />Es gibt auch eine Art Phasenraum-Formulierung der QM, Stichworte sind Wigner-Funktion und Moyal-Klammer. Dies liefert auch den klassischen Grenzfall mit den Poisson-Klammer als nullte Ordnung der Moyal-Klammer plus Korrekturen ab quadratischer Ordnung in hquer. Eine direkte Interpretation mittels eines inkompressiblen lokalen Flusses gibt es da aber nicht. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Hochseeangler hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Und wenn die Zeitsymmetrie in der Qft gebrochen wird: dann kann man doch eigentlich schwer behaupten, dass die Physik per se zeitsymmetrisch sei, oder sehe ich das falsch? Dafür müsste man quasi herausfinden, dass die Symmetriebrechung wiederum auf Vorgängen basieren, die ebenfalls symmetrisch sind.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Man kennt diesen Bruch ausschließlich im Rahmen der schwachen WW; elektromagnetische und starke WW sind nicht betroffen. <br /> <br />Ja, die Welt ist nicht fundamental zeitsymmetrisch. Aber beobachtete Asymmetrien kann man (bis auf die genannten Ausnahmen des K°- und des B°-Zerfalls) sicher nicht auf die schwache WW zurückführen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Hochseeangler</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Feb 2026 15:40<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ok. Ist der Satz von Liouville eigentlich nur für die statistische Mechanik relevant, oder auch für andere Bereiche der Physik (Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie usw)? Wie essentiell ist er für die Physik? <br /> <br />Und wenn die Zeitsymmetrie in der Qft gebrochen wird: dann kann man doch eigentlich schwer behaupten, dass die Physik per se zeitsymmetrisch sei, oder sehe ich das falsch? Dafür müsste man quasi herausfinden, dass die Symmetriebrechung wiederum auf Vorgängen basieren, die ebenfalls symmetrisch sind.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Feb 2026 15:17<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Hochseeangler hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich hatte jetzt ein einfaches Feder-Masse-Dämpfer System im Kopf, mit dem sich eine Sdgl der folgenden Form ergibt: <br /> <br />m *d²x/dt² + k*dx/dt +c*x=0 <br /> <br />Die sollte ja wie schon geschrieben nicht zeitsymmetrisch sein.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Sie ist natürlich nicht zeitumkehrinvariant, aber sie ist auch nicht fundamental. <br /> <br />Löst man <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot{x} + 2\beta \, \dot{x} + \omega^2 \, x = 0"> <br /> <br />mittels des Ansatzes <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t) = x_0 \, e^{\Lambda t}"> <br /> <br />so erhält man die Eigenwerte <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Lambda_\pm = - \beta \pm \sqrt{\beta^2 - \omega^2}"> <br /> <br />Wenn <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\beta > 0"> <br /> <br />dann ist jede Bewegung gedämpft, es gibt keine Trajektorie mit exponentiell wachsender Amplitude. <br /> <br />Man kann sich das übrigens relativ leicht erklären, wenn man beachtet, dass zum Beispiel eine viskose Flüssigkeit ein Ruhesystem auszeichnet, und dass ein durch sie hindurch bewegter Körper seinen Impuls im Mittel an die Flüssigkeit abgibt d.h. verliert, während die im Mittel <span style="font-style: italic">ungerichtete</span> Bewegung der Flüssigkeitsmoleküle keinen Impuls in Bewegungsrichtung des Körpers überträgt. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Hochseeangler hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Da der Satz von Liouville ja die Hamiltonsche Mechanik betrifft, frage ich mich, was gilt nun fundamental, wenn in der Quantenmechanik tatsächlich bei der elektroschwachen Wechselwirkung ein Symmetriebruch beobachtet wird. Kann man das aktuell überhaupt sinnvoll sagen?