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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>index_razor</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. März 2016 21:38<span class="gen"> </span> Titel: Re: Eigenwerte/matrix</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>ayberk hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span> <br />es ist folgende Matrix gegeben <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A= \begin{pmatrix} ln(2) & 0 \\ 0 & ln(2) \end{pmatrix} "> <br /> <br />ich soll die diagonalform der Matrix bestimmen und dann die Elemente von cosh(D) ( mit D ist die diagonalform der Matrix gemeint) angeben <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />A ist bereits eine Diagonalmatrix. Also ist die Aufgabe entweder trivial oder du hast dich vertippt. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />dann soll ich die matrixelemente von cosh(A) berechnen <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span> <br />ich habe erst die diagonalform mit den Eigenwerten gebildet <br />doch cosh(x) ist ja gleich 0.5*(e^x + e^-x) <br />ich habe gehört dass ich bei einer diagonalisierten Matrix die fkt auf die einzelnen Elemente anwenden darf <br />sind damit auch die 0 en gemeint oder nur die Elemente AUF der diagonalen <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Nein, es sind nur die Eigenwerte gemeint. Die Funktion muß nicht mal auf 0 definiert sein. So kann man z.B. auch ln(A) definieren, sofern A selbst nur Eigenwerte ungleich null hat. Man kann f(A) dann sogar für beliebige Funktionen definieren, die auf den Eigenwerten von A vernünftige Werte annehmen. (Im Unendlichdimensionalen wird es etwas interessanter.) <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />zu cosh(A) fällt mir nur ein dass ich das in die potenzreihe von e^x schreiben kann aber da kommt irgendwie nichts gescheites bei raus <br />also wie gehe ich das am besten an ?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Wozu willst du irgendeine Potenzreihe hinschreiben? Du wendest einfach <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\cosh"> auf jeden Eigenwert an. Das definiert dann zunächst die Matrix <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\cosh(D)">, wobei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?D=SAS^{-1}"> die Diagonalform von A ist. Wir wollen aber <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\cosh(A)">. Die Frage ist also: Was hat <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\cosh(A)"> mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\cosh(D)"> zu tun? Am besten dasselbe wie <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A"> mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?D">. Die Idee ist nun also einfach zu sagen, daß die Matrix <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\cosh(A)"> durch dieselbe Matrix <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?S"> diagonalisiert wird, wie die Matrix <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A">, m.a.W. zum Eigenwert <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\cosh(a_i)"> der Matrix <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?cosh(A)"> gehört <span style="font-style: italic">derselbe Eigenraum</span>, wie zum Eigenwert <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_i"> der Matrix <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A">. Genau das wird durch die Definition <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\cosh(A)\stackrel{\rm{def}}{=}S^{-1}\cosh(D)S"> <br /> <br />ausgedrückt. Du mußt also nach der Berechnung von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\cosh(D)"> lediglich in die Ausgangsbasis, bzgl. deren die Matrix A definiert ist, zurücktransformieren und erhältst die gesuchte Matrix <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\cosh(A)">. <br />(Wenn A bereits diagonal ist, mußt du also gar nichts mehr machen. Nur <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\cosh(a_i)"> für jeden Eigenwert von A ausrechnen und daraus eine Diagonalmatrix bilden.)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. März 2016 21:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich hab' deine Matrix mal in Latex-Tags eingeschlossen. Sie ist ja bereits diagonal. <br /> <br />Ein einfaches Argument zur Berechnung der Funktion f(A) einer Matrix A folgt aus der Potenreihenentwicklung von f <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f(A) = \sum_{n=0}^\infty f_nA^n"> <br /> <br />Wenn A diagonal ist, also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(A)_{ik} = a_i \delta_{ik}"> <br /> <br />dann ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(A^n)_{ik} = a^n_i \delta_{ik}"> <br /> <br />und damit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f(A) = \sum_{n=0}^\infty f_n a^n_{ik}"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>ayberk</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. März 2016 20:01<span class="gen"> </span> Titel: Eigenwerte/matrix</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span> <br />es ist folgende Matrix gegeben <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A = \begin{pmatrix} ln(2) & 0 \\ 0 & ln(2) \end{pmatrix} "> <br /> <br />ich soll die diagonalform der Matrix bestimmen und dann die Elemente von cosh(D) ( mit D ist die diagonalform der Matrix gemeint) angeben <br /> <br />dann soll ich die matrixelemente von cosh(A) berechnen <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span> <br />ich habe erst die diagonalform mit den Eigenwerten gebildet <br />doch cosh(x) ist ja gleich 0.5*(e^x + e^-x) <br />ich habe gehört dass ich bei einer diagonalisierten Matrix die fkt auf die einzelnen Elemente anwenden darf <br />sind damit auch die 0 en gemeint oder nur die Elemente AUF der diagonalen <br /> <br />zu cosh(A) fällt mir nur ein dass ich das in die potenzreihe von e^x schreiben kann aber da kommt irgendwie nichts gescheites bei raus <br />also wie gehe ich das am besten an ?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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