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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TruEnemy</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Mai 2013 16:00<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Spar's Dir, ich habe alles gesagt, was von meiner Seite her zu sagen war. Danke.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Mai 2013 03:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TruEnemy hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Du ignorierst einfach den Sachverhalt, dass es jetzt um einen Aufgabenteil <br />geht, den ich nicht irgendwo nachschlagen kann (bzw. dazu nichts finde) <br />und bei dem ich offensichtlich Probleme habe. Und deine Hilfe beschränkt <br />sich in dem Punkt nur auf den Verweis, dass ich mir den Aufschrieb bis <br />zum Punkt der ermittelten Wirkung hätte sparen können.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />1. Ich hab gerade im Nolting (8.Auflage) nachgeschlagen. Es steht drin. Genau das Beispiel des harmonischen Oszillators ist dort <span style="font-style: italic">ausführlich</span> vorgerechnet, inklusive wie man die Anfangsbedingungen benutzt. <br />2. Den Aufgaben, nach denen Du fragst, zu urteilen bist Du nicht mehr im ersten Semester. Wenn Du also zwei Funktionen q(t) und p(t) mit Variablen a und b hast, dann solltest Du in der Lage sein aus q(0) und p(0) a und b zu bestimmen. <br />3. Nicht immer nur rechnen, sondern auch mal nachdenken: Wenn Du einen harmonischen Oszillator hast mit q(0)=0 und p(0)=0, was passiert dann wohl? Die Lösung solltest Du ohne zu Rechnen hinschreiben können. <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Davon mal ab- <br />gesehen, hast du vorher schon in keinster Weise geholfen. Es ist schon toll, <br />andere zu verhöhnen, sich selbst ins Fäustchen zu lachen und für den Größten <br /> zu halten, nur weil man 'nen Link gepostet hat. Ja, Neediness, aber von dir.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ich habe Dich ganz sicher nicht verhöhnt und lach mir nicht ins Fäustchen. Den Link hab ich gepostet, weil ich keine Lust hatte das alles hier selber aufzuschreiben, gerade <span style="font-style: italic">weil</span> es ein Standardbeispiel ist, das man <span style="font-style: italic">überall</span> finden kann. Und da versteh ich dann auch nicht dass Du das nicht selber finden kannst oder willst. Das zeugt imho von Faulheit und wenig Respekt den Leuten hier gegenüber, die Dir helfen sollen (und wollen). <br /> <br />Und 'Neediness' hast Du offensichtlich nicht verstanden: <br />Es beschreibt Deine Art eine Rechnung anscheinend nicht selbstständig durchführen zu wollen, sondern bei jedem kleinen Schritt nachzufragen, anstatt einfach mal zu rechnen und gucken was passiert (und was man u.U. korrigieren muss). <br /> <br />Glaub mir: Physik lernt man nicht dadurch, dass man es immer erklärt kriegt, sondern dadurch dass man es selber <span style="font-style: italic">macht</span>; Versucht einen Weg zu finden, sich verläuft, es falsch macht (wichtig!), neu anfängt, eine Ahnung kriegt wie es gehen könnte, sich überlegt wieso dieser Weg dann wohl richtig sein könnte, korrigiert, sich verbessert... usw... bis man am Ende hoffentlich auf das richtige Ergebnis kommt. Und bevor man andere fragt sollte man diesen Weg zumindest schon ein wenig alleine gegangen sein (und wenn man eine Antwort erhalten hat, versuchen wieder alleine weiterzukommen). Und dieses selber machen sieht man bei Dir so gut wie gar nicht. Es mag sein dass Du es tust, aber man merkt es nicht wirklich, daran was Du fragst, wie Du es fragst und -nicht unwesentlich- wie schnell nach einer Antwort Du wieder fragst... <br /> <br />Das ist nicht böse gemeint, sondern nur ein Tipp wie man Physik lernt (ob Du mir glaubst, dass ich wovon ich rede, oder nicht). Wenn Du meinen Ton verletzend fandest, tut es mit leid. Verletzend ist es ganz sicher nicht gemeint.