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die elektroschwache Theorie in der Quantenfeldtheorie (nicht Quantenmechanik) und damit verbunden die K°- und B°-Zerfälle ist eine absolute Ausnahme. Abgesehen davon kennt man keine T- bzw. CP-Verletzuung. <br /> <br />Alle anderen fundamentalen Wechselwirkungen (elektromagnetisch als Teil der elektroschwachen Theorie, starke Wechselwirkung, Gravitation) sind nach heutigem Kenntnisstand zeitsymmetrisch. Im mikroskopische Umfeld beobachtete Verletzungen der T-Invarianz folgen aus den Anfangsbedingungen, nicht aus den fundamentalen dynamischen Gesetzen (siehe auch oben DrStupid) . K°- und B°-Zerfälle haben damit nichts zu tun. <br /> <br />Was man aktuell sinnvoll sagen kann bezieht sich auf aktuell etablierte Theorien. Darüberhinaus darf man gerne spekulieren, das wird ja auch gemacht, aber es hat die Physik in den letzten Jahrzehnten nicht wirklich weitergebracht.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Hochseeangler</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Feb 2026 13:41<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke für euren Input. <br />Ich hatte jetzt ein einfaches Feder-Masse-Dämpfer System im Kopf, mit dem sich eine Sdgl der folgenden Form ergibt: <br /> <br />m *d²x/dt² + k*dx/dt +c*x=0 <br /> <br />Die sollte ja wie schon geschrieben nicht zeitsymmetrisch sein. <br /> <br />Da der Satz von Liouville ja die Hamiltonsche Mechanik betrifft, frage ich mich, was gilt nun fundamental, wenn in der Quantenmechanik tatsächlich bei der elektroschwachen Wechselwirkung ein Symmetriebruch beobachtet wird. Kann man das aktuell überhaupt sinnvoll sagen?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Feb 2026 12:22<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Im wesentlichen geht man wie folgt vor: <br /> <br />Man betrachtet ein Vielteilchensystem (Moleküle, sogenannte schnelle Freiheitsgrade) sowie einen makroskopischen Körper (Kugel, langsame Freiheitsgrade). Das ist für sich betrachtet ein konservatives System mit Hamiltonscher Dynamik und Zeitumkehrinvarianz, Erhaltung von Energie und Phasenraumvolumen. <br /> <br />Dann integriert man die schnellen Freiheitsgrade aus. Das liefert eine sogenannte effektive Theorie für die verbleibenden langsamen Freiheitsgrade. Diese effektive Theorie ist dissipativ, nicht mehr zeitumkehrinvariant, Energie und Phasenraumvolumen sind nicht mehr erhalten. Der Energieverlust an die schnellen Freiheitsgrade wird nicht berücksichtigt, die langsamen Freiheitsgrade alleine stellen ein offenes System dar. <br /> <br />Ich suche mal nach einer online-Referenz.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Feb 2026 10:23<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Hochseeangler hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wenn ich ein reibungsbehaftetes System beschreibe, habe ich ja kein hamiltonsches System mehr. Somit wäre doch ein reibungsbehaftetes System nicht zeitsymmetrisch, oder habe ich gerade einen Denkfehler? <br />Also zb bei einer Schwingungsdifferentialgleichung sollte doch die Lösung nicht invariant sein. <br />Das wäre doch dann ein Beispiel für die newtosche Mechanik, indem die Zeitsymmetrie nicht gilt.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das kommt darauf an, wie Du das System beschreibst. Beschränkst Du Dich auf den Makrozustand des Systems, dann ist seine Beschreibung nicht mehr zeitsymmetrisch. Beschreibst Du dagegen seinen Mikrozustand, dann bleibt die Zeitsymmetrie erhalten. Die Brechung der Zeitsymmetrie bei thermodynamischen Systemen ist keine Eigenschaft des Systems selbst, sondern nur seiner Beschreibung mit Zustandsgrößen. Wenn man viele verschiedene Mikrozustände zu einem Makrozustand zusammen fasst, dann geht Information verloren, die man bräuchte, um einen früheren Zustand zu rekonstruieren.