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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. März 2018 10:43<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Bitte, gern geschehen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>StudentenFutter</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. März 2018 10:13<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Perfekt, jetzt habe ich es verstanden. Danke!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. März 2018 17:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ja, die Gleichung ist richtig. <br /> <br />Zu berechnen ist der Zeitpunkt t, bei dem der Oszillator einen Drittel seiner Energie verloren hat, der Oszillator also noch 2/3 der anfänglichen Energie hat. Es gilt deshalb <br /> <br />E(t)=2/3*E(0) <br /> <br />wenn E(0) die anfängliche Energie ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>StudentenFutter</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. März 2018 17:27<span class="gen"> </span> Titel: Re: Energie eines harmonischen Oszillators mit Dämpfung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Myon hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Die zu lösende Gleichung ist dann E(t)/E(0)=2/3. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Kannst du mir diese Gleichung bitte nochmal näher erklären? <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\frac{1}{2}*x_0^2*exp(-\eta t)}{\frac{1}{2}*x_0^2*1 }= \frac{2}{3} "> <br /> <br />Ist die Gleichung so richtig? Ich verstehe nicht ganz wieso ich <br />a) einmal E(t) und einmal E(0) einsetze und <br />b) wieso ich dann E(t) durch E(0) teile.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. März 2018 16:57<span class="gen"> </span> Titel: Re: Energie eines harmonischen Oszillators mit Dämpfung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>StudentenFutter hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">2/3 der Energie habe ich also nach: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? x_0 * exp(-\frac{\eta t}{2})=\frac{2}{3}x_0"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Mit dieser Gleichung würdest Du berechnen, wann die Amplitude auf 2/3 ihres Ausgangswertes abgenommen hat, nicht die Energie. Die Energie des Oszillators ist proportional zur Amplitude im Quadrat, wie Du ja selber schon geschrieben hast. Also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E=\frac{1}{2}DA^2"> <br /> <br />mit der zeitabhängigen Amplitude <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A(t)=x_0 \exp(-\eta t/2)"> <br /> <br />Die zu lösende Gleichung ist dann E(t)/E(0)=2/3. <br /> <br />Beim Bilden des Quadrats von A(t) fällt der Faktor 1/2 im Argument der Exponentialfunktion weg.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>StudentenFutter</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. März 2018 15:38<span class="gen"> </span> Titel: Energie eines harmonischen Oszillators mit Dämpfung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Moin, <br /> <br />hänge gerade an einer Aufgabe, von der ich eine offizielle Lösung habe, fest. <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Aufgabe:</span> <br />Für den gedämpften harmonischen Oszillator aus Aufgabe 20 wird angenommen, dass per Reibung Energie aus dem Oszillator an die Umwelt abgegeben wird. Berechnen Sie die Zeit, nach der der Oszillator ein Drittel seiner Energie verloren hat. Wie groß ist die dann im Oszillator gespeicherte Energie? <br /> <br />Der Oszillator aus Aufgabe 20 wird durch folgende Funktion beschrieben: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t)=x_0 * exp(-\frac{\eta t}{2})*cos(\omega t)"> <br /> <br />Die Energie in diesem System kann ich ja über <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E=\frac{D*x_o^2}{2}"> berechnen, da sich die Gesamtenergie in einem schwingenden System bei der maximalen Auslenkung berechnen lässt. Zwischendrin besteht die Schwingung ja aus kinetischer und potentieller Energie. (Ist das so richtig?) <br /> <br />Ich würde jetzt so Vorgehen: <br />Die Amplitude bei einer Schwingung wird ja durch das was vor dem Sinus oder Cosinus steht beschrieben. In diesem Fall also durch <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_0 * exp(-\frac{\eta t}{2})"> <br /> <br />2/3 der Energie habe ich also nach: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? x_0 * exp(-\frac{\eta t}{2})=\frac{2}{3}x_0"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\leftrightarrow exp(-\frac{\eta t}{2})=\frac{2}{3}"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\leftrightarrow -\frac{\eta t}{2}=ln(\frac{2}{3})"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\leftrightarrow t = -\frac{2*ln(\frac{2}{3})}{\eta}"> <br /> <br />Das wäre mein Weg. In der Lösung wurde x(t) allerdings in die Formel für die potentielle Energie gesetzt und das 1/2 aus der Exponentialfunktion hat sich weggekürzt. <br />Ich würde jetzt gerne den Ansatz für die Funktion sehen. Muss ich da schon die Formel für die potentielle Energie benutzen? Oder kann ich einfach sagen <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_0*exp(...)=\frac{2}{3}x_0">? <br /> <br />Ich habe die offizielle Lösung als Anhang mit hochgeladen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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