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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Okt 2025 13:12<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Für die spezielle Fragestellung, dass eine Kraft für t < 0 verschwindet, gehe ich die Argumentation mit. <br /> <br />Für mich ist die Fourier-Transformation symmetrischer bzgl. Hin- und Rück-Trf., und der Unterschied der Integrationswege verschwindet auch, weil zumeist der Residuensatz sagt, wie der geschickt zu legen ist. <br /> <br />Egal – Geschmacksache.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Physik-Affe</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Okt 2025 10:40<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nun im Grunde sind ja beide Transformationen miteinander eng verwandt. Was mir an der Laplace-Transformation gefällt ist die Einschränkung des Definitionsbereiches für <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t\ge 0"> <br /> <br />Bei der Lösung einer Dgl. werden Ereignisse betrachtet, die in der Gegenwart und Zukunft liegen. Ereignisse in der Vergangenheit sind nicht bestimmbar. Sie haben stattgefunden und ihre Anfangsbedingungen nicht mehr feststellbar. Ich finde daher diese Transformation eingängiger und physikalisch sympathischer. Hinzu kommt der Wegfall der komplexen Variable, die zwar nicht weggefallen ist, aber zunächst unsichtbar in der Variablen s des Bildbereiches verborgen ist. Das hält das Rechnen übersichtlicher. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_b(s)=\int_{t=0}^{\infty}f(t)\cdot e ^{-s\cdot t}\cdot dt"> <br /> <br />Letztlich haben wir in der Ausbildung sehr viel diese Transformation verwendet um Differentialgleichungen zu untersuchen. Hierzu gehörten u.a. die allg. Form einer partiellen Differentialgleichung die gedämpfte Wellen, aber auch Wärmeleitung und Neutronenflüsse beschreiben kann. Hier kann man Grenzwertsätze verwenden die einem Lösungen ermöglichen Aussagen zu treffen ohne eine Rücktransformation durchzuführen. <br /> <br />Es kann aber auch sein, das es sich nur um einen Gewohnheitseffekt handelt der mich zur Laplace Transformation hinzieht. Sozusagen positive Erinnerung an meine Ausbildung.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Okt 2025 09:19<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die Erklären von <span style="font-weight: bold">Physik-Affe</span> ist sehr schön. <br /> <br />Die Schwingungsantwort des Systems je Frequenz omega ist proportional zu <br />a) der Amplitude der Anregung und <br />b) proportional zum Resonanzterm des Systems <br />beides ausgewertet bei dieser Frequenz. <br /> <br /> <br /><span style="font-weight: bold">@Physik-Affe</span> – warum gefällt dir die Laplace-Transformation da besser?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Steffen Bühler</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Okt 2025 08:42<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Man kann natürlich auch die Addition der Sinusschwingungen über die Additionstheoreme zu einer Multiplikation umformen. Das ist dann eine Schwingung, deren Frequenz das arithmetische Mittel der beiden Ursprungsfrequenzen ist und deren Amplitude sich mit der Differenzfrequenz ändert.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Physik-Affe</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Okt 2025 08:40<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich möchte es mal ganz einfach erläutern. Die Resonanzfrequenz hängt ausschließlich von von mechanischen Eigenschaften des schwingenden Systems ab. Das kann man auch klar an der Formel erkennen. Das sind hier im Beispiel einmal die Eigenfrequenz des ungedämpften Systems und die Dämpfung selber. Es ist egal, mit welcher Art von Signalen es angeregt wird. <br /> <br />Wie hoch die Amplitude wird hängt allerdings von der Form der Anregung ab. Das System kann die Energie um so besser aufnehmen je näher die Anregung in der Nähe der Resonanzfrequenz liegt. Jetzt kommt die Fouriertransformation ins Spiel. Sie liefert zu einem Signal ein Frequenzspektrum. Ist das Signal einmalig, also nicht periodisch wiederkehrend, rücken die Frequenzanteile beliebig dicht zusammen und es entsteht eine kontinuierliche Frequenzverteilung. Ist die Anregung periodisch entsteht ein diskretes Spektrum. <br /> <br />Die Fouriertransformation oder noch besser die Laplacetransformation ermöglicht es die betreffende Differentialgleichung eleganter zu beurteilen und auch zu lösen. Es sind Integraltransformationen, die die Differentialgleichung von einem Zeitbereich in einen Bild- bzw. Frequenzbereich heben. Im Bildbereich gelten für die Ableitungen und auch Integrale einfachere Rechenregeln. Die Differentialgleichung mutiert in eine algebraische Gleichung, die sich einfach nach der gesuchten Funktion auflösen lässt. Die Rücktransformation wird häufig über Transformationstabellen erledigt und im Ausnahmefall auch mit Mitteln der Funktionentheorie. Siehe Residuensätze.