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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Science_Joggl</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Jul 2019 10:48<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Okey vielen Dank dann versuche ich es in der Richtung mal. Vielleicht hilft es weiter einfach einen Abstand <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?d = x2 - x1"> einzuführen... mal sehen <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Jul 2019 16:22<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Für die Federlänge bzw. deren Änderung im Vergleich zur entspannten Feder ist doch neben der horizontalen Auslenkung der Massen auch die vertikale Auslenkung relevant. Macht man eine Näherung für kleine Auslenkungen, gilt dies nicht mehr, da für kleine Winkel x gilt cos(x)=1. <br />Wie man auf die gegebene Funktion Uk kommen soll, wenn x2-x1 nicht gegeben ist, sehe ich auch nicht.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Science_Joggl</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Jul 2019 10:28<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke für die Antwort. Leider steht nichts dabei zum Abstand der Aufhängepunkte. Angenommen der Abstand wäre nicht klein gegenüber der Fadenlänge anzunehmen, warum kann dann der vertikale Abstand eine Rolle spielen? Inwiefern ändert das die Federlänge?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Jul 2019 21:25<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Wenn der Abstand der Aufhängepunkte x2-x1 nicht gross ist gegenüber der „Faden“länge l (ich nehme an, es handelt sich eher um Stangen?), kann für nicht kleine Auslenkungen auch der vertikale Unterschied für die Änderung der Federlänge relevant sein. Steht denn nichts zum Abstand x2-x1?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Science_Joggl</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Jul 2019 17:32<span class="gen"> </span> Titel: Gekoppeltes Fadenpendel</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Hallo,<br /><br />im Rahmen der Prüfungsvorbereitung sitze ich an folgender Aufgabe und komme in einem Punkt nicht weiter:<br /><br />Stellen Sie zu folgendem System die Lagrangefunktion auf: Zwei Fadenpendel der Länge <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? l "> mit je Masse <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? m ">, die über eine Feder der Federkonstante <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? k "> auf halber Höhe (bei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? l/2 ">) miteinander verbunden sind. Das System befinde sich im Schwerefeld der Erde und die Bewegung sei reibungsfrei. Der Aufhängepunkt des ersten Pendels sei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? x1 ">, der des zweiten <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? x2 "><br /><br />Probleme habe ich beim Aufstellen der potentiellen Energie.<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Die potentielle Energie setzt sich meiner Meinung nach aus der potentiellen Energie des Erdschwerefelds für jedes Pendel und der potentiellen Energie die die Feder auf das Pendel ausübt zusammen.<br /><br />Als Nullpunkt der potentiellen Energie des Schwerefelds der Erde wähle ich die Aufhängung des Pendels. Somit:<br /><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U_{g} = U_{g_{1}} + U_{g_{2}}"><br />wobei:<br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U_{g_{1}}=mgl\cdot\cos(\varphi_{1}) "><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U_{g_{2}}=mgl\cdot\cos(\varphi_{2}) "><br />und damit:<br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U_{g}=mgl(\cos(\varphi_{1})+\cos(\varphi_{2})) "><br /><br />Als Nullpunkt der potentiellen Energie der Feder wähle ich die Ruhelage, wobei diese gegeben sei bei einer Federlänge, die dem Abstand der Aufhängungen entspricht.<br /><br />Meine Überlegung: <br />Lenkt man die erste Masse aus, ändert sich die Länge der Feder um <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta x = l/2 \cdot \sin(\varphi_{1})"><br />Lenkt man die zweite Masse in dieselbe Richtung aus, verringert sich die Längenänderung der Feder wieder um <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \Delta x = l/2 \cdot \sin(\varphi_{2}) "><br /><br />Insgesamt ist also die Längenänderung der Feder gegeben durch:<br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \Delta x = l/2 (\sin(\varphi_{1}) - \sin(\varphi_{2})) "><br /><br />Die potentielle Energie der Feder Ergibt sich somit durch:<br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U_{k}=\frac{k}{2}\cdot (\Delta x)^{2} = "><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{k}{2}\cdot (\frac{l}{2} \cdot (\sin(\varphi_{1}) - \sin(\varphi_{2})))^{2} = "><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{k}{2}\cdot \frac{l^{2}}{4} \cdot (\sin(\varphi_{1}) - \sin(\varphi_{2}))^{2} = "><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{kl^{2}}{8} \cdot (\sin(\varphi_{1}) - \sin(\varphi_{2}))^{2} "><br /><br /><br />Als Lösung der Aufgabe habe ich gegeben:<br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U_{k}= \frac{kl^{2}}{4} \cdot ((\sin\varphi_{1} - \sin\varphi_{2})^{2} - (\cos\varphi_{1} - \cos\varphi_{2})^{2})"><br /><br />Leider steht dort nicht, wie man darauf kommt, deswegen jetzt meine Frage an Euch: Was mache ich falsch? Woher kommen die Cosinus Terme und der 1/4 Vorfaktor anstelle meines 1/8?<br /><br />Vielen Dank <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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