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So gehts:
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[quote="jentowncity"]Danke an alle für so zahlreiche Beteiligung :D Sorry, dass ich erst jetzt antworte, hatte gestern viel zu tun. Also ich denke auch, dass es hier irgendwie möglich sein muss diese Summe in der von [b]schnudl[/b] angegebenen Form auszudrücken: [latex]\sum_{i=1}^N~\omega_{i}^{2}(x-x_{i})^{2} = \Omega^2 (x-x_0)^2 + C[/latex] Aber wie sieht denn das konkret aus? Es ist ja [latex]\sum_{i=1}^N~\omega_{i}^{2}(x-x_{i})^{2} \neq \sum_{i=1}^N~\omega_{i}^{2} ~\sum_{i=1}^N~(x-x_{i})^{2}[/latex] deswegen habe ich nicht verstanden, was du, [b]smn[/b], mit deiner Antwort gemeint hast. Wie willst du denn die Überlagerung ausdrücken, wenn du benutzen willst [latex]\Omega^{2}= \sum_{i=1}^N~\omega_{i}^{2}[/latex] Hat jemand eine Idee wie man zu so einem Ausdruck wie [b]schnudl[/b] angegeben hat kommt? Ich sehe es irgendwie im Moment nicht.[/quote]
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jentowncity
Verfasst am: 09. Jun 2007 13:55
Titel:
Ah, danke schnudl!
Dann sieht die Lösung also so aus:
mit
Daraus folgt dann:
Und als Eigenfunktionen kommen dann die "normalen" Hermitpolynome raus?
Edit: alles klar, hat sich geklärt, die Eigenfunktionen sind nur um die Translation
verschoben.
Die Aufgabe ist dann erledigt.
schnudl
Verfasst am: 09. Jun 2007 13:13
Titel:
Du hast in Summe auf jeden Fall einen Ausdruck
welcher zu einem vollständigen Quadrat ergänzt werden kann:
Im Detail erhält man
,
und
durch Gleichsetzen der linken und rechten 0., 1. und 2. Ableitungen des Ansatzes
1. Ableitung:
2. Ableitung:
w.z.b.w.
An der Stelle x=0 in die erste Ableitung einsetzen liefert
Zu guterletzt setzt Du x=0 in die erste Gleichung ein und erhältst C.
jentowncity
Verfasst am: 09. Jun 2007 12:30
Titel:
Danke an alle für so zahlreiche Beteiligung
Sorry, dass ich erst jetzt antworte, hatte gestern viel zu tun.
Also ich denke auch, dass es hier irgendwie möglich sein muss diese Summe in der von
schnudl
angegebenen Form auszudrücken:
Aber wie sieht denn das konkret aus? Es ist ja
deswegen habe ich nicht verstanden, was du,
smn
, mit deiner Antwort gemeint hast. Wie willst du denn die Überlagerung ausdrücken, wenn du benutzen willst
Hat jemand eine Idee wie man zu so einem Ausdruck wie
schnudl
angegeben hat kommt?
Ich sehe es irgendwie im Moment nicht.
schnudl
Verfasst am: 08. Jun 2007 22:12
Titel:
smn hat Folgendes geschrieben:
Ist das richtig? (wäre fast zu einfach) Und was ist mit den Eigenfkten, sehen die wie sonst auch aus?
Gruß Simon
Das mit der Konstante müsste so stimmen, denn aus
folgt
Somit hat man den gleichen Satz von Eigenfunktionen, nur mit um C verschobenen Eigenwerten. Mein letztes Posting war natürlich Schwachsinn...
smn
Verfasst am: 08. Jun 2007 18:45
Titel:
Hallo, wenn man die N Parabeln überlagert erhält man doch wieder eine Parabel mit Omega^2=Sum[(omega i)^2], die aber zusätzlich nach oben verschoben ist. (und natürlich nach links/rechts). Oder seh ich das falsch? Man hat also einen harm. Osz. für den das Potential am Minimum aber nicht Null ist. Ich denk mal dann sind die Energien einfach E(n)= h Omega (n+0.5) + V(mini)
Ist das richtig? (wäre fast zu einfach) Und was ist mit den Eigenfkten, sehen die wie sonst auch aus?
Gruß Simon
schnudl
Verfasst am: 08. Jun 2007 14:27
Titel: Re: S.Gl. mit N harmonischen Oszillator-Potentialen
Wenn man den Ansatz von as_string weiterspinnt, könnte man ansetzen (oder hab ich da was übersehen???):
\\edit: natürlich hab ich was übersehen, nämlich den konstanten Beitrag...
Es muss der Ansatz gemacht werden
*** gelöscht ***
as_string
Verfasst am: 08. Jun 2007 12:44
Titel:
Hallo!
Also, mein Gedanke wäre, dass ein solches Potential ja wieder ein normales, einfaches harmonisches Potential ergibt. Wenn Du die ganzen (x-xi)² ausmultiplizieren würdest und dann alles addierst, dann würde ja letztenlich wieder eine quadratische Funktion raus kommen, die dann ein anderes
und auch ein anderes Minimum hat, aber definitiv wieder parabelförmig ist.
Wie man das aber jetzt allgemein machen könnte, weiß ich leider auch nicht.
Gruß
Marco
jentowncity
Verfasst am: 08. Jun 2007 11:57
Titel: S.Gl. mit N harmonischen Oszillator-Potentialen
Hallo an alle!
Hab hier wieder eine Aufgabe, die mir Schwierigkeiten bereitet:
Lösen Sie die 1D Schrödinger-GL. für das N-fache harmonische Potential:
Also die SG sieht dann meiner Meinung nach so aus:
Ich weiß nicht, wie ich anfangen soll. Gibts hier irgend einen Trick wie man das auf einen "normalen" H.O. bringen kann, d.h. auf eine schon bekannte Lösung? Oder muss man das ganz von vorne lösen?
MfG jentowncity