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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Bernd1234</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Apr 2014 12:19<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Sieht gut aus. Hätte es genauso gerechnet!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>alex2007</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 01. Apr 2014 20:42<span class="gen"> </span> Titel: Thermische und kalorische Zustandsgleichung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="text-decoration: underline"><span style="font-weight: bold">Folgende Aufgabe:</span></span> <br /> <br />Die Freie Enthalpie eines Systems sei gegeben durch: <br /> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?G(T,p,N)=Nk_BT\left\{ -\frac{1}{6}\frac{T^2}{T_0^2}-\ln {\frac {V(p,T,N)}{V_0}}-\frac {Na}{V(p,T,N}+\frac{pV(p,T,N)}{Nk_BT}\right\} "> <br /> <br />a, V_0 und T_0 seien konstant. Berechnen Sie die thermische und kalorische Zustandsgleichung, sowie die Wärmekapazität C_V,N und geben Sie die Entropie S(U,V,N) an. <br /> <br />(Hinweis: Ziehen Sie die Verwendung der freien Energie in Betracht) <br /> <br /><span style="font-weight: bold"><span style="text-decoration: underline">Meine Lösung:</span></span> <br /> <br />Es gilt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?I\quad G=U-TS+pV\\ <br />II\quad dG=-SdT+Vdp+\mu dN\\ <br />III\quad F=U-TS\\ <br />IV\quad dF=-SdT-pdV +\mu dN"> <br /> <br />Aus II folgt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?{\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)}_{p,N}=-S=-\frac {1}{2}Nk_B\left(\frac{T}{T_0}\right)^2\\ <br />\\ <br />{\left(\frac{\partial G}{\partial p}\right)}_{T,N}=V=V(p,T,N)"> <br />Aus I und III folgt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(i)\quad F=G -pV"> <br />Wie man aus IV oder (i) leicht sehen kann, muss also gelten: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?{\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)}_{T,N}=-p"> <br /> <br />(i) eingesetzt liefert: <br /><span style="font-weight: bold">(thermische Zustandsgleichung)</span> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p=Nk_BT\frac {1}{V}=p(T,V,N)"> <br /> <br />Aus I folgt nun: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(ii)\quad U=G+TS-pV"> <br /> <br />mit den Werten gilt dann außerdem: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?TS=\frac {1}{2}Nk_BT\left(\frac{T}{T_0}\right)^2\\ <br />\\ <br />-pV=-Nk_BT\\ <br />\\ <br />G=Nk_BT\left\{ -\frac{1}{6}\frac{T^2}{T_0^2}-\ln {\frac {V}{V_0}}-\frac {Na}{V}+1\right\}"> <br /> <br />Die erhaltenen Werte Einsetzen liefert: <br /><span style="font-weight: bold">(kalorische Zustandsgleichung)</span> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U(T,V,N)=Nk_BT\left\{\frac{1}{3} \left(\frac{T}{T_0}\right)^2 -\ln{\frac{V}{V_0}}-\frac{Na}{V}\right\} "> <br /> <br />Die Entropie würde sich nun wie folgt errechnen: <br /> <br />U(T,V,N) nach T umstellen und dann in S von oben einsetzen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?S(U,V,N)=\frac{3}{2}Nk_BT\left\{\frac{U}{Nk_BT} +\ln{\frac{V}{V_0}}+\frac{Na}{V}\right\} "> <br /> <br />Die Wärmekapazität errechnet sich so: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?C_{V,N}={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_{V,N}=Nk_B\left(\frac{T}{T_0}\right)^2"> <br /> <br /> <br />Kann mir bitte jemand sagen, ob ich das so richtig gerechnet habe? Wäre sehr dankbar, wenn jemand drüberschauen könnte. <img src="images/smiles/up.gif" alt="Thumbs up!" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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