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[quote="Mathefix"]Zitat Celestina: [i]Mir scheint eine Vergrößerung der Biegearbeit um 1,5% einfach zu groß, als dass ich sie als Rechendifferenzen abtun möchte. [/i] Da haben sich unsere Beiträge geschnitten. Meine Berechnung, die exakt Dein Ergebnis reproduziert, zeigt, dass die Differenz ausschliesslich aus der Rechennmethode resultiert. Tschüss Mathefix[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Celestina_Shepherd</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Mai 2026 15:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Ich bin halt wie Euler "Old school". <br /> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Yeah! Das gefällt mir!!! <br /> <br />Euler ist für mich auch einer der überirdischen Wegweiser der angewandten Mathematik. <br /> <br /> <br /> <br /><span style="color: blue">/ / de.wikipedia.org/wiki/Wissenschaftliches_Werk_Leonhard_Eulers#%E2%80%BAErg%C3%A4nzungen%E2%80%B9</span> <br /> <br />... und von "Old school" zu "Oldfather" ist es dann auch kein großer Sprung mehr: <img src="images/smiles/wink.gif" alt="Augenzwinkern" border="0" /> <br /> <br /><span style="color: blue">/ / boulderschool.yale.edu/sites/default/files/files/euler_1744.pdf</span> <br /> <br />Wenn dieses lästige kleine Epsilon aus der Elastika nicht wäre, würde ich mich der "Instantan-Aussage" glatt anschließen. Aber dieses wirklich spannende Thema der "Elastika" hat mich da leider zu sehr in den Bann gezogen. <br /> <br />Als Maschinenbauer-Aussage halte ich das instantane Zerstörung-Szenario absolut für berechtigt, weil sich die Praxis mit diesem kleinen Epsilon nicht arrangieren kann. Hingegen in der mathematischen Korrektheit (die auch Euler zu verantworten hat!) ist das Ausknicken weiterhin ein Gleichgewichtszustand, welches aber relativ "explosiv" aus dem Ruder läuft. Die "Explosion" ist aber nicht unendlich groß, sobald die kritische Knickkraft erreicht ist - sie läuft also nicht sofort gegen unendlich. Wie immer der Konflikt: Theoretische Mathematik versus veritable Mechanik. <br /> <br />Grüße von Celestina</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Mai 2026 14:34<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-style: italic">Zitat Celestina:</span> <br /><span style="font-style: italic">Der Stab "will" bei unterkritischer Last immer zurück in die Nulllage. Ein Gleichgewicht bei einer Auslenkung f > 0 setzt zwingend voraus, dass die Last mindestens die kritische Euler-Last erreicht oder überschreitet. <br /></span> <br /> <br />Die von mir berechnete Horizontalkraft verhindert das Rückkehren in die Nulllage und das Knicken. Der Balken bleibt in der durch F_v0 gebogenen Ausgangslage mit f = const. <br /> <br />Ich habe eine ideale zentrische Krafteinleitung unterstellt. <br />Andernfalls würde es zu elastischem Knicken führen - dann gilt Euler nicht! <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_v = 0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{hmax} = F_k\cdot \frac{8}{\pi ^{2} }"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{hmax} < F_k"> <br /> <br />Der Biegevorgang liegt im Hooke'schen Bereich. <br /> <br />PS <br />Im übrigen hängt von der Geometrie des Querschnitts ab, in welche Richtung der Balken knickt. Das ist nicht notwendigerweise die Biegerichtung und kann zu Drillknicken führen. <br />Nach meinem Wissen knickt der Balken bei Erreichen der Knickkraft instantan aus und wird zerstört. <br />Ich bin halt wie Euler "Old school". <br /> <br />Beste Grüsse <br />Mathefix</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Celestina_Shepherd</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Mai 2026 13:31<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Die Knickkraft spielt keine Rolle, da der Balken von Anfang an im Hooke' schen Bereich gebogen wird. <br /> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ich kann nachvollziehen, dass man sich bei einer rein äußerlichen Betrachtung der Eulerschen Knickfälle (gemäß Theorie 2.Ordnung) schnell zu dieser Auffassung verleiten lassen kann, aber sie ist leider irrig. Es besteht hier die Gefahr, dass man denkt, wenn exakt die Knickkraft erreicht wird, dann stellt sich eine kleine Verformung ein und damit generiert sich dann eine weitaus größere Verformung, die dann zwangsweise in eine fortlaufende und sich verstärkende Zerstörung driftet. <span style="font-weight: bold">Und das stimmt eben nicht.</span> Das verleitet zu der fälschlichen Annahme, dass bei auftretender Verformung f es ausreichen würde, die Knickkraft plötzlich reduzieren zu können und alles bleibt im schönen alten stabilen Gleichgewicht. Die Theorie 2.Ordnung kann zwar die kritische Knickkraft als Übergang zur Indifferenz deuten, aber sie kann keine Aussage über die Kraft-Verformung-Beziehung leisten. Das kann nur die Theorie der Elastika!!! <br /> <br />In diesem Zusammenhang muss man verstehen und sich vergegenwärtigen, wie sich das auf die potentielle Energie des Gesamtsystems auswirkt. <span style="font-weight: bold">Und hierzu muss man wissen, dass bei unterkritischen Knickkräften der „Potentialtopf“ ein Minimum hat!</span> Eine noch so kleine Auslenkung f würde wie eine Kugel wieder in diese Mulde des Potentialtopfes zurückrollen. Die „Elastika“ sagt das unmissverständlich aus, weil die im Biegestab gespeicherte Verformungsenergie größer als die Arbeit ist, welche die unterkritische Knickkraft zu leisten vermag. Der Stab drückt sich in seine ursprünglich gerade Lage zurück und verbleibt dann so, weil ja die Knickkraft unterkritisch ist. <br /> <br />Sobald die kritische Knickkraft erreicht wird, ist die Betrachtung dieser Kraft sehr sensibel, weil schon sehr kleine Änderungen <span style="font-weight: bold">(Änderung des Epsilon-Wertes!!!)