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index_razor
Verfasst am: 21. Feb 2022 17:38
Titel:
dabafsdf hat Folgendes geschrieben:
ah danke. Dann bekomme ich die Bedingung
Das schaut schon weniger trivial aus
Ja, genau, das habe ich auch berechnet.
dabafsdf
Verfasst am: 21. Feb 2022 17:37
Titel:
ah danke. Dann bekomme ich die Bedingung
Das schaut schon weniger trivial aus
index_razor
Verfasst am: 21. Feb 2022 15:58
Titel:
Benutze doch die Bedingung, daß zwei Operatoren gleichzeitig diagonalisierbar sind, wenn ihr Kommutator verschwindet.
dabafsdf
Verfasst am: 21. Feb 2022 15:08
Titel: Simultan diagonalisierbare Operatoren
Meine Frage:
Ein Hamiltonoperator
besitze die orthonormierten Eigenzustände
mit
Eigenenergien
. Eine Observable
besitze bezüglich dieser Basis die Matrixdarstellung
Dabei sei
eine reelle Konstante.
a)Welche Bedingung muss man an die Eigenwerte von
stellen, damit
und
gleichzeitig diagonalisierbar sind.
b)Geben Sie für diesen Fall einen Satz gemeinsamer Eigenvektoren und die zugeordneten Eigenwerte von
und
an.
Meine Ideen:
a)Zwei Matrizen sind gleichzeitig diagonalisierbar, falls gilt:
und
(Quelle:https://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalisierbare_Matrix#Diagonalisierung)
Da in der Basis von
gearbeitet wird, gilt:
Daraus folgt allerdings, das
und
die Einheitsmatrix sind. Dies ist aber nicht mit
vereinbar.
Die einzige Option ist
. Wobei E beliebig ist. Dann ist
beliebig. Bzw. sie sind nur beschänkt durch
Das Ergebnis diese Eigenwertproblems ist:
b) Die Eigenvektoren sind die Spaltenvektoren von
, die Eigenwerte von
sind die Diagonaleinträge von
und die Eigenenergien bzw. die Eigenenergie von
bezüglich dieser Spaltenvektoren ist
.
Ist diese Rechnung richtig ? Das kommt mir irgendwie so trivial vor.