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[quote="schnudl"][quote="kommando_pimperlepim"]A=B Die dyadische Eins wirkt so: [latex]\left(\left(\overset{\downarrow}{\vec{r}}\circ\vec{\nabla}\right)\vec{a}\right)_{i}=\underbrace{\overset{\downarrow}{x_{i}}\partial_{k}}_{{\displaystyle \delta_{ik} \ ?????????}}a_{k}=a_{i}[/latex] [color=red]Wie kommst du auf die Deltafunktion oben im underbrace ? Ich weiss zwar nicht was eine dyadische eins ist, aber @magneto42 hat das "Dyadische" sehr plausibel so interpretiert: Linke Seite: [latex]\int\limits_V \left( \vec{r} \otimes \vec{\nabla} \right) \cdot \vec{j}(\vec{r}) \, \dd V = \int\limits_V \left( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \left(\frac{\partial}{\partial x} , \frac{\partial}{\partial y} , \frac{\partial}{\partial z} \right) \right) \cdot \begin{pmatrix} j_x \\ j_y \\ j_z \end{pmatrix} \, \dd V[/latex] und kommt auf [latex]\ldots = \int\limits_V \vec{r} \cdot \left( \vec{\nabla}\vec{j} \right) \, \dd V[/latex] Das ist doch bei ihm ganz was anderes, nämlich ein Ausdruck wo die Divergenz von j vorkommt und nicht einfach der vektor j[/color] C=D ...Dann kannst du [latex]x_i[/latex] wiederum in die Divergenz ziehen, weil es auch ein Skalar ist. [color=red]:laut: Sorry, das meinst du aber nicht ernst...[/color] [color=red]Kettenregel: [latex]\partial_i (\Phi \Psi_i) = \Phi \partial_i \Psi_i + \partial_i \Phi \Psi_i[/latex] oder [latex]\vec \nabla (\Phi \vec \Psi) = \Phi \vec \nabla \vec \Psi + (\vec \nabla \Phi) \vec \Psi[/latex] Du hast den zweiten Term auf der rechten Seite unterschlagen![/color][/quote] Ohne jetzt schulmeistern zu wollen, aber du solltest deine Zeilen nochmals überdenken... :thumb:[/quote]
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magneto42
Verfasst am: 13. Sep 2007 12:32
Titel:
Danke, da lichtet sich doch gleich die geistige Nebelwand
.
schnudl
Verfasst am: 13. Sep 2007 12:31
Titel:
kommando_pimperlepim hat Folgendes geschrieben:
Für dich gibts jetzt auch eine Dyadenfreie elegantere Version, die ich heute im Jelitto gefunden habe.
Diese Umformung ist völlig identisch mit meiner obigen, nur mit einem Hilfsvektor a, den man dann aber eh nicht braucht.
kommando_pimperlepim
Verfasst am: 13. Sep 2007 12:27
Titel:
schnudl hat Folgendes geschrieben:
Mines Erachtens soll die Rechnung (siehe mein Beitrag oben, aber ohne Dyaden) nur zeigen, dass das magn. Monopolmoment, definiert durch den ersten Term der Entwicklung (...) verschwindet.
kommando_pimperlepim
Verfasst am: 13. Sep 2007 12:25
Titel:
Tschuldigung, hatte übersehen dass es schon eine Seite 2 gibt, und auf schnudls letzten Post auf Seite 1 geantwortet.
Ich denke insgesamt sind wir uns mathematisch einig, haben nur etwas den Faden verloren. Daher nochmal zur letzten Ungereimtheit ohne viele Formeln und Zitate:
magnetos Kommentar bzgl. der 2 Pfeile:
In meinem ersten Post, habe ich den Term mit 2 Pfeilen geschrieben, weil es der Zwischenschritt der Umformung war, den ich nicht verstanden habe. Später haben wir die gesamte Rechnung diskutiert, in der die zwei Pfeile erst später (bei Rückwärtsanwendung der Produktregel) auftreten.
magneto42 hat Folgendes geschrieben:
Ich verstehe desweiteren weder Motivation noch Ziel dieser Rechnung. Kann man denn
zeigen
, daß es keine magnetischen Monopole gibt? Ich bin bisher davon ausgegangen, daß dies eine Forderung aus der menschlichen Beobachtung ist. Welche Naturgesetze lassen denn einen schlüssigen
Beweis
zu? Die Monopolfreiheit ist doch selbst ein Naturgesetz, oder?
kommando_pimperlepim hat Folgendes geschrieben:
Wenn wir über diesen mathematischen Beweis sprechen, ist es eine konventionelle Selbstverständlichkeit, dass die MAXWELL-Gleichungen axiomatisch Wahrheit definieren, die mit der Natur bisher nur erfahrungsgemäß übereinstimmt. Ich denke, der Unterschied zwischen einer Umformung und einem Experiment ist uns allen klar.
schnudl
Verfasst am: 13. Sep 2007 12:16
Titel:
magneto42 hat Folgendes geschrieben:
Ich habe mich nur an das gehalten was kommando_pimperlepim gesagt hat: "Der Pfeil heißt Nabla wirkt auf". Also habe ich den Operator auf das losgelassen, was er in seiner
ersten
Gleichung derart gekennzeichnet hat.
ok, da hab ich den zweiten Pfeil übersehen...
