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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Nils Hoppenstedt</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Mai 2023 13:29<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Alternativ kann man das Integral auch mit der Produktregel lösen: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?I = \int_0^\infty \! x^3 e^{-\alpha x^2} \, \dd x = \frac{1}{2\alpha} \int_0^\infty \! x^2 \cdot 2\alpha xe^{-\alpha x^2} \, \dd x"> <br /> <br />Nun setzt man <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u = x^2"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v' = 2\alpha xe^{-\alpha x^2}"> <br /> <br />Ergo: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?I &=& \frac{1}{2\alpha} \left[x^2(-e^{-\alpha x^2})\right]_{0}^{\infty} + \frac{1}{2\alpha} \int_0^\infty \! 2x e^{-\alpha x^2} \, \dd x \\ &=& 0 +\frac{1}{\alpha} \left[-\frac{1}{2\alpha}e^{-\alpha x^2} \right]_{0}^{\infty} \\ &=&\frac{1}{2\alpha^2} "> <br /> <br />Viele Grüße, <br />Nils</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Mai 2023 12:59<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Du meinst wahrscheinlich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_0^\infty dv \, v^n \, e^{-av^2}"> <br /> <br />Zunächst substituiert man <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U = v^2 \;\to\; dU = 2v\,dv = 2 \sqrt{U}\,dv"> <br /> <br />Das führt auf Integrale der Form <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_0^\infty dU \, U^k \, e^{-aU}"> <br /> <br />Derartige Integrale berechnet man gerne mittels des Tricks <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_0^\infty dU \, U^k \, e^{-aU} = (-\partial_a)^k \int_0^\infty dU \, e^{-aU} "> <br /> <br />wobei letzteres elementar lösbar ist. <br /> <br />Nun ist eventuell n sowie im hier vorliegenden Fall mit n=3 das k nicht ganzzahlig, d.h. man muss sich noch überlegen, inwiefern das Ergebnis auch für nicht ganzzahlige n bzw. k anwendbar ist. <br /> <br />Dabei verwendet man im Ergebnis die Gamma-Funktion (die die eindeutige Verallgemeinerung der Fakultät für nicht ganzzahlige Werte darstellt) <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Gamma(z+1) = z \, \Gamma(z) \qquad z \in \mathbb{C} \setminus -1 "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Gamma(n) = (n-1)! \qquad n \in \mathbb{N}^+ "> <br /> <br />Diese kann wiederum mittels des Integrals <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Gamma(z) = \int_0^\infty dt \, t^{z-1} \, e^{-t}; \qquad \text{Re} z > 0"> <br /> <br />definiert werden. Man könnte also das obige dU-Integral durch eine weitere Substitution direkt auf diese Form bringen: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_0^\infty dU \, U^k \, e^{-aU} = \int_0^\infty \left(a^{-1} dt\right) \, \left(a^{-1} t\right)^k \, e^{-t} = a^{-k-1} \, \Gamma(k+1)"> <br /> <br />(das ist nur eine kurze Skizze; bitte nochmal auf Details prüfen)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Fry2000</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Mai 2023 12:24<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo; wie würde man so ein Integral denn lösen. Habe es mit der Produktregel für Integrale nicht geschafft. Un ich finde auch nichts passendes in der Intergraltafel. <br /> <br />Über hilfe oder Hinweise würde ich mich freuen <br />Gruß fry</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Kracker</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Nov 2016 16:57<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Myon hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das Integral <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_0^\infty\,v^{3}\cdot \exp\left(-\frac{mv^{2}}{2k_B T}\right)\dd v "> <br /> <br />ist nicht gleich 1, sondern <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_0^\infty\,v^{3}\cdot \exp\left(-\frac{mv^{2}}{2k_B T}\right)\dd v =2\left(\frac{k_B T }{m}\right)^2"> <br /> <br />Zusammen mit dem Vorfaktor ergibt sich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\bar{v}=\sqrt{\frac{8k_BT}{\pi m}}">.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />ahh ok ich hab beim Integral einen fehler gemacht. Habs jetzt richtig rausbekommen. <br /> <br />danke!!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Nov 2016 23:34<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Das Integral <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_0^\infty\,v^{3}\cdot \exp\left(-\frac{mv^{2}}{2k_B T}\right)\dd v "> <br /> <br />ist nicht gleich 1, sondern <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_0^\infty\,v^{3}\cdot \exp\left(-\frac{mv^{2}}{2k_B T}\right)\dd v =2\left(\frac{k_B T }{m}\right)^2"> <br /> <br />Zusammen mit dem Vorfaktor ergibt sich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\bar{v}=\sqrt{\frac{8k_BT}{\pi m}}">.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Kracker</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Nov 2016 12:41<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Naja erstens wie komme ich von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \sqrt{2/\pi }*(m/kB*T)^{3/2} "> auf <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \sqrt{3RT/M} "> ? <br />und wie komme ich dann von dem auf: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />\sqrt{8kBT/\pi m} <br />"> <br />? <br /> <br />Alleine durch umformen komme ich da nicht drauf, und das ist doch die richtige Ausgangsformel oder? Wie die Boltzmannkonstante definiert ist weiß ich eh, aber alleine dieses hoch 3/2 passt nicht rein hier. Oder ist hier in der Annahme schon ein Fehler?