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[quote="Xeal"]Hallo ! Ich bin gerade dabei zu lernen, wie ich DGLs mit einem komplexen e Ansatz lösen kann. Ich habe für den gedämpften Reihenschwingkreis folgende DGL: [latex]L \cdot Q'' + R \cdot Q' + \frac{Q}{C}=0 [/latex] Als allgemeine Lösung habe ich folgendes erhalten: [latex]Q(t)=e^{-\frac{t}{2 \tau}} \cdot (A_1 \cdot e^{iw't} + A_2 \cdot e^{-iw't})[/latex] wobei [latex]\omega '[/latex] die reduzierte Schwingungsfreqeunz ist. Nun möchte ich anhand von Anfangsbedingungen die Koeffizienten A1 und A2 bestimmten. Und zwar möchte ich die Anfangsbedingungen so wählen, damit gilt: [latex]Q(t)=Q_0 \cdot e^{-\frac{t}{2 \tau}} \cdot \cos(\omega ' t) [/latex] Ich hätte die Anfangsbedingungen wie folgt gewählt: [latex] Q(t=0)=Q_0[/latex] [latex] Q'(t=0)=0[/latex] Da zur Zeit t=0 der Kondensator vollständig mit der Ladung Q_0 geladen sein soll und die Stromstärke null sein soll. Wenn ich nun die Konstanten A1 und A2 bestimmen will, setze ich die Anfangsbedingungen in meine Lösung ein: mit [latex] Q(t=0)=Q_0[/latex] komme ich auf die Gleichung: [latex] A_1 + A_2 =Q_0[/latex] Allerdings bekomme ich mit der zweiten bedingung folgendes: [latex]A_{{1}}={\frac {A_{{2}} \left( 1+2\,i\omega '\tau \right)}{-1+2\, i\omega '\tau}}[/latex] Allerdings hätte ich gedacht, dass als Lösung herauskommen muss: [latex]A_1=A_2=\frac{1}{2} Q_0[/latex] sodass ich die Definition des cos in meine Lösung Q(t) verwenden kann.. Kann mir jemand sagen, ob meine Lösung richtig ist ? Gruß Holger[/quote]
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Nachricht
Xeal
Verfasst am: 19. Apr 2008 01:49
Titel:
stimmt, ich habe Q(t) doppelt verwendet.
dermarkus
Verfasst am: 19. Apr 2008 01:48
Titel:
Ja, nur dass ich jeweils schreiben würde
Denn das
selbst ist ja schon keine imaginäre Zahl mehr, sondern das
ist nur der Realteil von
Xeal
Verfasst am: 19. Apr 2008 01:41
Titel:
hm, meinst du das ich mit der eulerschen Formel die allgemeine Lösung wie folgt umformen kann:
Und mit
dermarkus
Verfasst am: 19. Apr 2008 00:54
Titel: Re: Koeffizienten der gedämpften Schwingung bestimmen
Xeal hat Folgendes geschrieben:
Als allgemeine Lösung habe ich folgendes erhalten:
Tipp: Da meinst du auf der rechten Seite wohl nicht wirklich die komplette imaginäre Zahl, sondern nur den Realteil davon.
Löst das deine Frage schon?
Xeal
Verfasst am: 18. Apr 2008 23:20
Titel: Koeffizienten der gedämpften Schwingung bestimmen
Hallo !
Ich bin gerade dabei zu lernen, wie ich DGLs mit einem komplexen e Ansatz lösen kann.
Ich habe für den gedämpften Reihenschwingkreis folgende DGL:
Als allgemeine Lösung habe ich folgendes erhalten:
wobei
die reduzierte Schwingungsfreqeunz ist.
Nun möchte ich anhand von Anfangsbedingungen die Koeffizienten A1 und A2 bestimmten.
Und zwar möchte ich die Anfangsbedingungen so wählen, damit gilt:
Ich hätte die Anfangsbedingungen wie folgt gewählt:
Da zur Zeit t=0 der Kondensator vollständig mit der Ladung Q_0 geladen sein soll und die Stromstärke null sein soll.
Wenn ich nun die Konstanten A1 und A2 bestimmen will, setze ich die Anfangsbedingungen in meine Lösung ein:
mit
komme ich auf die Gleichung:
Allerdings bekomme ich mit der zweiten bedingung folgendes:
Allerdings hätte ich gedacht, dass als Lösung herauskommen muss:
sodass ich die Definition des cos in meine Lösung Q(t) verwenden kann..
Kann mir jemand sagen, ob meine Lösung richtig ist ?
Gruß
Holger