</span> rasante Zuwächse bei der Verformung f bedeuten. Nichtsdestotrotz gibt es eine Kraft-Verformungs-Beziehung wie ich sie schon erwähnt habe und diese besagt, dass ein Gleichgewichtszustand mit der Verformung f erst mit der kritischen Knickraft möglich ist. Eine andere Behauptung als diese würde im krassen Widerspruch zu der Elastika stehen, die sich ja noch am nächsten an der Realität orientiert. <br /> <br /><span style="text-decoration: underline">Kurz gesagt und zusammengefasst:</span> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? F_h<F_{krit-Euler} \text{ }\text{ }\Rightarrow f=0 "> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? F_h>F_{krit-Euler} \text{ }\text{ }\Rightarrow f>0 "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? F_{krit}\text{ }(f)=F_{krit-Euler}\text{ } \text{ }\cdot \left(1+\epsilon \right)"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\epsilon \sim f^2"> <br /> <br />Der Stab "will" bei unterkritischer Last immer zurück in die Nulllage. Ein Gleichgewicht bei einer Auslenkung f > 0 setzt zwingend voraus, dass die Last mindestens die kritische Euler-Last erreicht oder überschreitet.<span style="font-weight: bold"></span></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Mai 2026 11:13<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">[quote="Celestina_Shepherd"]</span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Da der Balken durch <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{v_0} "> vorverformt ist, ist die kritische Kraft nicht über die Knick-sondern die zulässige Biegekraft zu ermitteln. <br /> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />In der Ausgangssituation greift nur die Vertikalkraft an und biegt den Balken bis f. Dann greifen die Kräfte - geringer werdende Vertikal- und steigende Horizontalkraft - an. <br />Die x- und y-Komponenten der Horizontalkraft entsprechen den Rückstellkräften - Differenz zwischen anfänglicher Vertikal- und aktueller Vertikalkraft -, damit die Ausgangssituation erhalten bleibt. <br /> <br />Die Knickkraft spielt keine Rolle, da der Balken von Anfang an im Hooke' schen Bereich gebogen wird.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Celestina_Shepherd</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Mai 2026 16:19<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">@ Celestina <br />Ist noch in Arbeit. Warte bitte bis ich fertig bin. Ist sehr zäh, da dauernd bad gateway. <br />Mathefix</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Sorry!!! <br />Ich dachte, der Beitrag wäre schon durch gewesen. <br />Ja, dieses "gateway-Problem" ist schon ziemlich nervig!!! <br /> <br />Grüße von Celestina</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Mai 2026 16:12<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">@ Celestina <br />Ist noch in Arbeit. Warte bitte bis ich fertig bin. Ist sehr zäh, da dauernd bad gateway. <br />Mathefix</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Celestina_Shepherd</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Mai 2026 16:04<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Da der Balken durch <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{v_0} "> vorverformt ist, ist die kritische Kraft nicht über die Knick-sondern die zulässige Biegekraft zu ermitteln. <br /> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Die Annahme ist falsch, wenn man davon ausgeht, dass beim Übergang von [1] nach [2] das Momenten-Gleichgewicht eingefordert wird. Es wird gefordert, dass f konstant bleiben soll. Demzufolge ändert sich ja die Biegespannung sehr wohl, und zwar an allen Stellen! <br /> <br />Bedingung ist ja, dass die Durchbiegung f konstant bleiben soll, wenn die Umlagerung vom Zustand [1] nach [2] geschieht. Dein errechnetes <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? F_{h_max} "> ist jedoch zu klein, um die elastischen Rückstellkräfte bei [2] in der Waage zu halten, ergo würde die elastische Linie sich auf eine kleinere Durchbiegung strecken bzw. der Stab gänzlich in eine Gerade übergehen, weil sich eine Auslenkung erst im Bereich der kritischen Knickkraft zeigen wird. Ich hatte ja schon die Kraftbeziehung für diesen Fall oben beschrieben mit: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? F_{krit}\text{ }(f)=F_{krit-Euler}\text{ } \text{ }\cdot \left(1+\epsilon \right)\approx \frac{\pi ^2E\cdot I}{4\cdot l^2}\cdot \left(1+\frac{\pi ^2f^2}{32\cdot l^2} \right)\approx \frac{\pi ^2E\cdot I}{4\cdot l^2} "> <br /> <br />Um eine Durchbiegung f zu erlangen, muss zumindest immer die kritische Knickkraft vorhanden sein, wobei das sehr kleine <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \epsilon "> diese Knickkraft nicht mehr nennenswert erhöht, weil ja f<<L gilt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Mai 2026 14:54<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Da der Balken durch <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{v_0} "> vorverformt ist, ist die kritische Kraft nicht über die Knick-sondern die zulässige Biegekraft zu ermitteln. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_h = \frac{1}{\tan(\varphi ) } \cdot (F_{v_0} - F_v)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sigma_b = \frac{M_b}{W} = \frac{F_{v_0} \cdot l\cdot e}{I}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{v_{0krit} }= \frac{\sigma_{b_{max} } \cdot I}{l\cdot e} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?0\leq F_{v_0} \leq \frac{\sigma_{b_{max} } \cdot I}{l\cdot e} "> <br /> <br />Kräftegleichgewicht <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{h_{krit1} } = \frac{F_{v_{0krit} }}{\tan(\varphi ) } "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\tan(\varphi ) \approx \varphi = \frac{F_{v_{0krit} }\cdot l^{2} }{2\cdot E\cdot I} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{h_{krit 1} } = \frac{2\cdot E\cdot I}{l^{2} }"> <br /> <br />Biegespannung <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{h_{krit 2} } =\frac{\sigma_{b_{max} } \cdot I}{f_{max}\cdot e} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f_{max} = \frac{F_{v_{0krit} }\cdot l^{3} }{3\cdot E\cdot I} = \frac{\sigma_{b_{max} } \cdot l^{2} }{3\cdot E \cdot e} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{h_{krit 2} } = \frac{3\cdot E \cdot I}{l^{2} } > F_{h_{krit 1} } "> <br /> <br />Fazit <br />Die Horizontalkraft zur Erhaltung des Kräftegleichgewichts bei maximaler Vertikalkraft ist kleiner als die Horizontalkraft, welche die maximal zulässige Biegespannung erzeugt. <br /> <br />Also gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_h = \frac{2\cdot E \cdot I}{F_{v_0} \cdot l^{2}} \cdot (F_{v_0} - F_v)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{v_0max} =\frac{\sigma_{b_{max} } \cdot I}{l\cdot e} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{hmax} = \frac{2\cdot E\cdot I}{l^{2} }"> <br /> <br />Damit sollte der Kraftangriffspunkt ortsfest sein. <br />Dann stellt sich die Frage, ob, abgesehen von der anfänglichen Biegearbeit durch F_v0, Arbeit durch die Umlagerung aufgebracht wird.