Startseite
Forum
Fragen
Suchen
Formeleditor
Über Uns
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
Foren-Übersicht
->
Mechanik
Antwort schreiben
Benutzername
(du bist
nicht
eingeloggt!)
Titel
Nachrichtentext
Smilies
Weitere Smilies ansehen
Schriftfarbe:
Standard
Dunkelrot
Rot
Orange
Braun
Gelb
Grün
Oliv
Cyan
Blau
Dunkelblau
Indigo
Violett
Weiß
Schwarz
Schriftgröße:
Schriftgröße
Winzig
Klein
Normal
Groß
Riesig
Tags schließen
Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts:
Latex-Kurzbeschreibung
|
Formeleditor
Optionen
HTML ist
aus
BBCode
ist
an
Smilies sind
an
BBCode in diesem Beitrag deaktivieren
Smilies in diesem Beitrag deaktivieren
Spamschutz
Text aus Bild eingeben
Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu:
Forum auswählen
Themenbereiche
----------------
Mechanik
Elektrik
Quantenphysik
Astronomie
Wärmelehre
Optik
Sonstiges
FAQ
Sonstiges
----------------
Off-Topic
Ankündigungen
Thema-Überblick
<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>index_razor</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 01. Jan 2016 14:30<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Min Kowski hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Danke schonmal für deine Antwort. Vermutlich benutz ich den Begriff kovariant falsch. mit kovarianten Koordinaten meinte ich nur den Orts-Vierervektor, welcher sich ja unter Lorentztransformationen wie oben in der 1. Gleichung beschrieben verhält. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ok, ich hole mal etwas weiter aus, da es so aussieht als ob dir ein paar Grundbegriffe unklar sind. <br /> <br />Einen Ortsvektor gibt es nur in affinen Räumen. Deine Frage bewegt sich also vermutlich im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie. Ansonsten kann <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x^\mu"> auch einfach Ereigniskoordinaten bezeichnen. Die haben aber im allgemeinen keinen Vektorcharakter. <br /> <br />Die Bezeichnung "kovariante Koordinaten" ist m.W. unüblich, aber ich kann mich da auch irren. Treffender ist jedenfalls m.E. eine der Bezeichnungen "affine Koordinaten", oder auch "Lorentzsystem" oder "Inertialsystem", also die Raumzeitanaloga zu kartesischen Koordinaten in der euklidischen Geometrie. Ich denke nämlich, daß du genau das meinst. <br /> <br />Diese Koordinaten sind für einen Punkt <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?P"> bezüglich eines Ursprungs <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Q"> und einer <span style="font-style: italic">konstanten</span> Basis <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?d_\mu"> einfach durch die folgende Beziehung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?P = Q + x^\mu(P)d_\mu"> <span style="font-style: italic">und eine spezielle Forderung nach Linearität</span> definiert (die ich erst weiter unten präzisieren kann). <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \partial_\mu "> bezeichnet meines Wissens die kovariante Ableitung (?). <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Naja, so bezeichnet man normalerweise einfach die Basisvektoren bezüglich eines <span style="font-style: italic">beliebigen</span> Koordinatensystems <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x^\mu">. Jeder dieser Vektoren definiert <span style="font-style: italic">eine</span> mögliche kovariante Ableitung. Es ist also durchaus möglich, daß du diese Sprechweise verwendest. Im allgemeinen gibt es aber beliebig viele kovariante Ableitungen auf einer Mannigfaltigkeit. In diesem Fall handelt es sich um die durch <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\nabla_\mu (T^{\i_1\cdots}_{k_1\cdots}\partial_{i_1}\otimes\cdots\dd x^{k_1}\otimes\cdots) = \left(\frac{\partial}{\partial x^\mu}T^{\i_1\cdots}_{k_1\cdots}\right)\partial_{i_1}\otimes\cdots\dd x^{k_1}\otimes\cdots"> <br /> <br />definierte Ableitung. <br /> <br />Wenn man von <span style="font-style: italic">der</span> kovarianten Ableitung spricht, meint man aber meistens die torsionsfreie, metrikverträgliche kovariante Ableitung, die dann eindeutig und auch die einzige in der Relativitätstheorie relevante ist. Diese stimmt mit der obigen nur überein, wenn die Raumzeit flach ist und die Koordinaten ein Inertialsystem definieren. Deswegen meine Frage. Es sieht aber so aus als ob der Hintergrund deiner Frage absolut nichts mit dem Begriff "kovariante Ableitung" zu tun hat. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Es verwirrt mich, dass sich der Vierervektor mit der Lorentzboostmatrix wie folgt transformiert: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? x'^\mu = \Lambda^{\mu}_{\nu} x^\nu "> <br />Die kovarianten Ableitungen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \partial_\mu "> jedoch mit der inversen Lorentzboostmatrix (s.o.): <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \partial'_\mu = \Lambda^{\nu -1 } _{\mu} \partial_{\nu} "> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das ist genau der Unterschied zwischen dem was Physiker als "kovariante" bzw. "kontravariante" Größen bezeichnen. <br /> <br />Mathematisch steckt dahinter das Verhalten bestimmter Größen unter gewissen Transformationen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f:M\rightarrow N">. Am leichtesten verständlich finde ich diese Definition wenn man sie zunächst auf sogenannte <span style="font-weight: bold">aktive</span> Transformationen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f:M\rightarrow M"> der Raumzeit anwendet: Der "Ortsvektor" <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x^\mu"> -- genauer gesagt handelt es sich um Vektorkomponenten! -- ist eine Sammlung von Funktionen auf der Raumzeit: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x^\mu : M \rightarrow \mathbb{R}">. Solche transformieren gemäß der normalen Verkettung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x'^\mu(P) = x^\mu(f(P))"> von Funktionen, d.h. eine Funktion <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x^\mu"> auf dem Bildbereich von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f"> definiert mittels der Verknüpfung mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f"> eine Funktion auf dem Definitionsbereich von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f">. Man sagt deshalb auch, daß jede Funktion vom Bildbereich auf den Definitionsbereich von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f"> <span style="font-style: italic">"zurückgeholt"</span> wird. Man nennt diese Operation <span style="font-weight: bold">"pullback"</span> und schreibt das auch so: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x'^\mu = f^\star x^\mu">. Sie geht also in die entgegengesetzte Richtung wie die Abbildung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f"> selbst und kann deshalb als <span style="font-weight: bold">"kontravariant"</span> bezeichnet werden. <br /> <br />Bei Vektoren ist das Transformationsverhalten genau umgekehrt. Sie definieren Richtungsableitungen von reellen Funktionen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi">, d.h. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\partial_v \phi= \frac{\dd}{\dd t}\phi(P + tv)."> <br /> <br />Eine solche Richtungsableitung wird mit Hilfe von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f"> vom Definitionsbereich auf den Bildbereich von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f"> transportiert, nämlich gemäß der Gleichung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\partial_{v'}\phi = \partial_v f^\star\phi."> <br /> <br />Da der pullback von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi"> eine Funktion auf dem <span style="font-style: italic">Definitionsbereich</span> von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f"> ist, definiert die rechte Seite einen Vektor auf dem <span style="font-style: italic">Bildbereich</span> von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f">. Vektoren werden also in dieselbe Richtung transportiert, in die auch <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f"> abbildet und können deshalb als <span style="font-weight: bold">"kovariant"</span> bezeichnet werden. Die Operation heißt <span style="font-weight: bold">"push-forward"</span> und wird mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v' = f_\star v"> bezeichnet. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f_\star"> ist immer eine lineare Abbildung und heißt auch das <span style="font-weight: bold">"Differential"</span> von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f">. <br /> <br />Es bleibt die Frage nach der Abbildung, deren pull-back und push-forward die von dir betrachteten Transformationsgesetze ergeben. Hierbei handelt es sich um Koordinatenwechsel oder auch <span style="font-weight: bold">passive</span> Transformationen der Raumzeit zwischen zwei speziellen Koordinatensystemen, nämlich aus der Klasse der <span style="font-weight: bold">affinen Koordinaten</span>. Affine Koordinaten <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k"> ordnen Ereignissen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?P"> jeweils ein Element <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k(P) = x^\mu(P)e_\mu"> aus <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathbb{R}^n"> zu. Dabei berücksichtigen sie, daß jedes Ereignis <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?P"> von einem Ursprung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Q"> aus durch einen eindeutigen Ortsvektor <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r"> bestimmt ist <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?P=Q+r">. Mit festgehaltenem <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Q"> hat also die Raumzeit eine <span style="font-weight: bold">lineare Struktur</span>, die durch die affine Koordinaten respektiert wird, d.h. genauer <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />k(P) = k(Q + r) = k(Q) + k_\star r <br />"> <br /> <br />Dieser Vektorraum der Ortsvektoren mit Ursprung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Q"> heißt in diesem Zusammenhang auch <span style="font-weight: bold">Tangentialraum</span> am Ursprung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Q">. (Oder einfach nur Tangentialraum, weil in affinen Räumen die Tangentialräume an verschiedenen Punkten natürlicherweise miteinander identifiziert werden können.) <br /> <br />Der Urspung selbst wird typischerweise auf <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?0\in\mathbb{R}^n"> abbgebildet, also gilt <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k(P) = k_\star r">. Rechts steht hier der push-forward eines Tangentialvektors <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r"> auf den Koordinatenraum <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathbb{R}^n">. Dieser bildet auch die Basis für das Transformationsgesetz der Basisvektoren <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\partial_\mu">. <br /> <br />Zunächst schauen wir uns aber an, wie affine Koordinaten selbst transformiert werden. Wir betrachten eine (zumindest lokal) umkehrbare Transformation <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?w:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n">. Dann definiert diese bzgl. jedes affinen Koordinatensystems <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k"> der Raumzeit ein weiteres, "transformiertes" Koodinatensystem <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k^\star w">. Dies ist nicht notwendigerweise affin, aber wenn es affin sein <span style="font-style: italic">soll</span>, muß man eine bestimmte Bedingung an <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?w"> stellen. Diese Bedingung ergibt sich aus <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k'(Q + r) = k'(Q) + k'_\star r = w(k(Q + r)) = w(k(Q) + k_\star r) = w(k_\star r),"> <br /> <br />also muß für jeden Vektor <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v\in\mathbb{R}^n"> gelten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? w(v) = k'(Q) + (k'_\star \circ k^{-1}_\star)( v),"> <br /> <br />d.h. daß -- wenig überraschend -- <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?w"> selbst eine affine Abbildung ist mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? w_\star = k'_\star\circ k^{-1}_\star"> <br /> <br />Wenn <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Q"> sowohl Ursprung von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k"> als auch <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k'"> ist, so ist <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?w"> linear. In dem Transformationsgesetz wirkt der differentielle Koordinatenwechsel <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?w_\star = k'_\star\circ k^{-1}_\star"> auf die kanonische Basis im <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathbb{R}^n">. Dies ist eine <span style="font-style: italic">invertierbare lineare Abbildung</span> von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathbb{R}^n"> auf sich selbst und definiert folglich eine Matrix <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?w_\star e_\nu = \Lambda^\mu_\nu e_\mu">. Damit gilt also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />x'^\nu(P)e_\nu = k'(P) = x^\mu(P)\Lambda^\nu_\mu e_\nu <br />"> <br /> <br />Vergleich der Koeffizienten vor den kanonischen Basisvektoren liefert <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />x'^\nu(P) = x^\mu(P)\Lambda^\nu_\mu. <br />"> <br /> <br />Das ist genau das Transformationsgesetz, mit dem du gestartet bist. Du siehst, daß dieses Gesetz keine Selbstverständlichkeit ist, sondern eine Menge spezieller Annahmen als Grundlage besitzt. Läßt du z.B. die Forderung fallen, daß der Ursprung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Q"> derselbe ist, so kommt in dem Transformationsgesetz noch die Verschiebung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />x'^\nu(P) = x'^\nu(Q) + x^\mu(P)\Lambda^\nu_\mu <br />"> <br /> <br />um die Koordinaten <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x'^\nu(Q)"> des Ursprungs von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k"> bzgl <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k'"> vor. Läßt du die Affinität der Koordinaten ganz fallen, kann man keine speziellen Aussagen mehr ableiten, die über den pullback <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k' = k^\star w "> hinausgehen. Diese Gleichung ist aber allgemein genug, daß sie auch in der allgemeinen Relativitätstheorie gilt, in der die Raumzeit keine globale affine Struktur mehr besitzt. <br /> <br />Zum Schluß muß ich noch das Transformationsgesetz der Basisvektoren <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\partial_\mu"> erläutern. Diese sind durch ihre Wirkung als partielle Ableitungen auf Funktionen der Raumzeit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi: M \rightarrow \mathbb{R}"> bezüglich der Koordinaten <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k"> definiert, d.h. man drückt das Argument der Funktion <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi"> in den Koordinaten <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k"> aus und bildet dann die Richtungsableitung nach dem kanonischen Basisvektor <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?e_\mu"> so: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\partial_\mu\phi = \frac{\dd}{\dd t}(\phi \circ k^{-1})(te_\mu) = (\phi\circ k^{-1})_\star e_\mu">. <br /> <br />Wie wirkt sich ein Koordinatenwechsel <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?w"> auf diese Definition aus? Dieser kommt durch den push-forward der kanonischen Basis <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?w_\star e_\mu"> oder gleichbedeutend durch den pull-back der Funktion <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi \circ k^{-1}">, also <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?w^\star(\phi \circ k^{-1})"> ins Spiel. Denn es gilt ja <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k' = w\circ k,"> <br /> <br />also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k^{-1} = {k'}^{-1}\circ w."