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TruEnemy</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Mai 2013 10:10<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Du ignorierst einfach den Sachverhalt, dass es jetzt um einen Aufgabenteil <br />geht, den ich nicht irgendwo nachschlagen kann (bzw. dazu nichts finde) <br />und bei dem ich offensichtlich Probleme habe. Und deine Hilfe beschränkt <br />sich in dem Punkt nur auf den Verweis, dass ich mir den Aufschrieb bis <br />zum Punkt der ermittelten Wirkung hätte sparen können. Davon mal ab- <br />gesehen, hast du vorher schon in keinster Weise geholfen. Es ist schon toll, <br />andere zu verhöhnen, sich selbst ins Fäustchen zu lachen und für den Größten <br /> zu halten, nur weil man 'nen Link gepostet hat. Ja, Neediness, aber von dir.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Mai 2013 10:03<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TruEnemy hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Jetzt reicht's langsam.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Seh ich ähnlich...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TruEnemy</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Mai 2013 10:00<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Jetzt reicht's langsam. Ja, von mir aus hätte ich den Weg bis zu S <br />weglassen können. Aber wie oft muss ich noch betonen, dass ich <br />beim zweiten Aufgabenteil Probleme habe? Das ist doch wohl of- <br />fensichtlich! Und Nein, das ist nicht im Nolting angegeben. Also <br />bitte ich hier um Hilfe, weil ich nicht weiterkommen! Meine Güte!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Mai 2013 09:57<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TruEnemy hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich habe hier nichts abgeschrieben! All die Schritte, die ich hier aufgezeichnet habe, <br />habe ich selbst gerechnet und nur zur Kontrolle mit dem Nolting verglichen! </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Und jetzt schreibst Du es hier nochmal hin, damit <span style="font-style: italic">wir</span> es nochmal abgleichen? Ganz ehrlich, merkst Du es wirklich nicht... <br /> <br />Im Englischen gibt es ein schönes Wort für dieses Verhalten: Neediness.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TruEnemy</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Mai 2013 09:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich habe hier nichts abgeschrieben! All die Schritte, die ich hier aufgezeichnet habe, <br />habe ich selbst gerechnet und nur zur Kontrolle mit dem Nolting verglichen! Proble- <br />me bereitet mir aber OFFENSICHTLICH noch der zweite Teil der Aufgabe: "Hamilton <br />sche charakteristische Funktion bei gegebenen Anfangsbedingungen, daraus die je- <br />weils nicht spezifizierte Anfangskoordinate und mit alle dem q(t) berechnen". <br /> <br />Zudem weiß ich nicht, was an meinen FRAGEN, die ich gestellt habe, lächerlich sein soll. <br /> <br />Wie verfahre ich hier denn nun, ausgehend von meiner ermittelten Wirkung S? <br />Ich habe die Anfangsbedingungen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? Q = q(0) = 0 "> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? P = p(0) = 0 ">. <br />und bereits die Formeln für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? q(a, b, t), p(a, q) "> hergeleitet: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? q = \sqrt{\frac{2a}{m \omega_0^2}} \sin (\omega_0 (t + b)) "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? p = m \omega_0 \sqrt{\frac{2a}{m\omega_0^2} - q^2} "> <br /> <br />Es ist doch jetzt wahrscheinlich das Ziel, mit Hilfe der Anfangsbedingungen a <br />und b herauszufinden, oder?? Diese in q einzusetzen, bringt erst ein Mal nichts. <br />Daher nehme ich an, diese erst ein Mal in p einsetzen zu müssen?? <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? 0 = m \omega_0 \sqrt{\frac{2a}{m\omega_0^2} - 0^2} \Rightarrow 0 = \sqrt{2ma} "></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Mai 2013 09:38<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nicht jede Kritik ist 'anpampen'. <br /> <br />Aber ganz ehrlich, was möchtest du hören? <br />Dass der Nolting das richtig gerechnet hat? In <span style="font-style: italic">jedem</span> Buch oder Skript, das die Hamilton-Jacobi Theorie behandelt und in dem ich gerade nachgeschlagen hab, steht diese Rechnung (Nolting, Greiner, Goldstein, Kuypers,...). Der harmonische Oszillator ist <span style="font-style: italic">das</span> Standardbeispiel für die Hamilton-Jacobi-Theorie. Möchtest Du, dass ich nachprüfe, ob Du richtig abgeschrieben hast? Langsam wird das wirklich lächerlich...