Mines Erachtens soll die Rechnung (siehe mein Beitrag oben, aber ohne Dyaden) nur zeigen, dass das magn. Monopolmoment, definiert durch den ersten Term der Entwicklung
verschwindet. Dass es in der Natur keine Monople gibt, ist damit natürlich nicht gesagt, da in diesem Fall diese Entwicklung gar nicht möglich wäre.
kommando_pimperlepim
Verfasst am: 13. Sep 2007 12:15
Titel:
Ja die Dyade muss auf einen Vektor wirken.
Wenn man sich daran gewöhnt hat und solche Methoden braucht, ist es mathematisch gesehen eher eine Vereinfachung. Die Idee dahinter ist nur, dass komplizierte Verknüpfungen, wie das doppelte Skalarprodukt durch die Dyade als Matrix ausgedrückt werden können.
Ein weiterer Vertreter dieses Prinzips ist auch
worin sich schon der verwegene Gedanke verbirgt:
genauso wie
Aber ich bin schon froh das verstanden zu haben, dieser Thread hat mir einiges gebracht. Für dich gibts jetzt auch eine Dyadenfreie elegantere Version, die ich heute im Jelitto gefunden habe:
Für beliebiges konstantes
gilt:
wobei letzterer Schritt wieder durch die Kontinuitätsgleichung begründet ist. Dann ist
und da
beliebig ist gilt
Schönen Dank nochmal.
magneto42
Verfasst am: 13. Sep 2007 12:06
Titel:
Ich habe mich nur an das gehalten was kommando_pimperlepim gesagt hat: "Der Pfeil heißt Nabla wirkt auf". Also habe ich den Operator auf das losgelassen, was er in seiner
ersten
Gleichung derart gekennzeichnet hat.
kommando_pimperlepim hat Folgendes geschrieben:
Warum in seiner
zweiten
Gleichung der Term den Pfeil nicht mehr hat, weiß ich nicht
.
kommando_pimperlepim hat Folgendes geschrieben:
Ich verstehe desweiteren weder Motivation noch Ziel dieser Rechnung. Kann man denn
zeigen
, daß es keine magnetischen Monopole gibt? Ich bin bisher davon ausgegangen, daß dies eine Forderung aus der menschlichen Beobachtung ist. Welche Naturgesetze lassen denn einen schlüssigen
Beweis
zu? Die Monopolfreiheit ist doch selbst ein Naturgesetz, oder?
schnudl
Verfasst am: 13. Sep 2007 11:15
Titel:
magneto42 hat Folgendes geschrieben:
Aha, dann ist der Pfeil also kein besonderer Hinweis gewesen sein Augenmerk auf etwas zu richten
. Einen Operator, der sowohl rechtsseitig wie auch linksseitig wirkt, trifft man nicht alle Tage.
magneto42 hat Folgendes geschrieben:
kannst Du eine Quelle nennen, wo man diese Rechenregeln nachlesen kann?
Ich hab sowas
hier
gefunden
Ich finde die Schreibweise zwar immer noch ziemlich entbehrlich, aber es gibt sie. Der dort beschriebene und mystifizierte Gradient eines Vektors ist einfach
und damit ein Tensor zweiter Stufe - da braucht man keine esoterischen Schreibweisen einzuführen. Vielleicht sollte man dann bei Tensoren dritter Stufe eine Schreibweise einführen, wo der Nabla senkrecht aus dem Papier wirkt oder auf die Blattrückseite...
Jedenfalls wirken im Zitat die Nablas scheinbar immer nach rechts.
@magneto42: Ausserdem hast Du im zweiten Versuch den Nabla
auch
auf j wirken lassen. Das stünde im Widerspruch zu der Aussage, Nabla wrkt nur auf das gekennzeichnete...
magneto42
Verfasst am: 13. Sep 2007 10:58
Titel:
Aha, dann ist der Pfeil also kein besonderer Hinweis gewesen sein Augenmerk auf etwas zu richten
. Einen Operator, der sowohl rechtsseitig wie auch linksseitig wirkt, trifft man nicht alle Tage. Aber das heiß dann auch, daß meine Rechnung für die linke Seite nicht korrekt ist
.
