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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts:
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[quote="para"][quote="-Christian-"]Und wenn ich mir dann definiere: [latex](x-x_{0}) = \xi[/latex] Dann erhalte ich die DGL: [latex]0 = m \ddot{\xi} \cdot (a-3bx_{0}^2) \cdot \xi[/latex][/quote] Wie kommst du dann auf diese DGL? Ziel der Linearisierung ist es, die Kraft auf eine Form zu bringen die aussieht wie[list][latex]F(\xi) = - D \cdot \xi[/latex][/list]Man will die Kraft also um eine Gleichgewichtslage linearisieren. Hat die Kraft diese Form, bekommt man als Bewegungsgleichung:[list][latex]\ddot\xi + \omega^2 \cdot \xi = 0 \qquad \mathrm{mit} \qquad \omega^2 = \frac{D}{m}[/latex][/list] Warum ist das günstig? Weil die das die bekannte Schwingungsgleichung ist, deren Lösung man kennt, und aus der man direkt die Kreisfrequenz kleiner Schwigungen um die Gleichgewichtslage ablesen kann. Woran hängt es bei dir noch genau? Oder reicht das schon als Hinweis? Es ist ersichtlich, dass dies nur bei stabilen Gleichgewichtslagen funktionieren kann. Hast du schon bestimmt, welche Positionen überhaupt stabil sind?[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>-Christian-</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Dez 2008 23:31<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>para hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die Vorzeichen in deinem Kraftgesetz haben sich auf einmal geändert. <img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /> <br /> <br />Das hat natürlich Auswirkungen auf deine Gleichgewichtslagen und deren Stabilität. Aber die grundsätzlichen Überlegungen sehen gut aus.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Die Vorzeichenänderung war ein Konzentrationsfehler, also grober Unfug. Habe es oben mal korrigiert. <br /> <br />Es gibt also an der Stelle x = 0 ein labiles Gleichgewicht und an allen anderen stabile Gleichgewichtslagen. <br /> <br />Vielen Dank für die schnelle Hilfe! Habe da offensichtlich Probleme gesucht, die es gar nicht gab ... <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /> <br /> <br />Gruß <br />Christian</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>para</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Dez 2008 22:49<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die Vorzeichen in deinem Kraftgesetz haben sich auf einmal geändert. <img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /> <br /> <br />Das hat natürlich Auswirkungen auf deine Gleichgewichtslagen und deren Stabilität. Aber die grundsätzlichen Überlegungen sehen gut aus.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>-Christian-</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Dez 2008 22:14<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Um die Gleichgewichtslagen zu errechnen, brauche ich die DGL gar nicht, oder? <br /> <br />Die Kriterien sind ja ganz einfach: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F(x_{0}) = 0, F'(x_{0}) < 0"> <br /> <br />Für eine stabile Gleichgewichtslage (und F'(x_0) > 0 für eine labile) <br /> <br />Also ergibt sich: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F(x_{0}) = 0 = a \cdot x_{0} - b \cdot x_{0}^3"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?0 = x_{0}(a - b \cdot x_{0}^2)"> <br /> <br />Es sind meine Gleichgewichtslagen also: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_{0} = 0"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_{0} = \sqrt{\frac{a}{b}}"> <br /> <br />Für alle a > 0 ist x dann eine Gleichgewichtslage. Für a < 0 gibt es nur komplexe Lösungen, die physikalisch keine Relevanz haben. (b > 0, ist schon in der Aufgabenstellung vorrausgesetzt) <br /> <br />Wegen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F'(0) = a > 0"> <br /> <br />gibt es an der Stelle 0 eine labile Gleichgewichtslage und an allen anderen Stellen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_{0}"> wegen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F'(x_{0}) = -2a < 0"> <br /> <br />stabile Gleichgewichtslagen. <br /> <br />Einverstanden? <br /> <br />Da habe ich mich echt ziemlich dumm angestellt ... <img src="images/smiles/haudrauf.gif" alt="Haue / Kloppe / Schläge" border="0" /> <br /> <br />Gruß <br />Christian</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>para</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Dez 2008 21:52<span class="gen"> </span> Titel: Re: Bestimmen von Gleichgewichtslagen</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>-Christian- hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Mein Problem: Wie kann ich hieraus jetzt überhaupt erstmal die Gleichgewichtslagen bestimmen?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die Gleichgewichtslagen bestimmt man wohl am besten, indem man sich das Kraftfeld selbst ansieht. Was gilt denn in Gleichgewichtslagen? Was kennzeichnet dann stabile und labile Gleichgewichte? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>-Christian- hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Und wie kann ich aus der allgemeinen Gleichung die Frequenz für kleine Schwingungen ablesen? Einfach <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega">?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Okay, ablesen kann man sie natürlich nur, wenn man die Lösung kennt (und voraussetzen darf). Ansonsten weiß ich nicht, was genau von euch bei "Herleiten" verlangt wird. Aber wenn du deine allgemeine Lösung in die DGL einsetzt, siehst du ja, dass diese tatsächlich deine DGL löst, und zwar genau dann, wenn Omega so gewählt ist wie angedeutet.