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Okt 2025 07:44<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Zunächst schreibt man die von dir genannte DGL für den gedämpften harmonischen Oszillator um zu <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot{x} + 2 \beta \dot{x} + \omega_0^2 x = a"> <br /> <br />Man setzt nun für die spezielle Lösung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} d\omega \, e^{i\omega t} X(\omega)"> <br /> <br />Analog für die externe Kraft f bzw. Beschleunigung a = f/m mit den Fourier-Transformierten F bzw. A; ich setzte dabei konsequent Kleinbuchstaben für die Funktionen der Zeit und Großbuchstaben für die entsprechenden Funktionen der Frequenz. <br /> <br />Setzt man dies in die DGL ein und führt die Differentationen unter dem Integral durch, so erhält man <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{-\infty}^{+\infty} d\omega \, e^{i\omega t} \left[(-\omega^2 + 2i\beta\omega + \omega_0^2) X(\omega) - A(\omega) \right] = 0"> <br /> <br />Dabei ist der von dir genannte Fall ein Spezialfall mit einer verallgemeinerten Funktion F, die an zwei Stellen einen Peak aufweist und ansonsten Null ist, die sogenannte Diracsche Delta-Distribution. Tatsächlich gilt der Ansatz auch für nicht-periodische Kraft f. <br /> <br />Da nun die e-Funktionen linear unabhängig sind, muss der Integrand je Einzelfrequenz omega verschwinden, d.h. […] = 0 und somit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?X(\omega) = \frac{A(\omega)}{-\omega^2 + 2i\beta\omega + \omega_0^2} = - \frac{A(\omega)}{(\omega - \omega_+)(\omega - \omega_-)} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega_\pm = \pm \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2} + i\beta"> <br /> <br />Die Lösung folgt dann durch Fourier-Rücktransformation <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t) = - \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} d\omega \, e^{i\omega t} \frac{A(\omega)}{(\omega - \omega_+)(\omega - \omega_-)}"> <br /> <br />Die Integrale löst man häufig mittels des Residuensatzes. <br /> <br />Aufgrund des imaginären Dämpfungsterms liegen die Pole nicht auf der reellen Achse. <br /> <br />Damit trägt nun jede Frequenz omega mit der entsprechenden Amplitudenfunktion A bei. <br /> <br />Lässt sich die äußere Kraft f als Summe über Sinus- und Cosinus-Funktionen bzw. komplexe e-Funktionen darstellen, so gilt für A eine Darstellung mittels einer Summe über die entsprechenden Delta-Distributionen, also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A(\omega) = 2\pi \sum_n A_n \, \delta(\omega - \omega_n)"> <br /> <br />und damit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t) = - \sum_n \frac{A_n \, e^{i\omega_n t}}{(\omega_n - \omega_+)(\omega_n - \omega_-)}"> <br /> <br />(beim Kaffeetrinken evtl. nicht alle Vorzeichen korrekt, aber hoffentlich vom Prinzip her klar)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>MadManMax</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Okt 2025 22:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die Resonanzfrequenz ist diejenige Frequenz, für die die linke Seite der DGL im unter Fourier-Transformation d.h. im Frequenzraum maximal wird. Das ändert sich bei einer Superposition nicht. <br /> <br />Sagt die Fourier-Transformation etwas?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Leider nein, nicht wirklich 😅. Ich weiß nur, dass die Fourier-Transformation etwas damit zu tun hat, Funktionen als Überlagerung (Superposition) von trigonometrischen Funktionen bzw. Sinus- und Kosinusanteilen darzustellen. Den genauen Zusammenhang mit Differentialgleichungen kenne ich aber leider nicht.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Okt 2025 22:08<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die Resonanzfrequenz ist diejenige Frequenz, für die die linke Seite der DGL im unter Fourier-Transformation d.h. im Frequenzraum maximal wird. Das ändert sich bei einer Superposition nicht. <br /> <br />Sagt die Fourier-Transformation etwas?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>MadManMax</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Okt 2025 21:32<span class="gen"> </span> Titel: Resonanzfrequenz bei überlagerter oder mehrfacher Anregung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span> <br />Hallo zusammen, <br />es geht zunächst um die erzwungenen Schwingung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m\ddot{x} +b\dot{x} +kx=F(t)"> mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F(t)=F_{0}cos(wt)">. <br />Dort gilt ja für die stationäre Amplitude <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A(w)=\frac{F_{0}/m}{\sqrt{(w_{0}^{2}-w^{2})^2+(2\beta w)^2 }}"> mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?w_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\beta =\frac{b}{2m}">. <br /> <br />Das Maximum dieser Amplitude liegt bei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?w_{res}=\sqrt{w_{0}^2-2\beta ^2}"> und wird als Resonanzfrequenz bezeichnet, also die Frequenz, bei der die Amplitude (bzw. Energieübertragung???) maximal ist. <br />Was ist aber, wenn die Anregung mehrere Frequenzen gleichzeitig enthält, z.B. <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F(t)=F_{1}\cos(w_{1}t)+F_{2}\cos(w_{2}t)">? <br />Dann ist die partikuläre Lösung (im linearen Fall): <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t)=A_{1}\cos(w_{1}t-\varphi _{1})+A_{2}\cos(w_{2}t-\varphi _{2})">. <br />In der Literatur wird die Resonanzfrequenz meist als jene Frequenz bezeichnet, bei der die Amplitude einer einzelnen harmonischen Anregung maximal ist. <br />In dem hier betrachteten Fall mit mehreren Anregungen kann die daraus entstehende Gesamtauslenkung (partikulär) <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t)"> zeitweise größer sein als bei jeder einzelnen Anregung. Damit entsteht eine Frequenzkombination, bei der die gemeinsame Energieübertragung maximal ist ? auch wenn keine der beiden Anregungsfrequenzen allein im klassischen Resonanzmaximum liegt. Das wirft die Frage auf, ob man in solchen Fällen noch von einer Resonanzfrequenz sprechen kann? und wenn nicht, weshalb? <br />Danke schon mal für eure Hilfe! <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span> <br />-</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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