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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. März 2017 07:53<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">@physicc: deine Rechnung sieht nicht vernünftig aus. <br /> <br />Masse und Massenmittelpunkt sind definiert gemäß <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M = \int_V d^3r \, \rho(\vec{r}) = \rho \int_V d^3r = \rho\,V"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r}_S = \frac{1}{M} \int_V d^3r \, \vec{r}\,\rho(\vec{r}) = \frac{1}{V} \int_V d^3r\,\vec{r} "> <br /> <br />Da die Dichte konstant ist, habe ich sie explizit aus dem Integral herausgezogen. <br /> <br />Schauen wir uns exemplarisch die x-Komponente an. Du kannst sofort einsetzen, nämlich in kartesischen Koordinaten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?d^3r\,x = dx\,dy\,dz\,x"> <br /> <br />oder in Zylinderkoordinaten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dr\,r\,d\phi\,dz\,x= dr\,r\,d\phi\,dz\,r\cos\phi = dr\,r^2\,d\phi\,dz\,\cos\phi "> <br /> <br />Woher sollen denn deine höheren Potnzen wird x^2 oder r^4 kommen?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>franz</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. März 2017 21:49<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Für den Schwerpunkt des homogenen senkrechten Kreiszylinders braucht man keine Berechnung, der ist (aus Symmetriegründen) schlicht in der Mitte.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>physicc</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. März 2017 10:10<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">beim Zylinder lautete die Aufgabe: <br />Berechnen Sie den Schwerpunkt eines Zylinders (konstante Dichte rho, Radius R und Höhe H), der auf der x-y-Ebene steht und dessen Drehachse die z-Achse ist. Hinweis:Verwende Sie kartesische oder Zylinderkoordinaten. <br /> <br />Auf die Lösung bin ich dann gekommen indem ich <br /> <br /> <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M=\int_0^{2\pi} \int_0^R \int_0^H \! x^2 r \, \dd z \dd r \dd \varphi"> <br /> <br />mit x=r*cos(phi) <br /> <br />berechnet habe <br />und dann <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />s_x= \frac{1}{M} \int_0^{2\pi} \int_0^R \int_0^H \! r^4 \cos^3(\varphi ) \, \dd z \dd r \dd \varphi <br />"> <br /> <br /> <br />aus der Formel, welche du genannt hast, mit eben <br /> <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />M =\int_V \! \varrho (x) \, \dd^3 r <br />"> <br />aber woher kommt es, dass ich für rho=x^2 verwenden muss?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. März 2017 09:30<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich verstehe nicht, was du mit "Dichte" meinst. <br /> <br />Für einen Körper der Masse M mit homogener Dichte rho und Volumen V haben wir <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M = \rho V"> <br /> <br />Im Falle inhomogener Dichte gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M = \int_V d^3r \, \rho(x) "> <br /> <br />Das Volumenintegral ist dabei über das Volumen V des Körpers zu nehmen. <br /> <br />Ich verstehe nun nicht, was diese Dichte mit einem Prisma oder einem Zylinder zu tun haben soll; sie kann doch unabhängig von der geometrischen Form vorgegeben werden. <br /> <br /> <br />Oder meinst du das Volumenelement im Integral? <br /> <br />In kartesischen Koordinaten lautet dies <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?d^3r = dx\,dy\,dz"> <br /> <br />in Kugelkoordinaten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?d^3r = dr\,r^2\,d\phi\,d\theta\,\sin\theta"> <br /> <br />Das Volumenelement ermittelst du mittels der Jacobi-Determinante: du gehst aus von Koordinaten mit bekannten Volumenelemenet (z.B. kartesische Koordinaten); du stellst die neuen Koordinaten als Funktionen der alten Koordinaten dar; du berechnest die Jacobi-Determinante dieser Koordinatentransformation; du berechnest damit das Volumenelement, dargestellt in den neuen Koordinaten. <br /> <br /><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionaldeterminante" target="_blank">https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionaldeterminante</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>physicc</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. März 2017 08:16<span class="gen"> </span> Titel: Dichtefunktionen von Körpern</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Um den Schwerpunkt mittels Integral zu bestimmen wird immer die Dichtefunktion benötigt. Wie kommt man auf die?<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Beim Zylinder mit z als Drehachse benutzten wir als Dichte x^2.<br />und beim dreieckigem Prisma x*y.<br />Gibt es dazu ein bestimmtes vorgehen?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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