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>-Christian-</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Dez 2008 21:34<span class="gen"> </span> Titel: Re: Bestimmen von Gleichgewichtslagen</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>para hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Wie kommst du dann auf diese DGL? <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich meinte natürlich: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?0 = m \ddot{\xi} - (a-3bx_{0}^2) \cdot \xi"> <br /> <br />Das ist ja auch die Bedingung, die du schreibst und wir hatten das ja soweit auch in der Vorlesung. Hier gilt also: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?D = - (a-3bx_{0}^2)"> <br /> <br />Die Lösung der DGL muss hergeleitet werden. Die allgemeine Lösung ist ja: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\xi = C_{1} \cdot cos(\omega \cdot t) + C_{2} \cdot sin(\omega \cdot t) "> <br /> <br />Für die gegebene Beziehung also: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\xi = C_{1} \cdot cos(\sqrt{- \frac{(a-3bx_{0}^2)}{m}} \cdot t) + C_{2} \cdot sin(\sqrt{- \frac{(a-3bx_{0}^2)}{m}} \cdot t) "> <br /> <br />Mein Problem: Wie kann ich hieraus jetzt überhaupt erstmal die Gleichgewichtslagen bestimmen? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>para hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Weil die das die bekannte Schwingungsgleichung ist, deren Lösung man kennt, und aus der man direkt die Kreisfrequenz kleiner Schwigungen um die Gleichgewichtslage ablesen kann. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Und wie kann ich aus der allgemeinen Gleichung die Frequenz für kleine Schwingungen ablesen? Einfach <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega">? <br /> <br />Gruß <br />Christian</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>para</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Dez 2008 21:04<span class="gen"> </span> Titel: Re: Bestimmen von Gleichgewichtslagen</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>-Christian- hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Und wenn ich mir dann definiere: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(x-x_{0}) = \xi"> <br /> <br />Dann erhalte ich die DGL: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?0 = m \ddot{\xi} \cdot (a-3bx_{0}^2) \cdot \xi"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wie kommst du dann auf diese DGL? <br /> <br /> <br />Ziel der Linearisierung ist es, die Kraft auf eine Form zu bringen die aussieht wie<ul><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F(\xi) = - D \cdot \xi"></ul>Man will die Kraft also um eine Gleichgewichtslage linearisieren. Hat die Kraft diese Form, bekommt man als Bewegungsgleichung:<ul><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot\xi + \omega^2 \cdot \xi = 0 \qquad \mathrm{mit} \qquad \omega^2 = \frac{D}{m}"></ul> <br />Warum ist das günstig? Weil die das die bekannte Schwingungsgleichung ist, deren Lösung man kennt, und aus der man direkt die Kreisfrequenz kleiner Schwigungen um die Gleichgewichtslage ablesen kann. <br /> <br />Woran hängt es bei dir noch genau? Oder reicht das schon als Hinweis? <br /> <br />Es ist ersichtlich, dass dies nur bei stabilen Gleichgewichtslagen funktionieren kann. Hast du schon bestimmt, welche Positionen überhaupt stabil sind?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>-Christian-</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Dez 2008 20:31<span class="gen"> </span> Titel: Bestimmen von Gleichgewichtslagen</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo! <br /> <br />Ich sitze gerade an einer Reihe von Aufgaben, bei denen es um die Bestimmung von Gleichgewichtslagen geht, die ich bis morgen gelöst haben muss. <br /> <br />Leider habe ich bis jetzt nicht begriffen, wie ich solch ein Problem von der mathematischen Herangehensweise her löse. Wäre nett, wenn mir einer vobn euch mal bei einer der Aufgaben helfen könnte ... <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">1) Ein Teilchen der Masse m bewegt sich eindimensional unter dem Einfluß der Kraft: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F(x) = ax-bx^{3} , b > 0"> <br /> <br />Bestimmen Sie die getrennt für die Fälle a < 0 und a > 0 die Gleichgewichtslagen der Bewegung. Bestimmen Sie gegebenfalls die Frequenz für kleine Schwingungen um diese Gleichgewichtslagen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich weiß, dass es sich hier mit einer Linearisierung herangehen muss und sich F(x) dann durch die Reihenentwicklung an <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_{0}"> (Gleichgewichtslagen) dann ergibt zu: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F(x) = F(x_{0}) + F'(x_{0})(x-x_{0})"> <br /> <br />Und da es sich um eine Gleichgewichtslage handelt ist F(x_{0}) = 0, also: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F(x) = m \ddot{x} = (a-3bx_{0}^2)(x-x_{0})"> <br /> <br />Und wenn ich mir dann definiere: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(x-x_{0}) = \xi"> <br /> <br />Dann erhalte ich die DGL: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?0 = m \ddot{\xi} \cdot (a-3bx_{0}^2) \cdot \xi"> <br /> <br />Ab hier komme ich dann nicht weiter. Löse ich die DGL einfach? Und für was löse ich Sie? Suche ich letztendlich nach allen Zeitpunkten in denen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t)"> eine Gleichgewichtslage hat oder suche ich nach einem Ausruck für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_{0}"> <br /> <br />Wahrscheinlich ist die Aufgabe gar nicht so schwer ... aber ich stehe auf dem Schlauch, denke ich. <br /> <br />Vielen Dank für (hoffentlich schnelle) Hilfe! <br /> <br />Grüße <br />Christian</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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