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Chillosaurus
Verfasst am: 11. Nov 2010 16:33
Titel:
tofu hat Folgendes geschrieben:
[...] Die Bewegungsgleichungen erhält man dann durch das Anwenden der Euler-Lagrange-Gleichung
für die beiden generalisierten Koordinaten. Soweit richtig, ja? Das Ableiten ist auch kein Problem. Woran es hakt, ist das Bestimmen der
. Ich habe da eine Formel gefunden:
Aber so richtig schlau macht mich das auch nicht, da ich nicht weiß, wie ich das Moment
dort einsetzen soll. [...]
Soweit scheint das Richtig zu sein. Wenn ich das richtig kapiert habe, möchtest du mit Qi die Zwangskräfte in Richtung deiner jeweiligen Koordinaten erhalten. Ich denke, hier lautet das Zauberwort "Lagrangegleichung erster Art".
Die Gleichung, die du für die Kräfte stehen hast zerlegt ja nur die Summe aller Kräfte in die Richtung deiner generalisierten Koordinaten. Dies ist eine weitere Möglichkeit, wenn die Kräfte aus den Newtonschen Axiomen bekannt sind. Aber meistens nicht einfacher.
Also wie lautet die Lagrangegleichung erster Art, wie muss man die Zwangsbedingungen verarzten, um sie sinnvoll verwenden zu können? Was besagt der Lagrangeparameter?
tofu
Verfasst am: 10. Nov 2010 23:35
Titel:
Ok, hier ist was ich bisher habe:
Die generalisierten Koordinaten sind
. Der Schwerpunkt des Chassis hat die Koordinaten
und die Koordinaten der Radachse sind
Die jeweiligen Geschwindigkeiten sind
und
Die kinetische Energie des Chassis beträgt
und für das Rad gilt:
Die potentielle Energie hat nur einen Anteil vom Chassis
Die Lagrangefunktion lautet somit:
Die Bewegungsgleichungen erhält man dann durch das Anwenden der Euler-Lagrange-Gleichung
für die beiden generalisierten Koordinaten. Soweit richtig, ja? Das Ableiten ist auch kein Problem. Woran es hakt, ist das Bestimmen der
. Ich habe da eine Formel gefunden:
Aber so richtig schlau macht mich das auch nicht, da ich nicht weiß, wie ich das Moment
dort einsetzen soll.
Hoffe jetzt ist alles ein bisschen klarer und ihr könnt mir helfen. Danke im voraus!
Chillosaurus
Verfasst am: 10. Nov 2010 15:39
Titel: Re: Generalisierte Kräfte bei Segway Modellierung mit Lagran
tofu hat Folgendes geschrieben:
[...] Es geht um die Modellierung der Dynamik eines Segway in der Ebene (2 Freiheitsgrade). Als generalisierte Koordinaten habe ich die Koordinate
des Radmittelpunktes und den Neigungswinkel
des Chassis bezogen auf die Vertikale gewählt. Das Aufstellen der Energien, der Lagrangefunktion und der Ableitungen bereitet mir auch keine Probleme. Einzig das richtige Zuordnen der generalisierten Kräfte zu den einzelnen Koordinaten bereitet mir Schwierigkeiten.[...]
Stelle zunächst deine x,y-Koordinaten in generalisierten Koordinaten dar und stelle damit die Translationsenergie und die potentielle Energie auf. Anschließend stellst du noch die Rotationsenergie dar.
Deine Idee scheint mir plausibel. Du musst jedoch bedenken, dass es durch das Drehmoment zu einer Rotation kommt und du somit eine kinetische Translationsenergie und eine kineteische Rotationsenergie hast. (im Rad, wie im Griff)
Du könntest natürlich auch ohne Lagrange mit Momenten und Kraftgleichgewicht agieren.
Wenn du die x,y-Koordinaten in deinen generalisierten Koordinaten und die Lagrangefunktion in deinen Koordinaten reinstellst, dann lässt es sich besser nachvollziehen, wo es bei dir hakt und es wird nicht so leicht möglich, dass man aneinandervorbeiredet.
Dann stellst du aus der Lagrangefunktion die Bewegungsgleichungen auf, oder ist hier das Problem?
tofu
Verfasst am: 10. Nov 2010 14:25
Titel: Generalisierte Kräfte bei Segway Modellierung mit Lagrange
Hallo liebes Forum,
ich habe die Suchfunktion bemüht und einige Beiträge zur Modellierung mit Lagrange gefunden, allerdings konnte ich dort nicht wirklich die Antwort auf meine Frage finden.
Meine Frage:
Es geht um die Modellierung der Dynamik eines Segway in der Ebene (2 Freiheitsgrade). Als generalisierte Koordinaten habe ich die Koordinate
des Radmittelpunktes und den Neigungswinkel
des Chassis bezogen auf die Vertikale gewählt. Das Aufstellen der Energien, der Lagrangefunktion und der Ableitungen bereitet mir auch keine Probleme. Einzig das richtige Zuordnen der generalisierten Kräfte zu den einzelnen Koordinaten bereitet mir Schwierigkeiten. Ich bin zusätzlich verunsichert weil es in verschiedenen Publikationen unterschiedliche, einander widersprechende Ansätze gibt.
Mir ist noch relativ klar, dass das Motormoment
zwischen Rad und Chassis direkt an der Koordinate
wirkt und somit auch die generalisierte Kraft für diese Koordinate ist. Wie verhält es sich nun mit
? In manchen Fällen habe ich den Ansatz
gesehen (mit dem Radius
der Räder). In anderen Fällen wird
angesetzt. Welches ist den der richtige Weg und wie kann man sich das herleiten?
Meine Idee:
Wie gesagt bin ich relativ verunsichert und kann mir nach einigen Stunden Kopfzerbrechen überhaupt nicht mehr richtig vorstellen welche Wirkung das Drehmoment auf die Translation der Räder hat. Aus dem Bauch heraus finde ich den Ansatz mit
richtig, da das Drehmoment ja eine rotatorische Beschleunigung der Räder bewirkt (
) und über die Rollbedingung
in einer Translation resultiert.
Vielen Dank für eure Antworten und beste Grüße