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Feb 2026 10:17<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Das folgende ist jetzt mathematisch etwas kompliziertere aber ich hoffe, die Idee kommt rüber. <br /> <br />Ich fasse die Koordinaten x,p auf dem Phasenraum zusammen zu <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?X = (x, p)"> <br /> <br />Dann bezeichne ich die Zeitableitung von X als Geschwindigkeit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U = \dot{X} = (\dot{x}, \dot{p}) = (\partial_p, -\partial_x) \, H"> <br /> <br />Denken wir uns die Trajektorien im Phasenraum dicht, dann entspricht U der Geschwindigkeit einer "Flüssigkeitsströmung im Phasenraum". Die Divergenz dieser Geschwindigkeit ist Null, denn <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\nabla U = (\partial_x, \partial_p) (\partial_p, -\partial_x) \, H = 0"> <br /> <br />da das Skalarprodukt der beiden Vektoren verschwindet. <br /> <br />Hamiltonsche Systeme zeichnen sich also dadurch aus, dass man sie als eine Art Strömung oder Fluss im Phasenraum auffassen kann, wobei die "Flüssigkeit" nirgends verschwindet; es gibt keine Quellen oder Senken (das gilt ähnlich in der Strömungsmechanik oder für die elektrische Ladung.- und Stromdichte). <br /> <br />Betrachtet man einen beliebigen begrenzten Bereich B und dessen Volumen V im Phasenraum, z.B. einen Bereich, innerhalb dessen Anfangsbedingungen liegen, so kann man zeigen, dass das bisher gesagte äquivalent dazu ist, dass die Zeitentwicklung zwar B verschieben und deformieren, dessen Volumen V jedoch nicht ändert kann; es gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V(t) = \text{const}"> <br /> <br /> <br />Zum Pendel bzw. zum harmonischen Oszillator: Für diesen haben wir die Bewegungsgleichungen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot{x} + \omega^2 \, x = 0"> <br /> <br />Mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?H = \frac{1}{2} (p^2 + x^2)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{x} = p"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{p} = -\omega^2 \, x"> <br /> <br />Damit folgt sofort das Verschwinden der Divergenz von U. <br /> <br /> <br />Beim gedämpften harmonischen Oszillator haben wir eine Zusatzterm, d.h. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{x} = p"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{p} = -\omega^2 \, x - 2\beta \, p"> <br /> <br />Damit ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U = (\dot{x}, \dot{p}) = (p, -\omega^2 \, x - 2\beta \, p )"> <br /> <br />Der Zusatzterm zerstört die Divergenzfreiheit, denn <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\nabla U = \nabla (0, - 2\beta \, p) = -2\beta < 0"> <br /> <br />Damit folgt, dass das Volumen V eines Bereiches B mit der Zeit schrumpft. <br /> <br />Betrachten wir der Einfachheit halber den harmonischen Oszillator mit omega = 1 und eine Kreisscheibe um den Ursprung, innerhalb derer eine Schar von Anfangsbedingungen liegen sollen. Die Zeit Entwicklung liefert für jeden Punkt einfach nur einen Kreis um den Ursprung, d.h. es ist offensichtlich klar, dass sich diese Kreisscheibe unter Zeit Entwicklung nicht ändert. Das entspricht letztlich der Energieerhaltung. <br /> <br />Für den gedämpften, harmonischen Oszillator verringern sich Amplitude und Geschwindigkeit mit der Zeit, d.h. die Trajektorien im Phasenraum sind letztlich schrumpfende Spiralen um den Ursprung. Die Kreisscheibe kontrahiert unter Zeitentwicklung, ihr Flächeninhalt nimmt ab. <br /> <br />Die Energie lautet <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E = \frac{1}{2} (p^2 + \omega^2 \, x^2)"> <br /> <br />Das ist letztlich der Flächeninhalt einer Ellipse. <br /> <br />Deren Zeitentwicklung lautet <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{E} = p \dot{p} + \omega^2 \, x\dot{x} "> <br /> <br />Setzt man die Bewegungsleichungen ein, so folgt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{E} = - 2 \beta \, p^2 "> <br /> <br />Das dissipative Verhalten, also die nicht-Erhaltung der Energie aufgrund der Reibung, entspricht dem Verlust an Phasenraumvolumen; der hier gefundenen Zusammenhang ist aber ein Spezialfall. <br /> <br /> <br />Formuliert man das allgemein und präzise, folgt daraus die Konsequenz, dass kein zeitunabhängiges H existieren kann, das diesen Fluss U erzeugt, dass also die Zeitableitungen von x und p nicht im o.g. Sinne aus einem derartigen H gewonnen werden können. <br /> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_(Hamiltonian)" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_(Hamiltonian)</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Feb 2026 07:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Siehe meine Ergänzungen zu dem letzten Beitrag; das hat sich zeitlich überschnitten.