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TruEnemy</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Mai 2013 09:23<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Bitte, ein kurzes Statement wäre wirklich hilfreich :/</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TruEnemy</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Mai 2013 23:54<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich weiß nicht, ob das urheberrechtlich OK wäre, wenn ich die Passage aus <br />dem Nolting-eBook hier reinstellen würde. Also erläute ich nun Schritt für <br />Schritt das und auch mein Vorgehen bzgl. des 1-dimensionalen HO: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? H(q, p, t) = H(q, p) = \frac{1}{2m} p^2 + \frac{1}{2}m \omega_0^2 q^2 "> und mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? p = \frac{\partial S}{\partial q} "> folgt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? H(q, p) = \frac{1}{2m} \left( \frac{\partial S}{\partial q}\right)^2 + \frac{1}{2}m \omega_0^2 q^2 "> <br /> <br />HJG: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac{\partial S}{\partial t} + H(q, p) = 0 "> und eingesetzt mit dem Ausdruck von oben: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac{\partial S}{\partial t} + \frac{1}{2m} \left( \frac{\partial S}{\partial q}\right)^2 + \frac{1}{2}m \omega_0^2 q^2 = 0 "> <br /> <br />Separationsansatz für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? S(q, P, t) ">: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? S(q, P, t) = S_1(q, P) + S_2(P, t) ">: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac{\partial (S_1(q, P) + S_2(P, t))}{\partial t} + \frac{1}{2m} \left( \frac{\partial (S_1(q, P) + S_2(P, t))}{\partial q}\right)^2 + \frac{1}{2}m \omega_0^2 q^2 = \frac{\partial S_2(P, t)}{\partial t} + \frac{1}{2m} \left( \frac{\partial S_1(q, P)}{\partial q}\right)^2 + \frac{1}{2}m \omega_0^2 q^2 = 0 "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />\Leftrightarrow \frac{1}{2m} \left( \frac{\partial S_1(q, P)}{\partial q}\right)^2 + \frac{1}{2}m \omega_0^2 q^2 = - \frac{\partial S_2(P, t)}{\partial t} <br />"> <br /> <br />Die linke Seite hängt nur von q und die rechte nur von t ab, also sind beide konstant: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />\frac{1}{2m} \left( \frac{d S_1(q, P)}{d q}\right)^2 + \frac{1}{2}m \omega_0^2 q^2 = a <br />"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />\Rightarrow S_1(q, P) = m \omega_0 \int dq\;\sqrt{\frac{2a}{m\omega_0^2} - q^2} + S_{1,0} <br />"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />\frac{d S_2(P, t)}{dt} = -a <br />"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />\Rightarrow S_2(P, t) = -at + S_{2,0} <br />"> <br /> <br />Beide Integrationskonstanten sind unbedeutend und können wegbleiben. Zugleich erkannt <br />man, dass der neue Impuls <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? P = a "> der Konstanten entspricht. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />\Rightarrow S(q, P = a, t) = S_1(q, P = a) + S_2(P, t) = m \omega_0 \int dq\;\sqrt{\frac{2a}{m\omega_0^2} - q^2} -at <br />"> <br /> <br />Also soweit habe ich alles verstanden und ist relativ einfach. Ist damit der Aufgabenteil <br />"Berechnung der Wirkung S aus der HJG" erledigt? Ja, oder? <br /> <br /> <br /> <br />Wenn ich nun die Hamilton'sche charakteristische Funktion bei gegebenen Anfangsbeding- <br />ungen, daraus die jeweils nicht spezifizierte Anfangskoordinate und mit alle dem q(t) be- <br />rechnen soll, ist damit gemeint, dass ich das Integral in S_1 explizit ausführen soll? <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? Q = q(0) = 0 "> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? P = p(0) = 0 "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? Q = \frac{\partial S}{\partial a} = \frac{1}{\omega_0} \int dq\;\left( \frac{2a}{m\omega_0^2} - q^2 \right)^{-1/2} - t"> <br /> <br />Auch die neue