> <br /> <br />und damit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\partial_\mu\phi = \frac{\dd}{\dd t}(\phi\circ {k'}^{-1}\circ w)(te_\mu) = (\phi\circ {k'}^{-1})_\star (w_\star e_\mu)"> <br /> <br />Mit der oben definierten Matrix <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Lambda^\mu_\nu"> ergibt das (beachte, daß alle Differentiale, also Abbildungen mit tiefergestelltem <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\star">, linear sind) <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\partial_\mu\phi = (\phi\circ {k'}^{-1})_\star(\Lambda^\nu_\mu e_\nu) = \Lambda^\nu_\mu \partial'_\nu \phi."> <br /> <br />Oder wenn man von der beliebigen Funktion <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi"> abstrahiert: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\partial'_\mu = (\Lambda^{-1})_\mu^\nu\partial_\nu"> <br /> <br />Also ergibt sich in diesem Fall ein Transformationsgesetz mittels der <span style="font-style: italic">inversen</span> Matrix <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(\Lambda^{-1})^\mu_\nu."> <br /> <br />Sorry, das war jetzt vielleicht doch etwas viel auf einmal, aber frag bei Interesse oder Unklarheiten ruhig nochmal nach. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Also um die Frage nochmal auf den Punkt zu bringen: Ist die letzte Gleichung oder die vorletzte korrekt? Ich hoffe meine Frage ist etwas klarer geworden. Oder liegt meine Verwirrung darin begründet, dass ich ko- und kontravariante Vektoren/Ableitungen drucheinander bringe...</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ja, ich denke, daß ist genau der Fall. Ich hoffe es ist zumindest ein bißchen klar geworden welches Transformationsgesetz richtig ist und warum.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Min Kowski</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Dez 2015 23:45<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke schonmal für deine Antwort. Vermutlich benutz ich den Begriff kovariant falsch. mit kovarianten Koordinaten meinte ich nur den Orts-Vierervektor, welcher sich ja unter Lorentztransformationen wie oben in der 1. Gleichung beschrieben verhält. Und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \partial_\mu "> bezeichnet meines Wissens die kovariante Ableitung (?). <br /> <br /> <br />Die Frage bezog sich lediglich auf die Richtigkeit der Gleichungen (welche ich oben benutzt habe), wenn ich die kovarianten Ableitungen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \partial_\mu "> vom bewegten (gestichenem) System ins ruhende transformieren will (bzw. umgekehrt): <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac{\partial x'_\mu}{\partial x_\nu} = \Lambda_\nu^\mu "> <br />Und andersherum: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac{\partial x_\mu}{\partial x'_\nu} = \Lambda_\nu^{\mu~-1} "> <br /> <br /> <br />Es verwirrt mich, dass sich der Vierervektor mit der Lorentzboostmatrix wie folgt transformiert: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? x'^\mu = \Lambda^{\mu}_{\nu} x^\nu "> <br />Die kovarianten Ableitungen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \partial_\mu "> jedoch mit der inversen Lorentzboostmatrix (s.o.): <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \partial'_\mu = \Lambda^{\nu -1 } _{\mu} \partial_{\nu} "> <br /> <br />Ich hätte nämlich erwartet, dass sich die Ableitungen analog zum Vierervektor transformieren, d.h.: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \partial'_\mu = \Lambda^{\nu } _{\mu} \partial_{\nu} "> <br /> <br />Also um die Frage nochmal auf den Punkt zu bringen: Ist die letzte Gleichung oder die vorletzte korrekt? Ich hoffe meine Frage ist etwas klarer geworden. Oder liegt meine Verwirrung darin begründet, dass ich ko- und kontravariante Vektoren/Ableitungen drucheinander bringe...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>index_razor</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Dez 2015 21:53<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ja, das stimmt schon. Letztendlich ist das Transformationsverhalten der Basisvektoren unter Kartenwechsel einfach eine Anwendung der Kettenregel und gilt auch, wenn kein linearer Zusammenhang zwischen den Koordinaten besteht. <br /> <br />Aber was hat die Frage mit der kovarianten Ableitung zu tun? Sprichst du von einer flachen Raumzeit? Und was meinst du mit "kovarianten Koordinaten"?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Min Kowski</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Dez 2015 19:10<span class="gen"> </span> Titel: Transformatin Kovariante Ableitung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo. Ich habe eine Frage bzgl. der Transformation von kovarianten Ableitungen. Die Transformation von kovarianten Koordinaten ist: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? x'^\mu = \Lambda^{\mu}_{\nu} x^\nu "> <br />Ist es richtig, dass sich die Ableitung wie folgt (und zwar mit der inversen Lorentzboostmatrix) transformieren? <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \partial'_\mu = \frac{\partial}{\partial x'^{\mu}} = \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu} \frac{1}{\partial x^{\nu}} = \Lambda^{\nu -1 } _{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\nu}} = \Lambda^{\nu -1 } _{\mu} \partial_{\nu} "> <br /> <br />Danke schonmal!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