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Hochseeangler</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Feb 2026 07:50<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Okay, aber gerade noch mal unabhängig von den Bifurkationen: <br /> <br />Wenn ich ein reibungsbehaftetes System beschreibe, habe ich ja kein hamiltonsches System mehr. Somit wäre doch ein reibungsbehaftetes System nicht zeitsymmetrisch, oder habe ich gerade einen Denkfehler? <br />Also zb bei einer Schwingungsdifferentialgleichung sollte doch die Lösung nicht invariant sein. <br />Das wäre doch dann ein Beispiel für die newtosche Mechanik, indem die Zeitsymmetrie nicht gilt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Feb 2026 07:34<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nein, damit hat das gar nichts zu tun. Letztlich kann man die Bewegungsgleichungen für Orte x und kanonisch konjugierte Impulse p eines beliebigen Systems mit Hamiltonian H(x,p) schreiben als <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{x} = \partial_p H"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{p} = - \partial_x H"> <br /> <br />x und p können n-dimensionale Koordinaten sein. Die Gleichungen sind im Allgemeinen komplizierter, man kann jedoch immer kanonisch konjugierte Koordinaten finden, in denen sie sich auf diese Form bringen lassen. <br /> <br />Der Hamiltonian entspricht zunächst der Energiefunktion. Die zentrale Eigenschaft hier ist jedoch, dass er die Bewegungsgleichungen generiert. <br /> <br />Ausgehend von einer beliebigen Anfangsbedingung (Index 0) erlaubt dies eine Taylorentwicklung; bis zur ersten Ordnung: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x = x_0 + \left. \partial_p H \right|_{x_0, p_0} \, dt"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p = p_0 - \left. \partial_x H \right|_{x_0, p_0} \, dt"> <br /> <br />dt kann positiv oder negativ sein, d.h. man kann das System vorwärts oder rückwärts in der Zeit entwickeln. Eine Trajektorie x(t) im Ortsraum wird rückwärts durchlaufen, wenn man an einem auf ihr liegenden Punkt die Anfangsbedingung geeignet wechselt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(x_0, p_0) \;\to\; (x_0, -p_0)"> <br /> <br />Im Phasenraum ist das natürlich eine andere Trajektorie. <br /> <br />Das gilt für beliebige Hamiltonsche Systeme *. <br /> <br /> <br />Konkret für das Pendel verwende ich statt x und p den Winkel phi sowie den kanonisch konjugierten Impuls <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\pi = m\ell^2 \, \dot{\phi}"> <br /> <br />(dessen Herleitung ich hier nicht gezeigt habe) <br /> <br />Der Hamiltonian und die Bewegungsgleichungen lauten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?H = \frac{\pi^2}{2m\ell^2} + mg\ell \, (1 - \cos\phi)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{\phi} = \partial_\pi H = \frac{\pi}{m\ell^2}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{\pi} = -\partial_\phi H = -m\ell^2 \, \sin\phi"> <br /> <br />Im Phasenraum existieren zwei besondere Punkte, nämlich das stabile <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(\phi, \pi) = (0,0)"> <br /> <br />und das labile Gleichgewicht <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(\phi, \pi) = (\pi,0)"> <br /> <br />Letzteres ist gerade entspricht gerade dem Bifurkationspunkt, man erkennt jedoch, dass die Gleichungen sich auch an diesem Punkt sich völlig regulär verhalten. <br /> <br /> <br />* Nun habe ich oben geschrieben, dies gälte für beliebige Hamiltonsche Systeme. D.h. umgekehrt, Systeme, für die die Zeitumkehrinvarianz nicht gilt, entsprechen nicht der Definition Hamiltonscher Systeme. Ein klassisches Beispiel sind dissipative Systeme mit Reibung, für die die Energieerhaltung verletzt ist, d.h., für die kein zeitunabhängiger Hamiltonian existiert, der die entsprechenden Bewegungsgleichungen generiert. Für ein gedämpftes Pendel existiert natürlich keine Zeit-gespiegelte Bewegung, bei der die Geschwindigkeit zunimmt. <br /> <br />Tatsache ist jedoch, dass die fundamentalen Gleichungen immer Zeit-symmetrisch sind, und dass lediglich die Gleichungen für effektive Systeme diese Symmetrie verletzen. Die mikroskopischen Gleichungen für eine Flüssigkeit im Rahmen der Quantenmechanik (Quantenfeldtheorie) sind Zeit-symmetrisch, die daraus abgeleiteten effektiven Strömungsgleichungen mit Reibungstermen verletzen diese Symmetrie. <br /> <br />Eine beobachtete Verletzung. Dieser Symmetrie ist also immer die Konsequenz aus speziellen Anfangsbedingungen oder einer derartigen (natürlichen vernünftigen) Näherung – kein fundamentaler Effekt (abgesehen von der elektroschwach Wechselwirkung).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Hochseeangler</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Feb 2026 23:11<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nochmal kurz zur Zeitsymmetrie der klassischen Physik: hängt dies nicht auch damit zusammen, ob t in den entsprechenden Gleichungen womöglich potenziert wird? Bei gerade Exponenten sollte die Symmetrie womöglich doch nicht gegeben sein.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Feb 2026 21:05<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Könnte man letzteres präparieren, so erhielte man konvergente Trajektorien.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Du musst sie noch nicht einmal präparieren. Du kannst sie auch aus vielen bekannten Trajektorien geeignet auszuwählen. Sperre ein ideales Gas aus unterscheidbaren Teilchen in ein Volumen ein und zeichne ihre individuellen Bewegungen auf. In einer Simulation ist das ja kein Problem. Dann wähle zu einem beliebigen Zeitpunkt alle Teilchen aus, die sich gerade in einem beliebigen Teilvolumen befinden und verfolge ihre Bewegung bis zu diesem Zeitpunkt. Du wirst praktisch immer beobachten, dass sie zunächst über das gesamte Volumen verteilt waren und sich dann im ausgewählten Teilvolumen versammeln. <br /> <br />Das ist natürlich ein Taschenspielertrick, weil die Teilchen bewusst so ausgewählt werden, dass ihre Trajektorien konvergieren. Aber es setzt voraus, dass es in einem Gas von konvergenten Trajektorien nur so wimmelt. Darüber denkt man ja eher selten nach.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Feb 2026 17:34<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Hochseeangler hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Was ich mich tatsächlich gerade wirklich frage: wie kann man, wenn alles determiniert ist, überhaupt die Zeitsymmetrie brechen?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Indem man vorwärts und rückwärts jeweils streng deterministisch unterschiedliche Wege nimmt. Dabei kann es schon genügen, wenn ein Prozess vorwärts und rückwärts unterschiedlich lange dauert. Beispielsweise wandelt sich ein B°-Meson langsamer in ein Anti-B°-Meson um als umgekehrt.