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Celestina_Shepherd</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Mai 2026 18:31<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /> <br />ok. Es handelt sich also nicht nur um eine Umlagerung (Richtung) der Vertikalkraft in eine Horizontalkraft, sondern zusätzlich um eine Verstärkung (Betrag) der Kraft. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Genau so war das gemeint. Der Kraftvektor dreht sich um 90° und verändert sich dabei von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? F_{v0} "> nach <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? F_h=F_{krit} ">. <br /> <br />Dein Linearansatz zur Beschreibung von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? F_{h(F_v)} "> kommt am Ende nicht bei der kritischen Horizontalkraft an (?). <br /> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? f<<L \text{ }\Rightarrow \text{ }\tan(\frac{F_{v_0} \cdot l^{2} }{2\cdot E\cdot I} ) \approx\frac{F_{v_0} \cdot l^{2} }{2\cdot E\cdot I} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? F_h (F_v=0) = F_{krit} \approx \frac{2\cdot E\cdot I}{F_{v_0} \cdot l^{2}} \cdot (F_{v_0}-0)=\frac{2\cdot E\cdot I}{l^{2}}\neq F_{krit} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? F_{krit}=\frac{E\cdot I\cdot \pi ^2}{\color{black} {l^2}\color{black}\cdot 4} "></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Mai 2026 16:37<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />An welcher Stelle soll ich denn diese Vorgabe gemacht haben??? Eine Kraftsumme, die konstant bleiben soll, hat ja mit meiner Aufgabe gar nichts zu tun, denn diese lautet gemäß meinem Intro: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /><span style="text-decoration: underline">Nun zur Fragestellung:</span> <br />Am Punkt der ansetzenden Vertikalkraft F_v bei x=L wird jetzt eine variable Horizontalkraft F_h ergänzt, welche also parallel zur x-Achse in Richtung der Einspannstelle wirken soll. Das Szenario sei, dass nun die Vertikalkraft kontinuierlich bis auf den Nullwert verringert wird, während zeitgleich die Horizontalkraft vom Nullwert aufwärts kontinuierlich gesteigert wird, wobei sich die ganze Zeit die Durchbiegung f bei x=L nicht zu verändern hat. <br /> <br />Vertikalkraft: F_v => 0 <br />Horizontalkraft: 0 => F_h <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Bei der Vorgabe f<<L ist die anfängliche Vertikalkraft im Zustand [1] selbstverständlich immer kleiner als die abschließende Horizontalkraft im Zustand [2] und dagegen verstößt die Aufgabenstellung nicht. Sie unterstreicht das ja in der Skizze. <br /> <br />Celestina</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />ok. Es handelt sich also nicht nur um eine Umlagerung (Richtung) der Vertikalkraft in eine Horizontalkraft, sondern zusätzlich um eine Verstärkung (Betrag) der Kraft. <br /> <br />Der Angriffspunkt der Kräfte an der Stelle x=l soll durch Reduzierung der Vertikalkraft bei gleichzeitiger Erhöhung der Horizontalkraft ortsfest in x- und y-Richtung bleiben. <br /> <br />Gleichgewichtsbedingung: Summe der Kräfte F_x =0 und F_y = 0. <br /> <br />Neigung des Balkens an der Stelle x= l <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi = \frac{F_{v_0} \cdot l^{2} }{2\cdot E\cdot I} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_h (F_v) = \frac{1}{\tan(\frac{F_{v_0} \cdot l^{2} }{2\cdot E\cdot I} ) } \cdot (F_{v_0}-F_v)"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Celestina_Shepherd</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Mai 2026 18:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Lt. Aufgabenstellung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_v+F_h = const. = F_{v_0}"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_h = F_{v_0} \cdot (1-\frac{F_v}{ F_{v_0} } )"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{v_0} \geq F_h\geq 0"> (1) <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />An welcher Stelle soll ich denn diese Vorgabe gemacht haben??? Eine Kraftsumme, die konstant bleiben soll, hat ja mit meiner Aufgabe gar nichts zu tun, denn diese lautet gemäß meinem Intro: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /><span style="text-decoration: underline">Nun zur Fragestellung:</span> <br />Am Punkt der ansetzenden Vertikalkraft F_v bei x=L wird jetzt eine variable Horizontalkraft F_h ergänzt, welche also parallel zur x-Achse in Richtung der Einspannstelle wirken soll. Das Szenario sei, dass nun die Vertikalkraft kontinuierlich bis auf den Nullwert verringert wird, während zeitgleich die Horizontalkraft vom Nullwert aufwärts kontinuierlich gesteigert wird, wobei sich die ganze Zeit die Durchbiegung f bei x=L nicht zu verändern hat. <br /> <br />Vertikalkraft: F_v => 0 <br />Horizontalkraft: 0 => F_h <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Als hilfreiche Skizze hatte ich deshalb ja noch nachgereicht: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Als Ergänzung habe ich mal den Vorgang der sich hier abspielenden Kraftumlagerung inklusive der biegerelevanten Verformungsarbeiten als Skizze zusammengefasst. <br /><span style="color: blue">https: / / postimg.cc/4mCrtR4j</span> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Bei der Vorgabe f<<L ist die anfängliche Vertikalkraft im Zustand [1] selbstverständlich immer kleiner als die abschließende Horizontalkraft im Zustand [2] und dagegen verstößt die Aufgabenstellung nicht. Sie unterstreicht das ja in der Skizze. <br /> <br />Celestina</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Celestina_Shepherd</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Mai 2026 18:56<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Lt. Aufgabenstellung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_v+F_h = const. = F_{v_0}"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_h = F_{v_0} \cdot (1-\frac{F_v}{ F_{v_0} } )"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{v_0} \geq F_h\geq 0"> (1) <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />An welcher Stelle soll ich denn diese Vorgabe gemacht haben??? Eine Kraftsumme, die konstant bleiben soll, hat ja mit meiner Aufgabe gar nichts zu tun, denn diese lautet gemäß meinem Intro: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /><span style="text-decoration: underline">Nun zur Fragestellung:</span> <br />Am Punkt der ansetzenden Vertikalkraft F_v bei x=L wird jetzt eine variable Horizontalkraft F_h ergänzt, welche also parallel zur x-Achse in Richtung der Einspannstelle wirken soll. Das Szenario sei, dass nun die Vertikalkraft kontinuierlich bis auf den Nullwert verringert wird, während zeitgleich die Horizontalkraft vom Nullwert aufwärts kontinuierlich gesteigert wird, wobei sich die ganze Zeit die Durchbiegung f bei x=L nicht zu verändern hat. <br /> <br />Vertikalkraft: F_v => 0 <br />Horizontalkraft: 0 => F_h <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Als hilfreiche Skizze hatte ich deshalb ja noch nachgereicht: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Als Ergänzung habe ich mal den Vorgang der sich hier abspielenden Kraftumlagerung inklusive der biegerelevanten Verformungsarbeiten als Skizze zusammengefasst. <br /><span style="color: blue">https: / / postimg.cc/4mCrtR4j</span> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Bei der Vorgabe f<<L ist die anfängliche Vertikalkraft im Zustand [1] selbstverständlich immer kleiner als die abschließende Horizontalkraft im Zustand [2] und dagegen verstößt die Aufgabenstellung nicht. Sie unterstreicht das ja in der Skizze. <br /> <br />Celestina</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Mai 2026 12:35<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Lt. Aufgabenstellung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_v+F_h = const. = F_{v_0}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_h = F_{v_0} \cdot (1-\frac{F_v}{ F_{v_0} } )"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{v_0} \geq F_h\geq 0"> (1) <br /> <br />Gleichgewichtsbedingung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sum M = 0 = F_v\cdot l - F_h\cdot f "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_h = F_v \cdot \frac{l}{f} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f<<l\rightarrow F_h >> F_v "> (2) <br /> <br />Widerspruch zu (1)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Celestina_Shepherd</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Apr 2026 10:22<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Beim Posting [15. Apr 2026 15:58], als ich im Zusammenhang mit der überkritischen Horizontalkraft die Grenzbetrachtungen angestellt hatte, hat mich die mathematische Konvention bei den Elliptischen Integralen etwas in die Irre geleitet, weil in einer Programmiersprache wie Mathematica (dito Wolfram-Alpha) das Argument in quadrierter Form vorgegeben werden muss, während in der Literatur der Technischen Mechanik andere Gepflogenheiten vorliegen! Das heißt also, dass das Elliptische Integral <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? K(m) "> mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? m=\xi^2 "> zu deuten ist! Insofern bessere ich die Berechnung von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\epsilon "> im Rahmen der Elastika der Form halber nach … <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Für die reine Biegearbeit im Zustand [2] gilt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{v2}=W_{v1}+\frac{F_{krit}\cdot \left(1+\epsilon \right) }{2}\cdot \Delta x "> <br /> <br />wobei der Wert für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \epsilon "> sehr klein ist und mit der Durchbiegung f korrespondiert. Schon sehr kleine Änderungen bei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \epsilon "> bedingen eine rasche Erhöhung von der Durchbiegung f, es ist aber <span style="text-decoration: underline">keine</span> instantane Verformung ins Unendliche. <br /> <br />Bei der Grenzbetrachtung, wenn die Durchbiegung verschwindend klein wird gegenüber der Länge L, lassen sich somit noch weitere Aussagen treffen: (Bei der Funktion K handelt es sich um das Elliptische Integral erster Gattung) <br /> <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? 1+\epsilon=\frac{F_{krit}+\Delta F}{F_{krit}}=\left[\frac{2}{\pi }\cdot K(\xi) \right]^2\approx \left[\frac{2}{\pi } \left(\color{blue}{\frac{\pi }{2}+\frac{\pi \cdot \xi^2}{8}+... }\right) \right]^2 "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? 1+ \epsilon \approx \left[\frac{2}{\pi }\left(\color{blue}{\frac{\pi }{2}+\frac{\pi \xi^2}{8} }\right) \right] ^2 \approx \color{blue}{\left[ 1+\frac{\xi^2}{4} \right]}^2 \approx 1+\color{blue}{\frac{\xi^2}{2}} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \xi=sin\left(\frac{\alpha}{2} \right) \approx \frac{\alpha}{2} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \epsilon \approx \color{blue}{\frac{\xi^2}{2}}"> <br /> <br />Der Winkel <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \alpha "> ist dabei der Biegewinkel an der Stelle des Kraftansatzpunktes also am freien Ende des Stabes. Und dieser ist: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? w'_2(x)=\frac{f}{L}\cdot \frac{\pi }{2}\cdot sin\left(\frac{\pi }{2}\frac{x}{L} \right) "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? w'_2(L)=\alpha=\frac{f}{L}\cdot \frac{\pi }{2} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \to \xi=\frac{f}{L}\cdot \frac{\pi }{4} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \to \epsilon=\color{blue}{\frac{f^2}{L^2}\cdot \frac{\pi^2 }{32}} "> <br /> <br />Das bedeutet dann für die Biegearbeit: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{v2}\approx f^2\cdot \frac{3\cdot E\cdot I_y}{2\cdot L^3} +\frac{EI_y\cdot \pi ^2}{\color{black} {L^2}\color{black}\cdot 4}\cdot \frac{\left(1+\color{blue}{\frac{f^2}{L^2}\cdot \frac{\pi^2}{32}} \right) }{2}\cdot \frac{f^2}{L}\left[\frac{5\pi^2-48}{80} \right] "> <br /> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />… und somit zeigt sich, dass <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \epsilon "> weitaus kleiner ausfällt (noch unbedeutender wird), da nun die sehr kleine Größe <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? (f/L) "> nicht mehr linear sondern quadratisch vorliegt. Das theoretische <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \epsilon "> wirkt sich daher noch geringfügiger auf die Biegearbeit aus. <br /> <br />Celestina</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Apr 2026 12:41<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Abschliessend noch ein Hinweis: <br /> <br />Bei Biegebelastung gilt das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts parallel zur Kraftrichtung. <br />Bei Knickbelastung gilt das minimale Flächenträgheitsmoment des Querschnitts senkrecht zur Kraftrichtung. <br />Beispiel <br />Ein Balken mit rechteckigem Querschnitt, der hochkant eingespannt/gelagert ist, biegt sich durch eine Vertikal <br />kraft nach unten und durch eine Knickkraft seitlich durch. <br />Bezogen auf die Aufgabenstellung führt das zu komplexen räumlichen Verformungen. <br />Insofern gilt Deine Berechnung, wenn überhaupt, nur für Querschnitte mit I = I_min.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Celestina_Shepherd</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Apr 2026 19:39<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="text-decoration: underline"><span style="font-weight: bold">Lastfall</span></span> <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Fall 1:</span> Eine feste vertikale Biegekraft <br /> <br />Fall zwischenzeitlich: Superposition einer variablen Vertikal- und einer variablen Horizontalkraft (wurde nicht bzgl. Biegearbeit berechnet) <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Fall 2:</span> Eine feste Horizontalkraft <br /> <br /> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?W_{v1}=W_{V1} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{v2}\approx f^2\cdot \frac{3EI_y}{2L^3}\left[1+\frac{\pi ^2}{12}\left(\frac{5\pi ^2-48}{80} \right)\left(1+\epsilon\right)\right] "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{v2}\approx W_{V1}\cdot \left[1+0.013858... \left(1+\epsilon\right)\right] "> <br /> <br />Da <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \epsilon "> unbedeutend aus der Elastika hervorgeht, weil f<<L … <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \epsilon \to 0 "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? F_h \to F_{krit} "> <br /> <br />das ergibt dann: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{v2} \approx W_{V1}\cdot 1.01386 "> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{V2} = W_{V1}\cdot 1.014678... "> <br /> <br />rel. Fehler <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \approx 0.08% "></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Apr 2026 18:40<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">1. Rechnung (1. Methode) <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{V_1}=f^2\cdot \frac{3\cdot E\cdot I_y}{2\cdot L^3} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{v2} = f^{2} \cdot \frac{E\cdot I_y\cdot \pi ^{4} }{64\cdot L^{3} }"> <br /> <br />2. Rechnung (2. Methode) <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?W_{v1}\approx ??"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{v2}\approx f^2\cdot \frac{3\cdot E\cdot I_y}{2\cdot L^3} +\frac{EI_y\cdot \pi ^2}{\color{black} {L^2}\color{black}\cdot 4}\cdot \frac{\left(1+\frac{f}{L}\cdot \frac{\pi }{8} \right) }{2}\cdot \frac{f^2}{L}\left[\frac{5\pi^2-48}{80} \right] "> <br /> <br />Lastfall <br />Fall 1: Eine feste vertikale Biegekraft <br />Fall 2: Superposition einer variablen Vertikal- und einer variablen Horizontalkraft <br /> <br />Methode <br />Fall 1: 1. Methode (exakt für Biegung, unzulässig bei Superposition) <br />Fall 2: 2. Methode (Näherungslösung) <br /> <br />Der Vergleich unterschiedlicher Lastfälle, berechnet mit unterschiedlichen Methoden führt zwangsläufig zu einer Differenz.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Celestina_Shepherd</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Apr 2026 14:18<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die Aufgabenstellung <span style="text-decoration: underline">startet sofort mit der Theorie 2.Ordnung in Bezug auf die exakten Lösungen</span> der Biegelinien für die beiden Zustände am Anfang/Ende, da nur so erklärbar wird, warum die Biegearbeit am Ende größer wird. <span style="color: blue">Die im Stab vorliegende Biegearbeit im Zustand [2] ist größer als in [1], das ist ein Faktum!</span> <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Denn in der Theorie 2.Ordnung werden …</span> <br />- die Krümmungen gemäß w‘‘(x) linearisiert <br />- die Betrachtungen am verformten Stab vorgenommen !!! <br />- die Verformungen weiterhin als klein angesehen <br /> <br />Genau diese Betrachtungen habe ich angestellt und damit die Größenordnung der zusätzlichen Verschiebearbeit herausgearbeitet und damit erklären können. Im weiteren Schritt habe ich dann noch die Grenzbetrachtung hinsichtlich der Elastika noch einbezogen, da eine überkritische Horizontalkraft (im Rahmen der kleinen Verformungen) zulässig ist. <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Denn in der Theorie der Elastika …</span> <br />- ist auch der überkritische Bereich der Horizontalkraft zu betrachten <br />- führt die Grenzbetrachtung bei sehr kleinen Verformungen letztendlich wieder zu der Biegelinien-Lösung im Zustand [2] <br /> <br />Schließlich fällt die Betrachtung bei der Elastika kaum noch ins Gewicht fällt, und daher kann direkt mit der theoretisch kritischen Horizontalkraft gerechnet werden, wie man sie aus den Euler‘schen Knickfällen kennt. Letztendlich kann ich von meiner Seite aus einen Anteil von 99,92% der Biegearbeit im Zustand [2] bestätigen. => Das war ja das Ziel der Fragestellung, den biegeenergetischen Mehreintrag zu erklären. Und damit wäre das Kapitel eigentlich abgeschlossen. Es sei denn, jemand findet noch eine detailliertere und punktgenauere Beschreibung für die zugewonnene Biegearbeit bei [2]. <br /> <br />Celestina</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Apr 2026 