Ortskoordinate Q muss konstant sein, also wählen wir Q =: b: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac{1}{\omega_0} \int dq\;\left( \frac{2a}{m\omega_0^2} - q^2 \right)^{-1/2} - t = b"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? = \frac{1}{\omega_0} \arcsin \left( q\omega_0 \sqrt{\frac{m}{2a}} \right) - t = b"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \Leftrightarrow q = \sqrt{\frac{2a}{m \omega_0^2}} \sin (\omega_0 (t + b)) "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? p = \frac{\partial S}{\partial q} = \frac{d S_1 (q, P)}{dq} = m \omega_0 \frac{d}{dq} \int dq\;\sqrt{\frac{2a}{m\omega_0^2} - q^2} = m \omega_0 \sqrt{\frac{2a}{m\omega_0^2} - q^2} "> <br /> <br />Nun kann man q in p einsetzen und erhält: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? p = m \omega_0 \sqrt{\frac{2a}{m\omega_0^2} - \frac{2a}{m \omega_0^2} \sin^2 (\omega_0 (t + b))} = m \omega_0 \sqrt{\frac{2a}{m\omega_0^2}\left(1 - \sin^2 (\omega_0 (t + b)) \right)} = m \omega_0 \sqrt{\frac{2a}{m\omega_0^2}} \cos (\omega_0 (t + b)) = \sqrt{2ma} \cos (\omega_0 (t + b)) "> <br /> <br />Hier müssten nun die Anfangsbedingungen zum Spiel kommen, um die Konstanten a <br />und b berechnen zu können, oder? Diese dann einsetzen und man hat q(t) und p(t)?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TruEnemy</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Mai 2013 17:10<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich verstehe zwar nicht, wieso Du mich jetzt derart 'anpampst', aber OK. <br />Natürlich hatte ich, bevor ich den Thread gestartet hatte, Google bemüht <br />und u. a. auch den von Dir besagten Link gefunden und durchgelesen, <br />allerdings nicht verstanden. Zudem wollte ich es auch selbst rechnen. <br /> <br />Nichtsdestotrotz habe ich eine allgemeine Vorgehensweise und die De- <br />monstration selbiger am Beispiel des 1-dimensionalen harmonischen <br />Oszillators im Nolthing gefunden. Heute Abend werde ich es im Detail <br />durchgehen und die Lösung gegebenenfalls hier posten. Vielen Dank!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Mai 2013 09:38<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">S ist (offensichtlich) nur bis auf additive Konstanten bestimmt (und zwei machen in der Weise ja schonmal noch weniger Sinn). <br /> <br />Davon abgesehen muss ich nur einmal googlen um z.B. das hier zu finden: <br /><a href="http://www.uni-tuebingen.de/faessler/Mechanik/ThMetotal7.pdf" target="_blank">http://www.uni-tuebingen.de/faessler/Mechanik/ThMetotal7.pdf</a> <br />Ich versteh ja, dass man um Hilfe fragt, wenn man nicht weiter kommt. Ich versteh nicht, dass man nicht vorher mal selber nach einfach zu findender Hilfe sucht....</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TruEnemy</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Mai 2013 08:53<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?S_2(t) = -\int dt\;c = -ct + S_{2,0} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? S_1(q) = \int dq \;\sqrt{2mc - m^2\omega_0^2 q^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2mc - m^2\omega_0^2 q^2} \left( \frac{2c \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{m \omega_0^2 q^2}}{\sqrt{2c - m\omega_0^2 q^2}} \right)}{\omega_0 \sqrt{2mc - m^2\omega_0^2 q^2}} \right) + S_{1,0}"> <br /> <br />Das Zweite habe ich online berechnen lassen, da bin ich mir nicht sicher. Also ist die Lösung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />S(q,t) = S_1(q) + S_2(t) = \int dq \;\sqrt{2mc - m^2\omega_0^2 q^2} -\int dt\;c <br />"> <br /> <br />bzw. <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />S(q,t) = S_1(q) + S_2(t) = \frac{1}{2} \sqrt{2mc - m^2\omega_0^2 q^2} \left( \frac{2c \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{m \omega_0^2 q^2}}{\sqrt{2c - m\omega_0^2 q^2}} \right)}{\omega_0 \sqrt{2mc - m^2\omega_0^2 q^2}} \right) + S_{1,0} -ct + S_{2,0} <br />"> <br /> <br />mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? S_{1,0}, S_{2,0} \in \mathbb R ">, also zweier Konstanten, die man wohl aus Anfangsbedingungen bekommt?