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[quote="munich"]Hey Leute, prinzipiell versteh ich den Potenzreihenansatz schon, nur hab ich hier eine, bei der ich nicht weiß, warum alle geraden Glieder Null sein müssen. Also, ich soll folgende DGL lösen: [latex]g''-2\rho g'+(\epsilon -1)g=0[/latex] Okay, Ansatz: [latex]g(\rho)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k \rho^k[/latex] Damit ergibt sich: [latex]g'(\rho)=\sum_{k=1}^{\infty}a_k k \rho^{k-1}[/latex] [latex]g''(\rho)=\sum_{k=2}^{\infty}a_k k (k-1) \rho^{k-2}[/latex] Warum lasse ich die Summe bei den Ableitungen eigentlich erst bei höheren k anfangen? Okay, damit das nicht singulär wird für [latex]\rho = 0[/latex], aber das kann ich ja auch erreichen, indem ich einfach sage [latex]a_0=a_1=0[/latex]? Nunja, wenn ich das nun einsetze bekomme ich: [latex]a_{k+2}=\frac{2k+\epsilon-1}{(k+2)(k+1)}a_k[/latex] Wobei ich, einmal den Index der zweiten Ableitung geschiftet habe, dann fing die Summe auch bei k=0 an. Also kann ich die Glieder mit k=0 herausziehen und bekomme quasi noch die Bedingung [latex]2a_2+(\epsilon-1)a_0=0[/latex]. Laut Lösung soll aber irgendwie schon vorher klar sein, dass [latex]a_0=0[/latex] gilt... Es wäre also super wenn ihr mir erklären könntet warum ich die Reihen bei den Ableitungen erst bei 1, 2, ... anfangen lasse, wenn das überhaupt nötig ist und warum hier [latex]a_0=0[/latex] sein muss. thx, munich[/quote]
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Autor
Nachricht
dermarkus
Verfasst am: 29. Aug 2008 20:57
Titel: Re: DGL mit Potenzreihenansatz lösen...
munich hat Folgendes geschrieben:
Es wäre also super wenn ihr mir erklären könntet warum ich die Reihen bei den Ableitungen erst bei 1, 2, ... anfangen lasse,
Weil die erste Ableitung von Konstanten und die zweite Ableitung von linearen Funktionen sowieso immer null ist. Und zwar allein schon wegen dem Ableiten. Deshalb liefert die erste Ableitung keine Information über den Wert der Konstante
, und die zweite Ableitung keine Information über den Wert der Konstanten
und
, weil die Terme
und
sowieso schon immer Null sind.
munich hat Folgendes geschrieben:
und warum hier
sein muss.
Tipp: Betrachte mal von allen Termen in der Differentialgleichung, die sich mit dem gemachten Ansatz ergeben, nur die konstanten Terme, die nicht von
abhängen. Die Summe dieser Terme muss Null ergeben, damit die Differentialgleichung erfüllt ist. Und dann löse mal die Bedingung
munich hat Folgendes geschrieben:
und bekomme quasi noch die Bedingung
.
nach
auf und setze sie in diese Summe ein. Was folgt daraus für
?
munich
Verfasst am: 29. Aug 2008 17:04
Titel: DGL mit Potenzreihenansatz lösen...
Hey Leute,
prinzipiell versteh ich den Potenzreihenansatz schon, nur hab ich hier eine, bei der ich nicht weiß, warum alle geraden Glieder Null sein müssen.
Also, ich soll folgende DGL lösen:
Okay, Ansatz:
Damit ergibt sich:
Warum lasse ich die Summe bei den Ableitungen eigentlich erst bei höheren k anfangen? Okay, damit das nicht singulär wird für
, aber das kann ich ja auch erreichen, indem ich einfach sage
?
Nunja, wenn ich das nun einsetze bekomme ich:
Wobei ich, einmal den Index der zweiten Ableitung geschiftet habe, dann fing die Summe auch bei k=0 an. Also kann ich die Glieder mit k=0 herausziehen und bekomme quasi noch die Bedingung
. Laut Lösung soll aber irgendwie schon vorher klar sein, dass
gilt...
Es wäre also super wenn ihr mir erklären könntet warum ich die Reihen bei den Ableitungen erst bei 1, 2, ... anfangen lasse, wenn das überhaupt nötig ist und warum hier
sein muss.
thx,
munich