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>franz</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Nov 2016 21:48<span class="gen"> </span> Titel: Re: Mittlere thermische Geschwindigkeit</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die hast oben nach der mittleren thermodynamischen = energetischen Geschwindigkeit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sqrt{\overline{v^2}}"> eines Idealen Gases gefragt. Wenn es noch darum geht: Die kann man anhand der Maxwell-Boltzmann-Verteilung p(v) berechnen und mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k_B=R/N_A "> gelangt man zu <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sqrt{3RT/M}">. <br /> <br />Wo ist Dein Problem?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Kracker</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Nov 2016 10:52<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>franz hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Vielleicht guckst mal <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Maxwell-Boltzmann-Verteilung" target="_blank" class="postlink">hier</a>. Es gibt drei verschiedene Mittelwerte, Deine ist die mittlere.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />du meinst die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit? Das mache ich doch nicht oder? <br /> <br />Über das integral bekommt man doch auf die mittlere (thermische) Geschwindigkeit? Ist der Koeffizient anders? Die Wikipedia Seite verwirrt mich etwas. Wichtig ist ja nur was in p(v) vor dem v^2 e^() steht. Was muss da für die mittlere thermische Geschwindigkeit stehen?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>franz</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Nov 2016 18:50<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Vielleicht guckst mal <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Maxwell-Boltzmann-Verteilung" target="_blank" class="postlink">hier</a>. Es gibt drei verschiedene Mittelwerte, Deine ist die mittlere.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Kracker</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Nov 2016 22:37<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Also über: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />v = \sqrt{\frac{2}{\pi}}*(\frac{m}{kb*T})^{3/2} \int_0^\infty \! v^{3}*e^{-\frac{m*v^{2}}{2*kb*t}} \, \dd v <br />"> <br /> <br />verschwindet das Integral (also wird 1 bzw. -1 wenn ich mich nicht verrechnet habe) und übrig bleibt eben: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />v = \sqrt{\frac{2}{\pi}}*(\frac{m}{kb*T})^{3/2} <br />"> <br /> <br />aber wie komme ich da auf: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />v = \sqrt{\frac{8*kb*T}{{\pi*m}}} <br />"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>franz</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Nov 2016 20:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Willkommen im Forum <span style="font-weight: bold">Kracker</span>! <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\text{Mit der Einzelmasse }m=\frac {M}{N_A} \text{und } k_B=\frac{R}{N_A}\text{ kommt der Ausdruck }\overline v:=\sqrt{\overline {v^2}}=\cdots "> <br />in die übliche Form v(T). <br />Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit kann ich nicht nachvollziehen; bei mir <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ \frac{\overline v}{\widehat v}=\sqrt{\frac 3 2}{.}"> <br /> <br />PS Die mittlere thermische Geschwindigkeit wird auch als mittlere energetische Geschwindigkeit bezeichnet.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Nov 2016 19:15<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Das eine ist die mittlere quadratische Geschwindigkeit (bzw. die Wurzel davon), das andere (mit 8 durch Pi) der mittlere Geschwindigkeitsbetrag, der sich aus <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\bar{v}=\int_0^{\infty}v\cdot f(v)\,\mathrm{d}v"> <br /> <br />ergibt (wobei f(v) die Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung ist).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Kracker</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Nov 2016 18:49<span class="gen"> </span> Titel: Mittlere thermische Geschwindigkeit</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span> <br />Hallo, <br /> <br />wir mussten die mittlere Thermische Geschwindigkeit von einem Gas herleiten. <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span> <br />Dazu habe ich angenommen: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />Ekin = \frac{1}{2}*m*v^{2} = \frac{f}{2}*kb*T <br />"> <br />wobei f die Freiheitsgrade sind, kb Boltzmannfaktor und T die Temperatur. <br /> <br />Ich nehme an f=3 (oder 6 wegen der Impulse?) <br /> <br />wenn ich das nun auf v umstelle bekomme ich: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />v=\sqrt{\frac{f*kb*T}{m}} <br />"> <br />das ist aber nun die wahrscheinlichste Geschwindigkeit? In der Übung wurde mit der Formel: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />v=\sqrt{\frac{8*kb*T}{\pi *m}} <br />"> <br />gerechnet. Jetz frage ich mich woher dieses 8/pi kommt. <br /> <br />Danke schon mal für Antworten <img src="images/smiles/biglaugh.gif" alt="Big Laugh" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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