Startseite
Forum
Fragen
Suchen
Formeleditor
Über Uns
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
Foren-Übersicht
->
Mechanik
Antwort schreiben
Benutzername
(du bist
nicht
eingeloggt!)
Titel
Nachrichtentext
Smilies
Weitere Smilies ansehen
Schriftfarbe:
Standard
Dunkelrot
Rot
Orange
Braun
Gelb
Grün
Oliv
Cyan
Blau
Dunkelblau
Indigo
Violett
Weiß
Schwarz
Schriftgröße:
Schriftgröße
Winzig
Klein
Normal
Groß
Riesig
Tags schließen
Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts:
Latex-Kurzbeschreibung
|
Formeleditor
Optionen
HTML ist
aus
BBCode
ist
an
Smilies sind
an
BBCode in diesem Beitrag deaktivieren
Smilies in diesem Beitrag deaktivieren
Spamschutz
Text aus Bild eingeben
Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu:
Forum auswählen
Themenbereiche
----------------
Mechanik
Elektrik
Quantenphysik
Astronomie
Wärmelehre
Optik
Sonstiges
FAQ
Sonstiges
----------------
Off-Topic
Ankündigungen
Thema-Überblick
Autor
Nachricht
Kongzi
Verfasst am: 06. Sep 2017 09:58
Titel: ach so
Ich habe in einem Englischen Forum nachgelesen.
Es sind nicht die Hauptunterdeterminanten ( kte Zeile, kte Spalte),
sondern die Unterdeterminanten bei Entwicklung nach einer beliebigen Zeile, wie das auch in der Laplace Zerlegung passiert.
Kongzi
Verfasst am: 04. Sep 2017 15:10
Titel: Aber funktioniert das wirklich?
Stecke an derselben Stelle und wollte das dann mal an einem simplen Beispiel testen.
Habe also eine symmetrische Matrix mit positiven verschiedenen Eigenwerten
aufgestellt. Als "Massematrix" benutze ich die Einheitsmatrix.
Als Eigenwertproblem einfach
Diagonalisiert (Eigenwerte 1 und 6) ist der Fall klar. Wenn ich nun aber
einsetze und die Hauptunterdeterminanten 4 und 1 erhalte, kriege ich den Vektor
, der nicht proportional zum Eigenvektor
ist. Hätte mich auch gewundert, weil das in keiner LA-Vorlesung erwähnt wurde.
Meine Frage also.....was mache ich falsch?
Alessandro
Verfasst am: 04. Feb 2014 19:52
Titel:
Danke für die Antwort! Ich habe gestern durch Zufall herausgefunden, dass es für positiv definite symmetrische Matrizen den Begriff der "simultanen Diagonalisierbarkeit" gibt, was wohl ungefähr auf das zutrifft, was hier steht. Leider reichen meine Kenntnisse in Linearer Algebra hierfür nicht aus. Ich wäre ja bereit, etwas dazu zu lernen, wenn ich wüsste, wonach ich suchen muss. Wir hatten einen Algorithmus zur Bestimmung einer Basis des Kerns angegeben, der funktioniert über die normierte Stufennormalform der Koeffizientenmatrix. Ein Zusammenhang mit Unterdeterminanten erschließt sich mir nicht: Das Wort tauchte nur auf im Zusammenhang mit der adjunkten Matrix, dem Entwicklungssatz von Laplace und der Cramerschen Regel. Deswegen habe ich ja vermutet, man könne ausnutzen, dass die Determinante null ist, indem man nach einer Spalte entwickelt. Doch leider kann man eine Determinante nicht nach einer Diagonalen entwickeln.
jh8979
Verfasst am: 04. Feb 2014 19:34
Titel:
Das Wort "bekanntlich" sollte misstrauisch machen
Es bedeutet für Landau was anderes als für uns
Gemeint sind wohl die Unterdeterminanten, wenn man die k-te Zeile und Spalte streicht (oder äquivalent, die k-te Spalte mit dem k-ten Einheitsvektor ersetzt). Das dies richtig ist kann man sich leicht überlegen, wenn schon alles diagonalisiert ist (und dann sieht man auch wieso das nur geht wenn alle w_a verschieden sind).
PS: Durch Transformation in beliebige Basis kriegt man dann das gewünschte (allgemeine) Resultat. Vermutlich mit ein paar Subtilitäten wegen der Unterdeterminante. Irgendwo in der Linearen Algebra haben wir das sicher mal gelernt: Lösen von Gleichungssystemen, Basis des Kerns, Eigenwerte, Unterdeterminanten,...
Alessandro
Verfasst am: 03. Feb 2014 19:19
Titel: Gekoppelte Schwingungen und Unterdeterminanten
Hallo liebe Physikfreunde!
Ich bräuchte mal eure Hilfe beim Thema "gekoppelte Schwingungen". Es gibt da eine Stelle im Mechanik-Band des Lehrbuchs der Theoretischen Physik von Landau und Lifschitz, die ich nicht ganz verstehe. Es geht darum, die s Bewegungsgleichungen zu lösen:
(23,5)
Der Ansatz wird gesucht in der Form
. Daraus folgt das lineare Gleichungssystem
(23,7). Damit es nichttriviale Lösungen gibt, muss die Determinante muss null sein:
(23,8)
So weit ist alles klar. Wenig später steht jedoch:
Zitat:
Nachdem die Frequenzen
gefunden sind, setzt man sie in Gleichung (23,7) ein und kann die dazugehörigen Werte der Koeffizienten
bestimmen. Wenn die Wurzeln
der charakteristischen Gleichung alle verschieden sind, werden die Koeffizienten Ak bekanntlich den Unterdeterminanten (vom Grad s-1) der Determinante (23,8) proportional, wobei in letzterer omega durch die entsprechenden Werte
zu ersetzen ist; wir bezeichnen diese Unterdeterminanten mit
. Eine partikuläre Lösung des Differentialgleichungssystem (23,5) hat folglich die Form
,
worin
eine beliebige (komplexe) Konstante ist.
Das verstehe ich nicht. Welche Unterdeterminanten sind gemeint? Und warum sind die Koeffizienten den Unterdeterminanten der Determinante proportional? Ich habe ja erst gedacht, vielleicht ist der Schlüssel zum Verständnis, die Determinante nach der i-ten Zeile zu entwickeln und die so entstehenden Unterdeterminanten den Ak zuzuweisen. Aber damit ist dann die Gleichung (23,7) doch jeweils nur für ein i erfüllt. Außerdem muss es ja irgendwas damit zu tun haben, dass die Eigenfrequenzen verschieden sind. Aber was ist dann gemeint? Im Goldstein steht leider auch nicht viel dazu, so sinngemäß "wie das gelöst wird, ist bekannt".
Dass die Wurzeln verschieden sein müssen, klingt ja fast so, als hätte das irgendwas mit Diagonalisierbarkeit zu tun. Kann mir jemand einen Hinweis geben, von welchen mathematischen Zusammenhängen hier die Rede ist?