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[quote="DrStupid"][quote="Physinetz"]habe ein paar Fragen zum freien Fall mit stokescher Reibung:[/quote] Freier Fall und Reibung schließen sich gegenseitig aus, aber ich weiß, was Du meinst. [quote="Physinetz"][latex]a=-g+\frac{b*v}{m} [/latex] Jetzt würde ich gerne wissen, aber welcher zurückgelegten Strecke James Bond die Endgeschwindigkeit erreicht habe.[/quote] Seine Geschwindigkeit wird gegen die Endgeschwindigkeit konvergieren, sie aber nie erreichen. [quote="Physinetz"]Kann ich dazu jetzt einfach die rechte Seite 2 mal integrieren nach t? Anschließend forme ich dann nach v um ?[/quote] Das könntest Du, wenn Du v(t) kennen würdest. Dummerweise willst Du das aber erst berechnen. Es handelt sich um eine Differentialgleichung: [latex]{\dot v} = g - {{b} \over m} \cdot v[/latex] (Ich habe die Vorzeichen korrigiert.) Die kann man lösen, indem man zunächst die homogene Differentialgleichung [latex]{\dot v} = - {{b} \over m} \cdot v[/latex] löst. Das geht am besten durch Trennung der Variablen: [latex]\int {{{dv} \over v}} = - \int {{b \over m}dt}[/latex] Die Integration führt zu [latex]v = C \cdot \exp \left( { - {b \over m} \cdot t} \right)[/latex] Die inhomogene Differentialgleichung löst man jetzt durch Variation der Integrations"konstante" C(t), indem man die Lösung der homogenen DGL in die inhomogene DGL einsetzt: [latex]\dot C \cdot \exp \left( { - {b \over m} \cdot t} \right) - {b \over m} \cdot C \cdot \exp \left( { - {b \over m} \cdot t} \right) = g - {b \over m} \cdot C \cdot \exp \left( { - {b \over m} \cdot t} \right)[/latex] Mit etwas Glück verschwindet das C aus dieser Gleichung. Das ist auch hier der Fall: [latex]\dot C = g \cdot \exp \left( {{b \over m} \cdot t} \right)[/latex] Das ist jetzt nur noch ein ganz gewöhnliches Integral, dessen Lösung [latex]C = {{m \cdot g} \over b} \cdot \exp \left( {{b \over m} \cdot t} \right) + c[/latex] muss jetzt wieder in die Lösung der homogenen Differentialgleichung eingesetzt werden: [latex]v = \left[ {{{m \cdot g} \over b} + c \cdot \exp \left( { - {b \over m} \cdot t} \right)} \right][/latex] Jetzt muss nur noch die Integrationskonstante c bestimmt werden. Das geht mit der Anfangsbedingung [latex]v\left( 0 \right) = v_0[/latex] Das liefert die Konstante c [latex]c = v_0 - {{m \cdot g} \over b}[/latex] und somit die endgültige Gleichung [latex]v = \left[ {{{m \cdot g} \over b} + \left( {v_0 - {{m \cdot g} \over b}} \right) \cdot \exp \left( { - {b \over m} \cdot t} \right)} \right][/latex] Und da Bond mit v(0)=0 startet, vereinfacht sich das zu [latex]v = {{m \cdot g} \over b} \cdot \left[ {1 - \exp \left( { - {b \over m} \cdot t} \right)} \right][/latex] Da Du am Weg interessiert bist, müsstest Du das noch einmal über die Zeit integrieren. [quote="Physinetz"]V(end) ist ja erreicht wenn gilt: m*g=b*v dann kann ich das v einfach dort einsetzen und voila, ich habe v(end) in Abhängigkeit vom Weg?[/quote] Ich erspare mir mal die Berechnung des Weges und setzte v(t) in die Gleichung ein: [latex]m \cdot g = b \cdot {{m \cdot g} \over b} \cdot \left[ {1 - \exp \left( { - {b \over m} \cdot t} \right)} \right][/latex] Die Umstellung nach t ergibt dann [latex]t = - {m \over b} \cdot \ln 0[/latex] und dafür gibt es erwartungsgemäß keine Lösung. [quote="Physinetz"]Wie ist das nun beim schiefen Wurf[/quote] etwas komplizierter[/quote]
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Physinetz
Verfasst am: 21. Nov 2009 18:28
Titel:
ok das haut mich glatt um
da trink ich erstmal einen^^ aber danke für deine mühe
DrStupid
Verfasst am: 21. Nov 2009 00:47
Titel: Re: James Bond fällt mit stokscher Reibung
Physinetz hat Folgendes geschrieben:
habe ein paar Fragen zum freien Fall mit stokescher Reibung:
Freier Fall und Reibung schließen sich gegenseitig aus, aber ich weiß, was Du meinst.
