Startseite
Forum
Fragen
Suchen
Formeleditor
Über Uns
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
Foren-Übersicht
->
Quantenphysik
Antwort schreiben
Benutzername
(du bist
nicht
eingeloggt!)
Titel
Nachrichtentext
Smilies
Weitere Smilies ansehen
Schriftfarbe:
Standard
Dunkelrot
Rot
Orange
Braun
Gelb
Grün
Oliv
Cyan
Blau
Dunkelblau
Indigo
Violett
Weiß
Schwarz
Schriftgröße:
Schriftgröße
Winzig
Klein
Normal
Groß
Riesig
Tags schließen
Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts:
Latex-Kurzbeschreibung
|
Formeleditor
Optionen
HTML ist
aus
BBCode
ist
an
Smilies sind
an
BBCode in diesem Beitrag deaktivieren
Smilies in diesem Beitrag deaktivieren
Spamschutz
Text aus Bild eingeben
Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu:
Forum auswählen
Themenbereiche
----------------
Mechanik
Elektrik
Quantenphysik
Astronomie
Wärmelehre
Optik
Sonstiges
FAQ
Sonstiges
----------------
Off-Topic
Ankündigungen
Thema-Überblick
Autor
Nachricht
TomS
Verfasst am: 07. Jun 2021 16:44
Titel:
Gerne
Apo
Verfasst am: 07. Jun 2021 15:51
Titel:
Okay, diese Relation kannte ich tatsächlich noch nicht.. ich sollte mich wohl noch etwas mehr mit Tensorprodukten auseinandersetzen.
Dafür hat die Rechnung jetzt geklappt, vielen Dank für deine Hilfe
TomS
Verfasst am: 07. Jun 2021 13:31
Titel:
Du solltest das folgende nochmal nachprüfen oder nachschauen.
Zunächst gilt für das Tensororodukt
Ich betrachte einen einzigen Term aus der o.g. Summe. Die Indizes i, i+1, k lasse ich weg, denn entweder ist k = i oder k = i+1 (oder der Kommutator verschwindet). A entspricht dem i, B dem i+1. k entspricht dem C.
Mit k = i bleibt der Spinoperator aus S am ersten Spinoperator aus dem Term aus H hängen.
Für diesen Fall berechnest du
Der Fall k = i+1 folgt analog.
Apo
Verfasst am: 07. Jun 2021 10:56
Titel:
Das heißt einer der Term hätte dann die Form
.
Mir ist noch nicht ganz klar, wie das mit den Tensorprodukten im Kommutator fuktioniert. Kann ich für das Tensorprodukt eine Relation verwenden analog zu
?
Dann hätte ich für den Term oben
Für
bekomme ich das selbe Ergebnis mit einem umgekehrten Vorzeichen, sodass sich alle Terme aufheben, wie du gesagt hast. Der dritte Term
sollte ja sowieso komplett verschwinden.
Ist die Rechnung so richtig, oder habe ich irgendetwas noch nicht bedacht?
Auf jeden Fall, schon mal vielen vielen Dank für deine Hilfe!
Edit: Die ganze Rechnung war jetzt für
statt für
wie ich gerade gemerkt habe, aber die Rechnungen sollten ja genau analog funktionieren.
TomS
Verfasst am: 07. Jun 2021 07:32
Titel: Re: Heisenberg Hamiltonian
Nun, zu berechnen ist letztlich
wobei ich alle Terme mit der Eins weggelassen habe.
Die Summe über i bzw. k stammt aus dem Hamiltonian bzw. dem Gesamtspin.
An jeder Stelle vertauschen dabei Spinoperatoren zu unterschiedlichem i und k, d.h. du erhältst diverse Kronecker-deltas. Da die beiden Spinoperatoren je Term im Hamiltonian zu i, i-1 gehören, bleibt der entsprechende Spinoperatoren einmal nur am ersten und einmal nur am zweiten hängen.
Dass der Kommutator insgesamt Null wird, folgt mittels Ausführen der Summe und Beachten aller Vorzeichen.
Apo
Verfasst am: 06. Jun 2021 20:49
Titel:
Oke, ich glaub das leuchtet mir soweit ein
Das heißt, H in Matrix-Darstellung wäre eine 2n x 2n-Matrix? Auch wenn ich die hier wie du gemeint hast nicht brauchen sollte.
Ich habe den Eindruck dass mein Problem so ein bisschen ist, dass ich nicht so ganz über das mathematische Wissen verfüge das ich hier bräuchte.
Wie berechne ich dann den Kommutator? Bzw., zuerst, wie sieht bspw. mein
aus? Ist der i-te Term der Summe dann von der Form
,
dass die Dimensionen im Kommutator passen?
TomS
Verfasst am: 06. Jun 2021 19:39
Titel: Re: Heisenberg Hamiltonian
Apo hat Folgendes geschrieben:
Was mich vor allem irritiert ist die Tatsache, dass in den meisten Quellen, die ich gefunden habe, statt dem Tensorprodukt ein Skalarprodukt im Hamilton-Operator stand.
Es ist beides ;-)
ist ein Skalarprodukt bzgl. der Vektoren im Ortsraum, hier explizit mit Summe über x,y,z, sowie je Term ein Tensorprodukt bzgl. des je Paar (i,i+1) relevanten Zweiteilchen-Hilbertraumes.
Eigentlich ist auch das nur eine verkürzte Notation.
Ein Zustand lautet ja
und jeder einzelne Term mit (i,i+1) in H ist von der Form
Ich denke nicht, dass du zur Berechnung die Matrix-Darstellung benötigst.
Apo
Verfasst am: 06. Jun 2021 17:28
Titel: Heisenberg Hamiltonian
Hallo zusammen,
ich habe hier ein Problem mit einer Aufgabe:
Consider a chain of n spin-1/2 particles whose Hamiltonian is given by
the expression
where
Show that the Hamiltonian commutes with the total spin operator, that is
where
, etc.
Hint: Make use of
(
denotes the anti-commutator) for products of operators concerning the same particle
Was mich vor allem irritiert ist die Tatsache, dass in den meisten Quellen, die ich gefunden habe, statt dem Tensorprodukt ein Skalarprodukt im Hamilton-Operator stand.
Meine Idee wäre es jetzt gewesen,
für zwei der Teilchen auszurechnen, was dann zu
führen würde. Diesen Ausdruck erhalte ich auch für Teilchen 3 und 4, 5 und 6,..., sodass die Summe im Hamilton-Operator gerade n-mal die Matrix liefern würde. Ich tue mir dann aber auch etwas schwer damit,
durch die angebene Summe zu berechnen. Eigentlich sollte ja
sein, aber wie erweitere ich das auf den vierdimensionalen Raum des Hamilton-Operators? Irgendwie durch
? Ist mein Ansatz H zu berechnen überhaupt richtig?
Ich wäre über jeden Tipp sehr dankbar