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TruEnemy</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Mai 2013 21:06<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Also, ich habe nun die zwei folgenden Gleichungen durch Integrieren zu lösen?! <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />\frac{1}{2m} \left( \frac{\partial S_1(q)}{\partial q} \right)^2 + \frac{1}{2} m\omega_0^2 q^2 = c = - \frac{\partial S_2(t)}{\partial t} <br />"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />\frac{1}{2m} \left( \frac{\partial S_1(q)}{\partial q} \right)^2 + \frac{1}{2} m\omega_0^2 q^2= c <br />\Leftrightarrow \boxed{\frac{\partial S_1(q)}{\partial q} = \sqrt{2mc - m^2\omega_0^2 q^2}} <br />"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />\text{und} \boxed{\frac{\partial S_2(t)}{\partial t} = -c} <br />"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TruEnemy</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Mai 2013 13:11<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Sorry, ich bin nicht mehr dazu gekommen. Ich mach's jetzt schnell: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />0 = \frac{\partial}{\partial t} S(q_j, t) + \frac{1}{2m} \left( \frac{\partial}{\partial q_j} S(q_j, t) \right)^2 + \frac{1}{2} m\omega_0^2 q_j^2 <br />"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />= \frac{\partial}{\partial t} \left(S_1(q_j) + S_2 (t) \right) + \frac{1}{2m} \left( \frac{\partial}{\partial q_j} \left(S_1(q_j) + S_2 (t) \right) \right)^2 + \frac{1}{2} m\omega_0^2 q_j^2 <br />"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />= \frac{\partial S_2 (t)}{\partial t} + \frac{1}{2m} \left( \frac{\partial S_1(q_j)}{\partial q_j} \right)^2 + \frac{1}{2} m\omega_0^2 q_j^2 <br />"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />\Leftrightarrow \frac{1}{2m} \left( \frac{\partial S_1(q_j)}{\partial q_j} \right)^2 + S_0(q_j) = - \frac{\partial S_2 (t)}{\partial t} <br />"> mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? S_0(q_j) = \frac{1}{2} m\omega_0^2 q_j^2 "> <br /> <br />Soweit formal korrekt? Und nun muss - da der linke Ausdruck nur <br />von q_j, und der rechte nur von t abhängt - beide Parameter kon- <br />stant sein. (EDIT) Nennen wir diese Konstante also einfach mal c.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TruEnemy</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Mai 2013 22:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Mensch, klar, das Quadrat einer partiellen Ableitung ist formal nicht weiter <br />zu vereinfachen. Also haben wir es nun endlich beisammen, denn es ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q_j, p_j = \frac{\partial S}{\partial q_j} \right) = \frac{\partial S}{\partial t} + \frac{1}{2m} \left( \frac{\partial S}{\partial q_j} \right)^2 + \frac{1}{2} m\omega_0^2 q_j^2 = 0 "> <br /> <br />Den Ansatz <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? S(q_j, t) = S_1(q) + S_2(t) "> kann ich nachvollziehen, vielen <br />Dank. Dann werde ich das mal ausführen, was Du mir hier erläutert hast, <br />und melde mich dann wieder! Vll kommt's mir dann mit der Konstantenbe- <br />stimmung ...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Mai 2013 22:04<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Es ist vermutlich nur ein Tippfehler, aber <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\left(\frac{\partial S}{\partial q_j}\right)^2 \neq \frac{\partial^2 S}{\partial q_j^2} "> <br />(Ich hab da am Anfang auch nicht so genau hingeschaut um ehrlich zu sein.) <br /> <br />Der Ansatz ist im wesentlichen einfach Trennung der Variablen. Nimm als Ansatz: S(q,t) = S1(q) + S2(t). Dann einsetzen und alles mit S1 auf eine Seite, alles mit S2 auf die andere. Eine Seite hängt dann nur von q ab, die andere nur von t, also muessen beide konstant sein. Das gibt Dir: S2(t)=-a*t.