Physinetz hat Folgendes geschrieben:
Jetzt würde ich gerne wissen, aber welcher zurückgelegten Strecke James Bond die Endgeschwindigkeit erreicht habe.
Seine Geschwindigkeit wird gegen die Endgeschwindigkeit konvergieren, sie aber nie erreichen.
Physinetz hat Folgendes geschrieben:
Kann ich dazu jetzt einfach die rechte Seite 2 mal integrieren nach t? Anschließend forme ich dann nach v um ?
Das könntest Du, wenn Du v(t) kennen würdest. Dummerweise willst Du das aber erst berechnen. Es handelt sich um eine Differentialgleichung:
(Ich habe die Vorzeichen korrigiert.)
Die kann man lösen, indem man zunächst die homogene Differentialgleichung
löst. Das geht am besten durch Trennung der Variablen:
Die Integration führt zu
Die inhomogene Differentialgleichung löst man jetzt durch Variation der Integrations"konstante" C(t), indem man die Lösung der homogenen DGL in die inhomogene DGL einsetzt:
Mit etwas Glück verschwindet das C aus dieser Gleichung. Das ist auch hier der Fall:
Das ist jetzt nur noch ein ganz gewöhnliches Integral, dessen Lösung
muss jetzt wieder in die Lösung der homogenen Differentialgleichung eingesetzt werden:
Jetzt muss nur noch die Integrationskonstante c bestimmt werden. Das geht mit der Anfangsbedingung
Das liefert die Konstante c
und somit die endgültige Gleichung
Und da Bond mit v(0)=0 startet, vereinfacht sich das zu
Da Du am Weg interessiert bist, müsstest Du das noch einmal über die Zeit integrieren.
Physinetz hat Folgendes geschrieben:
V(end) ist ja erreicht wenn gilt: m*g=b*v
dann kann ich das v einfach dort einsetzen und voila, ich habe v(end) in Abhängigkeit vom Weg?
Ich erspare mir mal die Berechnung des Weges und setzte v(t) in die Gleichung ein:
Die Umstellung nach t ergibt dann
und dafür gibt es erwartungsgemäß keine Lösung.
Physinetz hat Folgendes geschrieben:
Wie ist das nun beim schiefen Wurf
etwas komplizierter
Physinetz
Verfasst am: 20. Nov 2009 22:53
Titel: James Bond fällt mit stokscher Reibung
Hallo,
habe ein paar Fragen zum freien Fall mit stokescher Reibung:
Angenommen ich lege den freien Fall von James Bond aus einem Flugzeug in ein x-y Koordinatensystem:
Angenommen es gilt n=1 und nach a umstellen:
dann gilt:
Jetzt würde ich gerne wissen, aber welcher zurückgelegten Strecke James Bond die Endgeschwindigkeit erreicht habe.
Kann ich dazu jetzt einfach die rechte Seite 2 mal integrieren nach t? Anschließend forme ich dann nach v um ? V(end) ist ja erreicht wenn gilt: m*g=b*v
dann kann ich das v einfach dort einsetzen und voila, ich habe v(end) in Abhängigkeit vom Weg?
b)
Wie ist das nun beim schiefen Wurf, wikipedia ist mir ein wenig zu kompliziert:
Beim schiefen Wurf habe ich ja eine BEschleuniging a(y) die der Anfangsgeschwindigkeit v(0) in y-Richtung entgegenwirkt. Diese ist die Erdbeschleunigung.
Auch hier stelle ich dann nach a um, und integriere 2 mal nach t um dann die GEschwindigkeit in y Richtung in Abhängigkeit von t zu erlangen.
Jetzt habe ich aber nur die y-Komponente mit der Reibung verknüpft?
Auf die x-Komponente wirkt aber keine Reibung oder?
Wieso wird das dann eigentlich mit Reibung nicht so weit fliegen wie ohne, weil wenn ich die Stokes Reibung in y-Richtung nehme, fällt es ja auch langsamer...steigt es etwa auch langsamer?
Wäre super wenn ihr mir a) und b) beantworten könntet und auf meinen Text eingehen würdet
Super, vielen Dank!