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Dieser Bruch der T-Symmetrie, den man aufgrund der gesichert CPT-Invarianz zumeist als Bruch der CP-Symmetrie bezeichnet, ist aber sehr speziell und kommt so ausschließlich in der Quantenefeldtheorie der elektroschwachen Wechselwirkung vor. Alle anderen bekannten Prozesse sind auf fundamentaler Ebene zeitsymmetrisch, insbs. in der Newtonschen Mechanik. <br /> <br />Die Tatsache, dass wir eine Zeitasymmetrie beobachten, hat nichts mit den fundamentalen Prozessen zu tun. Der von mir skizzierte Prozess ist zeitsymmetrisch, nur ist die Anfangsbedingung "1000 Punkte in einem kleinen Bereich des Phasenraum" einfacher als "100 Punkte an 1000 sehr präzise ausgewählten Orten des Phasenraums". Könnte man letzteres präparieren, so erhielte man konvergente Trajektorien. Entsprechend ist es einfacher, eine Gasflasche in einem evakuierten Raum in einer Ecke zu öffnen und die Verteilung des Gases zu beobachten, als alle Gasmoleküle an geeigneten Punkten im Phasenraum zum platzieren, so dass sie sich wieder in die Ecke zurückbewegen; theoretisch ist das denkbar, praktisch natürlich nicht zu bewerkstelligen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Feb 2026 17:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Jetzt noch der Zoom: Man erkennt wieder das Auseinanderlaufen der Farbpäckchen; hier besteht ein Päckchen zunächst aus 1000 Punkten. <br /> <br />Packt man immer mehr Punkte in ein Päckchen, so erkennt man, dass der Phasenraum dicht ausgefüllt wird. Weiter hineinzoomen kann ich aber nicht, dazu muss ich noch was an der Numerik machen (ich löse aktuell die DGL zweiter Ordnung; besser wäre es, die erster Ordnung zu verwenden, aber dazu muss ich umbauen, da man eine Fallunterscheidung einführen muss. <br /> <br />Der wirklich interessante Punkt, dass das Pendel exakt am obersten Punkt zur Ruhe kommt, wird erst nach unendlicher Zeit erreicht.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Feb 2026 17:09<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Zurück zum Pendel. <br /> <br />Anbei die relevanten Kurven, jetzt vom Phasenraum. Die unvollständige Ellipse entspricht der Oszillation, die darf man sich unendlich fortgesetzt denken. Die Wellenlinie entspricht der Rotation, wobei der Winkel belieb weit wegläuft. In der Umgebung des Bifurkationspunktes sieht man schön wie beides übereinanderlegt. <br /> <br />Die farbigen Päckchen entsprechen immer einigen hundert Punkten, man sieht, wie sie auseinanderlaufen. Die grüne Linie ist ein Artefakt, sie besteht auch aus unterschiedlichen Päckchen; grün wurde nur als letztes gezeichnet.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Feb 2026 15:07<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Hochseeangler hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Was ich mich tatsächlich gerade wirklich frage: wie kann man, wenn alles determiniert ist, überhaupt die Zeitsymmetrie brechen?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Indem man vorwärts und rückwärts jeweils streng deterministisch unterschiedliche Wege nimmt. Dabei kann es schon genügen, wenn ein Prozess vorwärts und rückwärts unterschiedlich lange dauert. Beispielsweise wandelt sich ein B°-Meson langsamer in ein Anti-B°-Meson um als umgekehrt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Hochseeangler</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Feb 2026 13:53<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Alles klar, super. <br /> <br />Was ich mich tatsächlich gerade wirklich frage: wie kann man, wenn alles determiniert ist, überhaupt die Zeitsymmetrie brechen?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Feb 2026 12:57<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Kein Thema, das sind gerade mal 50 Zeilen Code. <br /> <br />Bezüglich deiner Frage: diese ist irgendwie sinnlos, insofern jede Trajektorie (im Phasenraum) einer eindeutigen und invertierbaren Abbildung entspricht. D.h. für jeden Punkt auf der Trajektorie weiß man eindeutig, wo er herkommt und wo er sich hin entwickelt. <br /> <br />Betrachtet man zum Zeitpunkt t = 0 einen Bereich (im Phasenraum), in der Anfangsbedingungen dicht liegen, so bleibt dieser Bereich unter Zeitentwicklung für jedes t > 0 dicht. Salopp gesprochen entstehen keine Löcher. <br /> <br />Hat man eine derartige Umgebung für ein beliebiges t = T, so kann man sie aufgrund der Invertierbarkeit mathematisch auch wieder zu t < T zurückentwickeln. <br /> <br />Das kann ich mir als nächstes ansehen. <br /> <br />(Überhaupt sollte ich das mal im Phasenraum darstellen, damit das Konzept klarer wird)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Hochseeangler</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Feb 2026 07:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Wow, wirklich vielen Dank für die Mühe, die du dir gemacht hast! Klasse. <br />Soweit war das alles verständlich, vielleicht habe ich später nochmal die eine oder andere kleine Rückfrage. <br />Ach ja, inwieweit sollen nun Bifurkationen die Zeitsymmetrie brechen?