@kommando_pimperlepim: kannst Du eine Quelle nennen, wo man diese Rechenregeln nachlesen kann? Meine Kenntnisse über Dyaden beruhen noch auf der Vorlesung über theoretische Mechanik, wo der Trägheitstensor als Dyade eingeführt wurde. Ein Nabla tauchte dort nicht auf.
Der nächste Versuch für die linke Seite:
Hm
, schöner sieht das aber nicht aus...
schnudl
Verfasst am: 13. Sep 2007 10:20
Titel:
OK, mit dieser exotischen Schreibweise (die mir in meinem doch sehr umfangreichen Bücherregal noch kein einziges Mal untergekommen ist) kann ich nun nachvollziehen was du meintest. Ehrlich gesagt sehe ich derzeit keinen Sinn darin. Für mich ist das nur eine Methode, einfache Zusammenhänge möglichst umständlich hinzuschreiben...Bist du sicher, dass das nicht nur eine Sache ist, die dein Prof irgendwann mal aus rein didaktischen Gründen erfunden hat ?
Dann kann man hier im folgenden Ausdruck (würde ich naiverweise annehmen) auch eine solche eins einschieben, da eins eben eins ist...:
Wenn der
Pfeil
nun meint, dass
dorthin
(d.h. auf r) der Nabla Operator wirkt, dann müsste das doch sein (wenn ich dich recht verstanden habe)
???
Also hab ich dich offenbar noch nicht verstanden...Oder muss das in der Klammer immer auf einen Vektor wirken?- da stimmt es dann wiederum
kommando_pimperlepim
Verfasst am: 13. Sep 2007 08:42
Titel:
Der senkrechte Pfeil hat eine Bedeutung. Er sagt: "Nabla wirkt auf." Die Klammern geben nur die algebraische Reihenfolge an, in der Skalarprodukte berechnet werden, der Nabla wirkt aber bis zum Term D ausschließtlich auf
, sodass da keine Divergenz von
steht. Da habe ich mich mit "
in die Divergenz ziehen" auch falsch ausgedrückt aber die Umformungen müssten richtig sein.
Die zitierte Umformung von magneto ist zwar so richtig, aber wenn der Nabla in seiner Dyade auch auf
wirken soll, dann hat er keine Eins eingefügt.
schnudl
Verfasst am: 12. Sep 2007 21:30
Titel:
kommando_pimperlepim hat Folgendes geschrieben:
A=B
Die dyadische Eins wirkt so:
Wie kommst du auf die Deltafunktion oben im underbrace ?
Ich weiss zwar nicht was eine dyadische eins ist, aber @magneto42 hat das "Dyadische" sehr plausibel so interpretiert:
Linke Seite:
und kommt auf
Das ist doch bei ihm ganz was anderes, nämlich ein Ausdruck wo die Divergenz von j vorkommt und nicht einfach der vektor j
C=D
...Dann kannst du
wiederum in die Divergenz ziehen, weil es auch ein Skalar ist.
Sorry, das meinst du aber nicht ernst...
Kettenregel:
oder
Du hast den zweiten Term auf der rechten Seite unterschlagen!
Ohne jetzt schulmeistern zu wollen, aber du solltest deine Zeilen nochmals überdenken...
kommando_pimperlepim
Verfasst am: 12. Sep 2007 18:53
Titel:
A=B
Die dyadische Eins wirkt so:
C=D
Man kann
ersetzen, da der Klammerausdruck neben
in C als Ganzes nur ein Skalar ist. Dann kannst du
wiederum in die Divergenz ziehen, weil es auch ein Skalar ist.
schnudl
Verfasst am: 12. Sep 2007 14:55
Titel:
???
kommando_pimperlepim
Verfasst am: 12. Sep 2007 14:26
Titel:
Welchen Schritt genau meinst du?
schnudl
Verfasst am: 12. Sep 2007 13:15
Titel:
naja, mit diesen Dyaden hab ich mich nicht auseinandergesetzt, aber ist die erste Zeile denn richtig ? Das kann ich nicht nachvollziehen.
kommando_pimperlepim
Verfasst am: 12. Sep 2007 11:40
Titel:
Wenn wir über diesen mathematischen Beweis sprechen, ist es eine konventionelle Selbstverständlichkeit, dass die MAXWELL-Gleichungen axiomatisch Wahrheit definieren, die mit der Natur bisher nur erfahrungsgemäß übereinstimmt. Ich denke, der Unterschied zwischen einer Umformung und einem Experiment ist uns allen klar.
Vielen Dank schnudl, die Komponentenzerlegung ist der Punkt, auf den ich nicht gekommen bin. Könntest du an folgender Zusammenfassung bestätigen, dass ich dich richtig verstanden habe?
