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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>4lex</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Sep 2025 01:50<span class="gen"> </span> Titel: Herleitung der Kohn-Sham Gleichungen nach J.J. Sakurai</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span> <br />Hallo zusammen <br /> <br />Im Buch ,,Modern Quantum Mechanics" Third Edition von J.J. Sakurai und Jim Napolitano werden auf den Seiten 449 und 448 Die Kohn-Sham Gleichungen über Variation des Funktionals <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E(n)=F(n)+\int V_{ext}(\vec{x})n(\vec{x})d^3x"> <br /> <br />hergeleitet. <br />Dabei ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F(n)=T_{KS}(n)+U_{ee}(n)+U_{XC}(n)=T_{KS}(n)+\frac{e^2}{2}\int \int \frac{n(\vec{x})n(\vec{x}')}{|\vec{x}-\vec{x}'|}d^3xd^3x'+U_{XC}(n)"> <br /> <br /> und somit <br /> <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? E(n)=T_{KS}(n)+\frac{e^2}{2}\int \int \frac{n(\vec{x})n(\vec{x}')}{|\vec{x}-\vec{x}'|}d^3xd^3x'+U_{XC}(n)+\int V_{ext}(\vec{x})n(\vec{x})d^3x ">. <br /> <br />Unter Beachtung der Nebenbedingung <br /> <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int n(\vec{x})d^3x=N"> <br /> <br /> folgt nun mit Variation <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta L=\delta T_{KS}(n)+\frac{e^2}{2}\int \int \frac{\delta n(\vec{x})n(\vec{x}')+\delta n(\vec{x}')n(\vec{x})}{|\vec{x}-\vec{x}'|}d^3xd^3x'+\delta U_{XC}(n)+\int V_{ext}(\vec{x})\delta n(\vec{x})d^3x -\mu \delta (\int n(\vec{x})d^3x-N)=0"> <br /> <br />was zusammengefasst <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \delta E(n)-\mu \delta(\int n(\vec{x})d^3x-N)"> <br /> <br />entspricht. <br /> <br />Unter Nutzung von <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta E(n)=\int \frac{E(n)}{\delta n(\vec{x})}\delta n(\vec{x})d^3x"> <br /> <br />folgt dann <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int \frac{E(n)}{\delta n(\vec{x})}\delta n(\vec{x})d^3x-\int \mu \delta n(\vec{x})d^3x=0"> <br /> <br />und daraus <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int \left(\frac{\delta E(n)}{\delta n(\vec{x})}-\mu\right)\delta n(\vec{x}) d^3x=0"> <br /> <br />Schlussendlich landet man bei <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\delta E(n)}{\delta n}=\mu=\frac{\delta T_{KS}(n)}{\delta n}+e^2\int \frac{n(\vec{x}')}{|\vec{x}-\vec{x}'|}d^3x'+\frac{\delta U_{XC}(n)}{\delta n}+V_{ext}(\vec{x})"> <br /> <br />Das Endergebnis soll nun laut Buch mit der allgemeinen Form <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \mu=\frac{\delta T_{KS}(n)}{\delta n}+V_{KS}(\vec{x})"> <br /> <br />verglichen werden und daraus die Form von <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V_{KS}(\vec{x})=e^2\int \frac{n(\vec{x}')}{|\vec{x}-\vec{x}'|}d^3x'+\frac{\delta U_{XC}(n)}{\delta n}+V_{ext}(\vec{x})"> <br /> <br /> <br />abgelesen werden. <br /> <br />Was dabei für mich nicht ganz klar ist, ist die Herleitung von <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \mu=\frac{\delta T_{KS}(n)}{\delta n}+V_{KS}(\vec{x})"> <br /> <br />die laut Buch unter Nutzung von <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\left<\vec{x}|H_{KS}|\phi_j \right> =-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \phi_j(\vec{x})+V_{KS}(\vec{x})\phi_j(\vec{x})"> <br /> <br />folgen soll. Ausgeführt ist dies im Buch aber nicht. Ich habs unten mal probiert. Bin mir aber nicht sicher ob es so stimmt. <br /> <br />Wichtig zu erwähnen ist noch das H_KS nach meiner Einschätzung einmal als Ein-Teilchen-Operator gedacht ist und einmal als Summe von Ein-Teilchen Operatoren, was etwas verwirrend ist, da man es im Buch besser h_ks und H_KS hätte nennen sollen. Zumindest scheinen mir die im Buch verwendeten Formeln <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\left<\psi|H_{KS}|\psi\right>=\sum\limits_{j=1}^N \int \phi_j^*(\vec{x}_i)\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\phi_j(\vec{x}_i)+V_{KS}(\vec{x}_i)\phi_j(\vec{x}_i))\right)d^3x_i"> <br /> <br />und <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\left<\vec{x}|H_{KS}|\phi_j \right> =-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \phi_j(\vec{x})+V_{KS}(\vec{x})\phi_j(\vec{x})"> <br /> <br />den Eindruck zu machen <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span> <br />Meine Idee soweit wäre <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \left<\vec{x}|H_{KS}|\phi_j\right>=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\right)\nabla^2\phi_j(\vec{x})+V_{KS}(\vec{x})\phi_j(\vec{x}) "> <br /> <br />von links mit <br /> <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi_j^* "> <br /> <br />zu multiplizieren und dann über alle j zu summieren. Dann hätte man <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sum\limits_{j=1}^N \phi_j^*(\vec{x})\left<\vec{x}|H_{KS}|\phi_j\right>=\sum\limits_{j=1}^N \phi_j^*(\vec{x})\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\right)\nabla^2\phi_j(\vec{x})+\sum_{j=1}^N \phi_j^*(\vec{x})V_{KS}(\vec{x})\phi_j(\vec{x}) "> <br /> <br />und man könnte mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? n(\vec{x})=\sum\limits_{j=1}^N |\phi_j(\vec{x})|^2 "> <br /> <br /> schon mal zu <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sum\limits_{j=1}^N \phi_j^*(\vec{x})\left<\vec{x}|H_{KS}|\phi_j\right>=\sum\limits_{j=1}^N \phi_j^*(\vec{x})\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\right)\nabla^2\phi_j(\vec{x})+V_{KS}(\vec{x})n(\vec{x}) "> <br /> <br />vereinfachen. Wenn man dies noch integriert erhält man <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int\sum\limits_{j=1}^N \phi_j^*(\vec{x})\left<\vec{x}|H_{KS}|\phi_j\right>d^3x=\int\sum\limits_{j=1}^N \phi_j^*(\vec{x})\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\right)\nabla^2\phi_j(\vec{x})d^3x+\int V_{KS}(\vec{x})n(\vec{x})d^3x"> <br /> <br />Das sollte dann <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\left<\psi|H_{KS}|\psi\right>=\left<\psi|T_{KS}|\psi\right>+\int V_{KS}(\vec{x})n(\vec{x})d^3x"> <br /> <br />entsprechen, denn im Buch ist <br /> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\left<\psi|T_{KS}|\psi\right>=\sum\limits_{j=1}^N \int \phi_j^*(\vec{x}_i)\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_i^2\phi_j(\vec{x}_i)\right)d^3x_i"> <br /> <br />gegeben. Ich müsste dann nur wieder die Indizes i an die x und das Nabla machen. <br /> <br />Das ganze müsste dann wiederum <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? E(n)=T_{KS}(n)+\int V_{KS}(\vec{x})n(\vec{x})d^3x"> <br /> <br />entsprechen. <br /> <br /> <br />Und der Rest dann wie zuvor unter der Annahme <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int n(\vec{x})d^3x=N"> <br /> <br />und mit Variation. Also <br /> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta L=\delta T_{KS}(n)+\int V_{KS}(\vec{x})\delta n(\vec{x})d^3x-\mu\delta\left(\int n(\vec{x})d^3x-N\right)"> <br /> <br />Mit <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta N=0"> <br /> <br />und dann wieder <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta E(n)-\mu\int\delta n(\vec{x})d^3x=0"> <br /> <br />Woraus mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta E(n)=\int\frac{\delta E(n)}{\delta n(\vec{x})}\delta n(\vec{x})d^3x"> <br /> <br /> <br />folgt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int\frac{\delta T_{KS}(n)}{\delta n}\delta nd^3x+\int V_{KS}(\vec{x})\delta n(\vec{x})d^3x-\mu\int \delta n(\vec{x})d^3x=0"> <br /> <br />und somit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int\left(\frac{\delta T_{KS}(n)}{\delta n}+V_{KS}(\vec{x})-\mu\right)\delta n(\vec{x})d^3x=0"> <br /> <br />und daraus schlussendlich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mu=\frac{\delta T_{KS}(n)}{\delta n}+V_{KS}(\vec{x})"> <br /> <br /> <br /> Wenn da jemand netterweise drauf gucken könnte, könnte man sich sicher sein, dass es stimmt. <br /> <br /> <br /><span style="color: blue">LaTeX korrigiert, zweiten Beitrag deswegen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen </span></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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