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Feb 2026 17:21<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hier nochmal der Vergleich zwischen dem linearisierten (grau) und dem realen Pendel (hellblau). Man sieht schön , dass die Näherung für genügend kleine Schwingungen gut passt. Für große Werte spürt das Pendel eine mit wachsender Auslenkung zunehmend geringere Rückstellkraft, daher werden die Ausrenkungen größer als im linearisierten Fall. Außerdem sieht man, dass die Frequenz nur für den linearisierten Fall unabhängig von der maximalen Auslenkung ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Feb 2026 16:53<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich hab das mal für verschiedene Anfangsbedingungen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi_0 = 0 = \text{konstant}, \quad \dot{\phi} \, \text{variabel}"> <br /> <br />geplottet.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Feb 2026 15:14<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Wir gehen aus von der Bewegungsgleichung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot{\phi} + \omega^2 \, \phi = 0"> <br /> <br />Für <span style="font-weight: bold">sehr kleine Schwingungen</span> kann man den Sinus durch eine lineare Näherung darstellen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot{\phi} + \omega^2 \, \phi \simeq 0"> <br /> <br />und erhält die Gleichung eines harmonischen Oszillator; für diesen liegt bei beliebigen Anfangsbedingungen, d.h. beliebiger Auslenkung und beliebiger Geschwindigkeit immer eine Oszillation vor; dies entspricht einem Umkehrpunkt der Bewegung im Potenzial bei einer maximalen Auslenkung. <br /> <br />Diese Näherung wird jedoch für große Geschwindigkeiten falsch, es geht eine zweite Klasse von Lösungen verloren, nämlich die Rotation; betrachtet man Anfangsbedingungen mit nicht verschwindender Geschwindigkeit im obersten Punkt, so existiert kein Umkehrpunkt und somit keine Oszillation, sondern immer eine Rotation mit variabler Winkelgeschwindigkeit. <br /> <br />Die obige Einschränkung auf genügend kleine Auslenkungen entspricht der <span style="font-weight: bold">Anfangsbedingung einer verschwinden Anfangsgeschwindigkeit</span>. <br /> <br />Auch für den zweiten Fall kann man eine Näherung betrachten, nämlich eine <span style="font-weight: bold">sehr große Anfangsgeschwindigkeit</span>; betrachtet man diese als konstant so liegt reine Rotation vor. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot{\phi} \simeq 0"> <br /> <br />Im ersten Fall ist der Auslenkungswinkel selbst eine periodische Funktion der Zeit, im zweiten Fall eine lineare Funktion plus eine periodischen Funktion der Zeit. <br /> <br />Die beiden Klassen sind charakterisiert durch den höchsten Punkt und die dort vorliegende Geschwindigkeit. <br />Oszillation: höchster Punkt nicht senkrecht über der Aufhängung, Geschwindigkeit dort Null, <br />Rotation: höchster Punkt senkrecht über der Aufhängung, Geschwindigkeit dort nicht Null. <br /> <br />Der <span style="font-weight: bold">Bifurkationspunkt</span> ist liegt gerade im labilen Gleichgewicht: höchster Punkt = Punkt senkrecht über der Aufhängung, Geschwindigkeit dort Null.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Hochseeangler</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Feb 2026 13:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Okay, schade. Gibt es dein Beispiel zum Pendel auch noch in deutscher Sprache? Das fällt mir dann vermutlich deutlich leichter.