11:34<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Da Du in Deiner Rechnung die Annahmen (a -d), die der Euler-Glchg. zugrunde liegen, konsequent ignorierst, macht eine weitere Behandlung der Aufgabe keinen Sinn. <br /> <br />Stabilität <br /> <br />Inneres Moment <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M_{B_i} = \frac{I\cdot (E- \frac{F}{A}) }{\varrho } "> <br /> <br />Äusseres Moment <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M_{B_a} = - F\cdot y"> <br /> <br />Fall <br />1. <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M_{B_a}<M_{B_i}">: Stabiles Gleichgewicht, keine Verformung <br />2. <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M_{B_a}>M_{B_i}">: Instabil, Balken wird zerstört <br />3. <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M_{B_a}=M_{B_i}">: Labiles Gleichgewicht, Geringste Änderung von F führt zu Fall 1 oder 2 (Euler <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{krit}">) <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_p = \frac{F}{A} << E">: Druckspannung vernachlässigbar, keine Längenänderung <br /> <br />D.h. Die Euler Glchg. geht davon aus, dass bei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F<F_{krit}"> der Balken sich weder in der Länge noch in der Form ändert.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Celestina_Shepherd</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 15. Apr 2026 15:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nur der Richtigkeit halber hier noch die Korrektur des Exponenten bei der Horizontalkraft, wenn diese Richtung kritischer Kraft geht (Verbesserung in blau). <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Startsituation: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? F_v=f\cdot \frac{3EI_y}{L^3} "> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? F_h=0 "> <br /> <br />Endsituation: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? F_v=0 "> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? F_h=\frac{EI_y\cdot \pi ^2}{\color{blue} {L^2}\color{black}\cdot 4} "> <br /> <br />Bedingungen vor/nach Kraftumlagerung: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? w_1(x=0)=0=w_2(x=0) "> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? w_1(x=L)=f=w_2(x^*=L-\Delta x) "> <br /> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /> <br />Hierzu sei zu sagen, … <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die Aufgabenstellung ist eindeutig. <br /> <br />Es geht nicht um den Betrag der Differenz, sondern um die Methode. <br />Die unzulässige Verwendung einer Formel in einem nicht den Annahmen entsprechenden Fall kann nicht durch noch so trickreiche Rechnungen geheilt werden. <br /> <br />Der Vergleich eines Ergebnisses einer exakten Methode (Bernoulli) mit dem einer Näherungslösung ( Ritz) führt natürlich zu einer Differenz, was an dem nachstehenden Beispiel deutlich wird. <br /> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />… dass die beiden in der Aufgabenstellung vorangestellten Biegelinien <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? w_1(x) "> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? w_2(x) "> keinesfalls Lösungen sind, die aus verschiedenen Methoden oder Verfahren resultieren!!! Unter der Vorgabe, dass für die zu lösende DGL <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? w'(x)=0 "> gilt, sind diese beiden Biegelinien die exakte Lösungen, wenn die Randbedingungen für den Startzustand [1] bzw. den Endzustand [2] vorliegen. Hier wurde nichts über das Ritz-Verfahren als Näherung hergeleitet! Zumindest nicht von meiner Seite. Hier wurde die Balkentheorie mit der vereinfachten DGL verwendet, also wenn sehr kleine Durchbiegung vorausgesetzt werden. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? EI_y\cdot w''(x)=-M_b(x) "> <br /> <br />Und bei dieser Grenzbetrachtung, wenn f<<L gilt, sind sowohl diese Lösungen der beiden Biegelinien als auch deren Biegearbeiten exakte Lösungen, die vor allem gelten müssen, wenn die Durchbiegung f gegen einen verschwindend kleinen Wert gehen würde. <br /> <br />Was in diesem Zusammenhang somit geklärt werden muss, ist die Diskrepanz der beiden Biegearbeiten für die Biegelinien, denn diese darf in der Größenordnung nicht so einfach auftreten. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{v2}=W_{v1}\cdot \frac{\pi ^4}{96}= W_{v1}\cdot \left(1+\color{red} {0.014678...}\right) \text{!!!} "> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />d) Bis zum Erreichen der kritischen Kraft bleibt der Stab unverformt. Bei Erreichen der kritischen Kraft nimmt der Stab instantan das imaginäre Sinus-Profil an und knickt sofort- <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f \rightarrow\infty ">. <br /> Insofern ergibt sich kein sinnvolles f_max.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />In der Aufgabenstellung geht hervor, dass im Zustand [1] eine kleine Verformung, also die Durchbiegung f, gegeben ist. Von diesem Zustand [1] aus, es liegt damit eine existente Störgröße in Form der Durchbiegung f vor, findet nun die Umlagerung der Kräfte statt. Da ist es selbstredend, dass hier die weiteren Betrachtungen am verformten Stab vorgenommen werden und in die Theorie 2.Ordnung hineingehen. <br /> <br />Und dieses gelingt, indem man sich der Methodik der Linien-Integrale bedient, um die zusätzliche Verschiebe-Arbeit der Horizontalkraft zu berechnen, wenn diese von Null auf die kritische Kraft gesteigert wird, um den Zustand [2] zu erreichen. <br /> <br />=> siehe hierzu auch: <br />„Höhere Technische Mechanik“, Springer Verlag <br />von Istvan Szabo <br />Kapitel I. Prinzipien der Mechanik , §2, 7. <br /> <br />Ich denke, die Methoden und sehr ausgeklügelten Verfahren von Istvan Szabo stehen außer Frage und sie finden in diesem Zusammenhang eine ausgezeichnete Anwendung, um die Lücke der Biegearbeit zu schließen. <br /> <br />Das mit der Kraftumlagerung funktioniert sowohl theoretisch als auch am realen Objekt, weil jeder Durchbiegung f im Zustand [2] eine Horizontalkraft zugeordnet werden kann (Theorie 2.Ordnung, Eulersche Elastika). Auch die FEM hat damit keine Probleme, diesen Umlagerungsprozess von [1] nach [2] zu simulieren. <br /> <br />Für die reine Biegearbeit im Zustand [2] gilt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{v2}=W_{v1}+\frac{F_{krit}\cdot \left(1+\epsilon \right) }{2}\cdot \Delta x "> <br /> <br />wobei der Wert für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \epsilon "> sehr klein ist und mit der Durchbiegung f korrespondiert. Schon sehr kleine Änderungen bei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \epsilon "> bedingen eine rasche Erhöhung von der Durchbiegung f, es ist aber <span style="text-decoration: underline">keine</span> instantane Verformung ins Unendliche. <br /> <br />Bei der Grenzbetrachtung, wenn die Durchbiegung verschwindend klein wird gegenüber der Länge L, lassen sich somit noch weitere Aussagen treffen: (Bei der Funktion K handelt es sich um das Elliptische Integral erster Gattung) <br /> <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? 