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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>pressure</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Dez 2013 12:24<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Am einfachsten geht es wohl, wenn du den Laplaceoperator auf <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V(r)=\dots"> anwendest und zeigst, das dieser Ausdruck die Possiongleichung erfüllt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Fontes</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Dez 2013 16:44<span class="gen"> </span> Titel: Potential kugelsymmetrische Ladungsverteilung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ausgehend von der Poisson-Gleichung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\nabla^2 V(r) = -\frac{\rho(r)}{\epsilon_0}"> soll gezeigt werden, dass für eine kugelsymmetrisch angeordnete, beschränkten Ladungsverteilung im Endlichen gilt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V(r) = \frac{1}{\epsilon_0} [\frac{1}{r} \int_0^r \! r'^2 \rho(r') \, \dd r' + \int_r^{\infty} \! r' \rho(r') \, \dd r' ]"> <br /> <br />Mein Ansatz: <br /> <br />Nun, der Laplaceoperator in Kugelkoordinaten ohne Raumwinkelabhängigkeit ist: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta_r = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial V(r)}{\partial r})"> <br /> <br />Damit habe ich also zu betrachten: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial V(r)}{\partial r}) = -\frac{\rho(r)}{\epsilon_0}"> <br /> <br />Bzw: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial V(r)}{\partial r}) = -\frac{\rho(r)}{\epsilon_0} r^2"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(r^2 \frac{\partial V(r)}{\partial r}) = -\int \! \frac{\rho(r)}{\epsilon_0} r^2 \, \dd r "> <br /> <br />Zudem würde ich das Integral auf der rechten Seite aufspalten in "innerhalb" + "außerhalb", vom Unendlichen als Referenzpunkt ausgehend: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(r^2 \frac{\partial V(r)}{\partial r}) = -\int_{\infty}^r \! \frac{\rho(r')}{\epsilon_0} r'^2 \, \dd r' - \int_r^0 \! \frac{\rho(r')}{\epsilon_0} r'^2 \, \dd r' = \frac{1}{\epsilon_0} [\int_r^{\infty} \! \rho(r') r'^2 \, \dd r' + \int_0^r \! \rho(r') r'^2 \, \dd r']"> <br /> <br />Frage 1: Liege ich bis hierhin überhaupt richtig? <br />Frage 2: Wenn ja, wie geht es weiter. Denn auf der linken Seite steht immernoch <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial V(r)}{\partial r}">. Das heißt, ich müsste ja irgendwie nochmal integrieren ...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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