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 21:33<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich habe dieses Beispiel gerade nicht angeführt, weil es zwar deterministisch ist, aber nichts mit einer Bewegungsgleichung = Differentialgleichung für eine (genügend glatte) Funktion in der Physik zu tun</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Hochseeangler</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 21:27<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke für den Input. Ich hatte mir das Beispiel des Feigenbaum Diagramms angesehen (logistische Funktion). <br /> <br />Dort sieht man ja sehr eindeutig, dass xn je nach Parameter r unterschiedlich viele Häufungspunkte erhält. <br /> <br />Somit gibt es für jedes r einen determinierten Funktionswert xn, der allerdings so sensibel auf die Anfangsbedingungen reagiert, dass er zwischen verschiedenen Häufungspunkten variiert. Oder?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 18:29<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Betrachten wir das klassische Pendel, so gibt es genau eine Bifurkation zwischen dem Regime des Pendelns und dem Regime der Rotation. <br /> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mechanics)#Arbitrary-amplitude_period" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mechanics)#Arbitrary-amplitude_period</a> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Phase_space#Phase_portrait" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Phase_space#Phase_portrait</a> <br /> <br />Etwas komplizierter sehen die folgenden Beispiele aus: <br /> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lorenz_system" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Lorenz_system</a> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/R%C3%B6ssler_attractor" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/R%C3%B6ssler_attractor</a> <br /> <br />Bei der Bifurkationen handelt sich also nicht um ein Phänomen für die Lösung einer Bewegungsgleichung sondern um die (topologische) Charakterisierung von Klassen von Lösungen. Jede Lösung für sich ist immer glatt und eindeutig determiniert. <br /> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Bifurcation_theory" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Bifurcation_theory</a> <br /> <br /> <br />Damit verwandt ist das (exponentielle) Auseinanderlaufen zweier zunächst infinitesimal benachbarter Lösungen. Zwei benachbarte Lösungen können sich sehr schnell voneinander entfernen, müssen aber nicht, je nach dem zu welcher Klasse bzw. zu welchem Regime sie gehören. Wiederum ist jede Lösung für sich immer glatt und eindeutig determiniert. <br /> <br /> <br />All das kann man zunächst mal anhand des Pendels diskutieren.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Hochseeangler</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 11:05<span class="gen"> </span> Titel: Bifurkationen</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Hallo, <br />die Diskussion wurde ja neulich leider gesperrt. Ich hatte in dem Thema noch eine Frage zu meinem Verständnis von Bifurkationen gestellt und wollte wissen, ob es so in Ordnung ist:<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />"Zumal: Bifurkationen weißen ja nicht auf, daß der Funktionswert zwei beliebige "Wege" einschlagen kann, welche rein vom Zufall abhängen, sondern, dass es innerhalb der Funktion zu verschiedenen Häufungspunkten kommen, welche sensibel von den Parametern abhängen, was letztlich auch wieder determiniert ist. Oder sehe ich das falsch?"<br /><br />"Außerdem ist mir nicht bekannt, dass es bei solchen Systemen bei exakt gleichen Anfangsbedingungem zwei mögliche Wege gibt. Auch bei Bifurkationen bleiben die Gleichungen doch determiniert. Oder weiß hier jemand etwas anderes? Und inwiefern wird die Zeitsymmetrie gebrochen?"</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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