Der erste Term verschwindet bei beschränkter Stromverteilung und der zweite wegen der Kontinuitätsgleichung.
Währe schön, wenn ich es verstanden hätte, dann hätten sich doch nur die zwei Standardintegralsätze darin versteckt. Vielen Dank nochmal!
schnudl
Verfasst am: 11. Sep 2007 14:41
Titel:
magneto42 hat Folgendes geschrieben:
Hallo.
Der Versuch mich wieder in das Cartan'sche Differentialkalkül einzuarbeiten nimmt doch mehr Zeit in Anspruch als gedacht.
Glaub ich dir gern , ist aber nicht erforderlich
schnudl
Verfasst am: 11. Sep 2007 14:16
Titel:
Was soll hier eigentlich gezeigt werden ? Ich bin schon ziemlich verwirrt...
Sicher haben wir, wenn man mit r(i) die i-te Komponente von r bezeichnet
Wenn man nun über gegebenes V integriert
Mit Gauss kann der erste Ausdruck in ein Oberflächenintegral umgewandelt werden
oder
Das wäre genau die gesuchte Identität, bis auf das Volumsintegral über die Stromdichte. Ohne diesen Zusatzterm kann die Identität in voller Allgemeinheit ja nicht stimmen, wie man sich leicht anhand eines zylindrischen Stromflusses klarmachen kann.
Wenn die Ströme
lokal
sind, kann das Volumen aber so gross gewählt werden, dass j überall auf der Oberfläche verschwindet.
Ebenso hat man in der Magnetostatik
weshalb auch
Das wäre aber der Entwicklungskoeffizient erster Ordnung (=Monopol) in der Multpolentwicklung des Vektorpotentials, womit gezeigt ist, dass es in der Magnetostatik (
und natürlich im Rahmen der bekannten Maxwellgleichungen
) keine magnetischen Monopole geben kann. Was die Elektrodynamik betrifft, wird es aber komplizierter (Eichfreiheit, etc...)...
isi1 hat Folgendes geschrieben:
kann: histeron proteron
Da kann ich mich nur anschliessen, denn die Existenz eines Vektorpotenzials ergibt sich ja gerade aus der Quellfreiheit des Magnetfeldes, setzt also schon voraus, dass es keine Monpole gibt.
magneto42
Verfasst am: 11. Sep 2007 13:26
Titel:
Hallo.
Der Versuch mich wieder in das Cartan'sche Differentialkalkül einzuarbeiten nimmt doch mehr Zeit in Anspruch als gedacht. Aber vielleicht ist das eine Aufgabe für Leopold vom
Matheboard
. Er hat das
dort
schon einmal unter Beweis gestellt.
isi1
Verfasst am: 11. Sep 2007 11:18
Titel: Re: Dyadische Integralzauberei
kommando_pimperlepim hat Folgendes geschrieben:
Um zu zeigen,
pimpernell
, dass es kein magnetisches Monopol gibt, hat mein Prof folgende Umformung vorgenommen
Allerdings möchte ich bezweifeln, dass man die Nichtexistenz von Monopolen so beweisen kann: histeron proteron
Will sagen, diese Formeln sind eine Folge der Feststellung, dass es keine magn. Monopole gibt. Würden welche gefunden, müsste man eben die Maxwell-Gleichungen anpassen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Magnetischer_Monopol
kommando_pimperlepim
Verfasst am: 10. Sep 2007 16:34
Titel:
Danke für deine Antwort. Aber dass
ist, ist nicht das Problem. Vielmehr wie du sagtest, dass es auf jeden Fall keiner der 2 geläufigen Spezialfälle
des STOKESschen Satzes ist.
Man müsste den allgemeinen Satz
irgendwie wiederfinden, indem man
als Differentialform
formuliert, aber da ist das
problematisch, weil da schon die Parametrisierung drin steckt.
magneto42
Verfasst am: 09. Sep 2007 01:02
Titel:
Ich mach' mal einen Versuch. Ich behandele die rechte und die linke Seite ersteinmal einzeln und Veranstalte einige Umformungen. Im letzten Schritt, beim Vergleich der daraus entstehenden Terme bin ich mir über die Regelrichtigkeit nicht sicher. Ich hoffe da kann jemand anderes einspringen.
Linke Seite:
Rechte Seite:
Wenn nun jemand bestätigt, daß ich richtig gerechnet habe und der
Satz von Stokes
anwendbar ist, sind beide Terme gleich:
kommando_pimperlepim
Verfasst am: 08. Sep 2007 20:16
Titel: Dyadische Integralzauberei
Um zu zeigen, dass es kein magnetisches Monopol gibt, hat mein Prof folgende Umformung vorgenommen:
Gibt es hier jemanden, der diesen Rechenschritt versteht und mir erklären könnte?