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TruEnemy</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Mai 2013 21:10<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Jetzt hat's Klick gemacht <img src="images/smiles/wink.gif" alt="Augenzwinkern" border="0" /> Wir betrachten ein zeitunabhängiges Problem <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q_j, p_j = \frac{\partial S}{\partial q_j} \right) = \frac{\partial S}{\partial t} + \frac{1}{2m} \frac{\partial^2 S}{\partial q_j^2} + \frac{1}{2} m\omega_0^2 q_j^2 = 0 "> <br />mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? H\left(q_j, p_j = \frac{\partial S}{\partial q_j} \right) = \frac{1}{2m} \left(\frac{\partial S}{\partial q_j}\right)^2+ \frac{1}{2} m\omega_0^2 q_j^2 ">, also eine zeit- <br />unabhängige Hamilton-Funktion. Könntest Du mir Deinen Ansatz erklären? <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />S(q_j, t) = S(q_j, t = 0) - \alpha t = S_0 (q_j) - \alpha t "> mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \alpha = "> konstant.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Mai 2013 20:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Wenn die Hamiltonfunktion keine explizite Zeitabhängigkeit enthält, ist S gegeben durch <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?S(q,t)=S_0(q) - \alpha t"> <br />Fuer eine zu bestimmende Konstante <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TruEnemy</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Mai 2013 20:30<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ja, du hast Recht, für einen 1-dimensionalen harmonischen Oszillator muss es <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q_j, p_j = \frac{\partial S}{\partial q_j} , t\right) = \frac{\partial S}{\partial t} + \frac{1}{2m} \frac{\partial^2 S}{\partial q_j^2} + \frac{1}{2} m\omega_0^2 q_j^2 = 0 "> <br /> <br />mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? H\left(q_j, p_j = \frac{\partial S}{\partial q_j} , t\right) = \frac{1}{2m} \left(\frac{\partial S}{\partial q_j}\right)^2+ \frac{1}{2} m\omega_0^2 q_j^2 "> heißen. <br /> <br />Ich habe mir nun sagen lassen, dass es sich hierbei nicht um ein zeitabhäng- <br />iges Problem und quantenmechanisches Teilchen handelt, da die Hamilton' <br />sche charakterisitische Funktion nur für klassische Systeme definiert ist. <br /> <br />Als Lösungsansatz wird wohl wieder - wie sooft - eine e-Funktion dienen?!?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Mai 2013 00:47<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Bis auf einen Tippfehler (die ^2 beim S) ja. Jetzt nur noch lösen mit einem geeigneten Ansatz zur Zeitabhängigkeit. Da dies so ziemlich das Standardbeispiel zur Berechnung der Prinzipalfunktion ist, sollte das nicht so schwer zu finden sein.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TruEnemy</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. Mai 2013 23:29<span class="gen"> </span> Titel: Wirkung des harmonischen Oszillators</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo! <br /> <br /><span style="text-decoration: underline"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span></span> <br /> <br />Es soll ein 1-dimensionaler harmonischer Oszillator betrachtet und die Wir- <br />kung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? S "> durch Lösen der Hamilton-Jacobi-Gleichung berechnet werden. <br /> <br /><span style="text-decoration: underline"><span style="font-weight: bold">Mein Ansatz:</span></span> <br /> <br />Leider geht aus der Aufgabe nicht hervor, ob es sich um ein zeitabhängiges <br />Problem und/oder ein quantenmechanisches Teilchen handelt. Ich nehme mal <br />einfach beides an. Nach meinem Skript lautet die Hamilton-Jacobi-Gleichung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac{\partial S}{\partial t} + H(\vec{q}, \vec{\nabla}_q S, t) = 0 "> <br /> <br />Zunächst einmal verwirrt mich die Zeitabhängigkeit der Hamilton-Funktion. <br />Letztere lautet ja für einen 1-dimensionalen harmonischen Oszillator <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? H = \frac{(\frac{\partial S}{\partial q})^2}{2m} + \frac{1}{2} m\omega_0^2 q^2 "> <br /> <br />Wo stecke ich hier die Zeitabhängigkeit rein? Ins Potential? Eingesetzt folgt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac{\partial S}{\partial t} + \frac{1}{2m} \frac{\partial^2 S^2}{\partial q^2} + \frac{1}{2} m\omega_0^2 q^2 = 0 "> <br /> <br />Ist das bisher formal korrekt und bin ich auf dem richtigen Weg? <br /> <br />Grüße!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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