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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 28. Nov 2011 20:20<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich weiß nun nicht genau, über welches Kurvenintegral du redest. <br /> <br />Zunächst noch eine Vorbemerkung: Wegunabhängigkeit und Verschwinden eines Integrals über geschlossene Kurven ist äquivalent. <br /> <br />----------------------- <br /> <br />Betrachten wir das komplexe Linienintegral <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?I[f,C] = \oint_C dz\,f"> <br /> <br />für eine geschlossene Kurve C innerhalb eines einfach zusammenhängenden Gebietes B der komplexen Zahlenebene und <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathbf{f} : \mathbb{C} \to \mathbb{C} "> <br /> <br />Es gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?I[f,C] = 0\;\forall C"> <br /> <br />wenn f holomorph in ganz B. <br /> <br />Für nicht-holomorphe Funktionen bzw. nicht-einfach zusammenhängende Gebiete muss dies nicht gelten, wie man z.B. für die punktierte Kreisscheibe und die Funktion f(z) = 1/|z| einfach zeigt. <br /> <br />Siehe dazu auch den Integralsatz von Cauy sowie den Residuensatz. <br /> <br />----------------------- <br /> <br />Betrachten wir das Linienintegral <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?I[f,C] = \oint_C \mathbf{ds}\,\mathbf{f}"> <br /> <br />für eine geschlossene Kurve C und <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathbf{f} : \mathbb{R}^N \to \mathbb{R} "> <br /> <br />Es gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?I[f,C] = 0\;\forall C"> <br /> <br />genau dann, wenn <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathbf{f} = \nabla \phi "> <br /> <br />d.h. wenn der Integrand f ein Gradientenfeld und damit rotationsfrei ist. (dabei lasse ich kompliziertere Situation mit nicht-einfach zusammenhängenden Gebieten weg). Das sieht man z.B. für das elektrische und das magnetische Feld sofort ein: im elektrischen Feld einer Punktladung kann man den Weg immer so legen, dass er an jeder Stelle des Weges die Feldlinien senkrecht schneidet, so dass <span style="font-weight: bold">ds f = 0</span>; im Magnetfeld eines geraden, stromdurchflossenen Leiter kann man den Weg so legen, dass er kreisförmig entlang einer Feldlinien (mit konstanter Feldstärke entlang des Weges) verläuft, so dass <span style="font-weight: bold">ds f = const</span>. <br /> <br />Siehe dazu auch den Integralsatz von von Stokes.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>gast83</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 28. Nov 2011 19:49<span class="gen"> </span> Titel: Geschlossenes Kurvenintegral</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Hi! <br /> <br />Ist ein geschlossenes Kurvenintegral mit zwei Endpunkten ra und rb jetzt vom weg abhängig oder nicht? Es ist doch egal welchen Weg man zu diesen Punkten nimmt, oder? Wie sieht das ganze mit ra=rb aus? <br /> <br />LG<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />.-</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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