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Autor
Nachricht
Nescio
Verfasst am: 08. Okt 2018 22:16
Titel:
Hallo WebFritzi,
WebFritzi hat Folgendes geschrieben:
Haben alle in der QM möglichen Observablen (Operatoren) mit diskretem Spektrum nur einfache Eigenwerte?
Nein, man nennt das Entartung. Wenn es zum selben Eigenwert g linear unabhängige Eigenzustände gibt, dann ist der Eigenwert g-fach entartet.
WebFritzi hat Folgendes geschrieben:
Ich habe gelesen, dass bei einer Messung ein Kollaps eintritt und sich der Zustand für ein Paar Eigenwert + Eigenvektor “entscheidet”.
Beim Kollaps wird der Zustand auf den Eigenraum des gemessenen Eigenwertes projiziert. D.h. nach Messung eines entarteten Eigenwertes ist der Zustand des Systems noch nicht eindeutig festgelegt.
WebFritzi hat Folgendes geschrieben:
Es ist klar, was hierunter zu verstehen ist, wenn es zu jedem Eigenwert genau einen Eigenvektor gibt. Was ist aber, wenn z.B. alle Eigenräume zweidimensional wären.
Man kann dann eine neue Observable konstruieren, welche mit den bisher gemessenen Observablen kommutiert (also gleichzeitig messbar ist) und durch dessen Messung der Zustand dann eindeutig festgelegt werden kann.
Eine Menge von kommutierenden Observablen, bei welchen die Angabe aller gemessenen Eigenwerte immer ausreicht um den Zustand eindeutig festzulegen nennt man "Vollständiger Satz kommutierender Observablen"(VSKO).
https://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndiger_Satz_kommutierender_Observablen
Ich denke dieser Absatz aus Wikipedia ist am verständlichsten (zumindest für mich):
"Gegeben sei eine Observable A, deren Eigenvektoren eine Basis des Zustandsraumes bilden. Sind diese sämtlich nicht-entartet, so lässt sich der Zustand des Systems durch die Angabe des zu einem Eigenvektor gehörigen Eigenwertes eindeutig charakterisieren. A bildet dann „für sich“ einen v.S.k.O. Sind die Eigenvektoren jedoch in irgendeiner Form entartet, nimmt man eine weitere Observable B hinzu, die mit A vertauscht und deren Eigenvektoren wiederum eine Basis des Zustandsraumes bilden. Aus beiden Mengen von Eigenvektoren wählt man nun die nicht-Entarteten. Bilden diese eine Basis des Zustandsraumes stellen A und B einen v.S.k.O. dar. Wenn nicht, nimmt man solange weitere Observablen C,D,... hinzu, die jeweils paarweise mit den anderen Observablen vertauschen, bis man eine Basis aus Eigenvektoren zu nicht-entarteten Eigenwerten konstruieren kann. "
WebFritzi
Verfasst am: 06. Okt 2018 21:39
Titel: Doppelte Eigenwerte
Ich beschäftige mich gerade mit den mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik, und meine Frage ist:
Haben alle in der QM möglichen Observablen (Operatoren) mit diskretem Spektrum nur einfache Eigenwerte? Ich habe gelesen, dass bei einer Messung ein Kollaps eintritt und sich der Zustand für ein Paar Eigenwert + Eigenvektor “entscheidet”. Es ist klar, was hierunter zu verstehen ist, wenn es zu jedem Eigenwert genau einen Eigenvektor gibt. Was ist aber, wenn z.B. alle Eigenräume zweidimensional wären? Wird diese Möglichkeit auch betrachtet?
Freue mich über Antworten.