1+\epsilon=\frac{F_{krit}+\Delta F}{F_{krit}}=\left[\frac{2}{\pi }\cdot K(\xi) \right]^2\approx \left[\frac{2}{\pi }\left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi \cdot \xi}{8}+... \right) \right]^2 "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? 1+ \epsilon \approx \left[\frac{2}{\pi }\left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi \xi}{8} \right) \right] ^2 \approx \left[1+\frac{\xi}{4} \right]^2 \approx 1+\frac{\xi}{2} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \xi=sin\left(\frac{\alpha}{2} \right) \approx \frac{\alpha}{2} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \epsilon \approx \frac{\xi}{2} "> <br /> <br />Der Winkel <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \alpha "> ist dabei der Biegewinkel an der Stelle des Kraftansatzpunktes also am freien Ende des Stabes. Und dieser ist: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? w'_2(x)=\frac{f}{L}\cdot \frac{\pi }{2}\cdot sin\left(\frac{\pi }{2}\frac{x}{L} \right) "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? w'_2(L)=\alpha=\frac{f}{L}\cdot \frac{\pi }{2} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \to \xi=\frac{f}{L}\cdot \frac{\pi }{4} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \to \epsilon=\frac{f}{L}\cdot \frac{\pi }{8} "> <br /> <br />Das bedeutet dann für die Biegearbeit: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{v2}\approx f^2\cdot \frac{3\cdot E\cdot I_y}{2\cdot L^3} +\frac{EI_y\cdot \pi ^2}{\color{black} {L^2}\color{black}\cdot 4}\cdot \frac{\left(1+\frac{f}{L}\cdot \frac{\pi }{8} \right) }{2}\cdot \frac{f^2}{L}\left[\frac{5\pi^2-48}{80} \right] "> <br /> <br /> <br />Celestina</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 14. Apr 2026 14:56<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo Celestina, <br />im Anhang Deines letzten Beitrags ist die Berechnungsmethode transparent dargestellt: Die Biegelinie durch die Horizontalkraft wird nach Euler Fall 1 hergeleitet. <br /> <br />Dazu folgende Anmerkungen: <br /> <br />Der Euler-Gleichung (Theorie 1. Ordnung) liegen folgende Annahmen zugrunde: <br />a) Der Stab hat keine Vorverformung. <br />b) Ausser der axialen Druckkraft gibt es keine weiteren Kräfte. <br />c) Keine Längenänderung des Stabs durch die Druckkraft. <br />d) Bis zum Erreichen der kritischen Kraft bleibt der Stab unverformt. Bei Erreichen der kritischen Kraft nimmt der Stab instantan das imaginäre Sinus-Profil an und knickt sofort- <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f \rightarrow\infty ">. <br /> Insofern ergibt sich kein sinnvolles f_max. <br />Im Gegensatz dazu setzt Du bei den Gleichungen w(x): <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f = fv_{max} = \frac{F_v\cdot l^{3} }{3\cdot E\cdot I} = fh_{max} "> <br /> <br />Fazit: <br />Da keine der Annahmen in der Berechnung erfüllt werden, ist diese schlichtweg falsch. Da helfen auch keine eklektischen Rechnungen. <br />Da die Verformungen sehr klein sind, ist auch der Unterschied der allerdings falsch berechneten Arbeiten sehr klein. Wie ich schon sagte, diese errechnete Differenz entsteht aus einem methodischen Fehler und nicht auf physikalischer Grundlage. <br /> <br />Gruss <br />Mathefix <br /> <br />PS <br />Durch Anwendung der Theorie 2. Ordnung könnte die Vorverformung und Mehrfachbelastung durch variable Kräfte berücksichtigt werden.[</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Celestina_Shepherd</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Apr 2026 12:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? x^*=L-\Delta x "> <br /> <br />Durch diese kleine Verschiebung in x und in Verbindung mit der Horizontalkraft ergibt sich dann die geringe Steigerung der Biegearbeit im Stab, nachdem die Umlagerung erfolgt ist. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{V_1}+\Delta W=W_{V_2} "> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Als Ergänzung habe ich mal den Vorgang der sich hier abspielenden Kraftumlagerung inklusive der biegerelevanten Verformungsarbeiten als Skizze zusammengefasst. <br /> <br /><span style="color: blue">https: / / postimg.cc/4mCrtR4j</span> <br /> <br />Wer sich ein wenig mit FEM auskennt und z.B. ANSYS-Mechanical (etc.) beherrscht, kann sich beispielsweise über das transient-strukturelle Analyse-Tool Gewissheit über den Wert des Deformationsweges <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \Delta x_1 "> verschaffen sowie eine Bestätigung betreffs des möglichen Linearitätsverlauf der Kraftumlagerung finden. Für ein genaues <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \Delta x_2 "> muss man dagegen schon etwas tiefgründiger in den Fundus der Simulationstechniken abtauchen und weitaus aufwändigere Analysen fahren. Schöne Übung für jeden angehenden Berechnungsingenieur der Konstruktion/Strukturmechanik. <img src="images/smiles/wink.gif" alt="Augenzwinkern" border="0" /> <br /> <br />Celestina</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Apr 2026 14:49<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Zitat Celestina: <br /> <br /><span style="font-style: italic">Mir scheint eine Vergrößerung der Biegearbeit um 1,5% einfach zu groß, als dass ich sie als Rechendifferenzen abtun möchte. </span> <br /> <br />Da haben sich unsere Beiträge geschnitten. <br />Meine Berechnung, die exakt Dein Ergebnis reproduziert, zeigt, dass die Differenz ausschliesslich aus der Rechennmethode resultiert. <br /> <br />Tschüss <br /> <br />Mathefix</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Celestina_Shepherd</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Apr 2026 14:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Die Frage ist, gibt es überhaupt eine physikalische Differenz in der Biegearbeit oder handelt es sich um Rechendifferenzen. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich würde weiterhin behaupten: Ja, es ergibt sich eine Differenz in der Biegearbeit, wenn nach der Kraftumlagerung gilt, dass die Vertikalkraft komplett verschwunden ist und durch die Horizontalkraft ersetzt wurde und dass die ganze Zeit lang f=const. geblieben ist. <br /> <br />Wichtig ist, bei diesem Problem zu erkennen, dass bei reiner Biegearbeit sich die Stablänge L, also die Länge der elastischen Linie, nicht verändert. Da aber nach der Kraftumlagerung eine andere Biegelinie vorliegt, kann die Position des Kraftansatzpunktes nicht raumfest bleiben. Man kann lediglich die Durchbiegung f fixieren (konstant halten) auf Kosten einer Bewegung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \Delta x "> in der Horizontalen. <br /> <br />Startsituation: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? F_v=f\cdot \frac{3EI_y}{L^3} "> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? F_h=0 "> <br /> <br />Endsituation: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? F_v=0 "> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? F_h=\frac{EI_y\cdot \pi ^2}{L^3\cdot 4} "> <br /> <br />Bedingungen vor/nach Kraftumlagerung: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? w_1(x=0)=0=w_2(x=0) "> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? w_1(x=L)=f=w_2(x^*=L-\Delta x) "> <br /> <br /> <br />Einen möglichen Weg, diesen Verschiebeweg <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \Delta x "> näherungsweise berechnen zu können, habe ich hiermit versucht aufzuzeigen. Wenn ich hier grundlegend falsch liege, dann lasse ich mich gerne korrigieren und mir auch zeigen, welcher exakte Verschiebeweg wirklich vorliegt (?). - Sollte hingegen gar kein Verschiebeweg nötig sein, also die Position vom Kraftansatzpunkt darf raumfest sein und die damit verbundene Biegearbeit im Stab wäre konstant, dann würde ich ebenfalls gerne sehen, wie man das schaffen kann, ohne eine zusätzliche Längsdehnung im Stab zu provozieren, die nicht erlaubt ist. <br /> <br />Ich denke, auch wenn ich nicht die punktgenaue Lösung geliefert haben sollte, so ist sie doch recht nahe an der Wahrheit und erklärt die Diskrepanz. Mir scheint eine Vergrößerung der Biegearbeit um 1,5% einfach zu groß, als dass ich sie als Rechendifferenzen abtun möchte. Aus diesem Grund habe ich ja diese Frage gestellt. <br /> <br />Celestina</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Apr 2026 12:17<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die Aufgabenstellung ist eindeutig. <br /> <br />Es geht nicht um den Betrag der Differenz, sondern um die Methode. <br />Die unzulässige Verwendung einer Formel in einem nicht den Annahmen entsprechenden Fall kann nicht durch noch so trickreiche Rechnungen geheilt werden. <br /> <br />Der Vergleich eines Ergebnisses einer exakten Methode (Bernoulli) mit dem einer Näherungslösung ( Ritz) führt natürlich zu einer Differenz, was an dem nachstehenden Beispiel deutlich wird. <br /> <br />Durchbiegung fest eingespannter Kragbalken durch Vertikalkraft entsprechend der Aufgabenstellung: <br /> <br />Exakte Lösung (Bernoulli) <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?w_B(x) = \frac{F}{6\cdot E\cdot I} \cdot (3\cdot l\cdot x^{2} -x^{3} )"> <br /> <br />Näherungslösung (Ritz) <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?w_R(x) \approx \frac{32\cdot F\cdot l^{3} }{E\cdot I\cdot \pi ^{4} } \cdot (\cos(\frac{\pi }{2\cdot l} \cdot x)-1) "> <br /> <br />Vergleich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x=l: w_R = \frac{96}{\pi ^{4} } \cdot w_B =0,9875 \cdot w_B"> <br /> <br />Das ergibt genau Unterschied in der Biegearbeit, den Du errechnet hast. <br /> <br />D.h. Die Differenz in der Biegearbeit resultiert aus dem Vergleich der exakten Lösung mit der Näherungslösung. <br /> <br />Damit ist m.E. das Thema erschöpfend behandelt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Celestina_Shepherd</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Apr 2026 11:03<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Hallo Celestina, <br /> <br />1. Lt. Aufgabenstellung soll der Kraftangriffspunkt unverändert bleiben: <br /> <br /><span style="font-style: italic">"Bei dieser Kraftumlagerung bleiben also zwei Punkte von der Biegelinie unverändert, nämlich der Punkt an der Einspannstelle x=0 und am Kraftansatzpunkt x=L."</span> <br /> <br />Insofern geht Deine Rechnung an der Aufgabenstellung vorbei.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Daher hatte ich ja meinen Korrekturhinweis sofort nachgereicht, da bei strikter Einhaltung der Aufgabenstellung die Kraftumlagerung niemals dazu führt, dass die Vertikalkraft zu Null wird. Diese Unvereinbarkeit hatte ich versucht zu lösen, indem ich den Freiheitsgrad des Verschiebeweges eingeführt habe und der bringt zusätzliche Biegearbeit ins System, so wie es sich auch angedeutet hat. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Mir fällt auf, ein klitzekleiner Korrekturhinweis müsste bei dieser Aufgabenstellung noch ergänzt werden. Wenn bei der Kraftumlagerung bei einer konstanten Durchbiegung f nur noch allein die Horizontalkraft F_h wirkt, dann kann das theoretisch nicht mehr bei x=L geschehen, sondern bei <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? x^*=L-\Delta x "> <br /> <br />Durch diese kleine Verschiebung in x und in Verbindung mit der Horizontalkraft ergibt sich dann die geringe Steigerung der Biegearbeit im Stab, nachdem die Umlagerung erfolgt ist. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{V_1}+\Delta W=W_{V_2} "> <br /> <br />Die kleine Verschiebung in x sollte sich dann in dieser Größenordnung abspielen. <br /> <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac{f^2}{L}\cdot \left[\frac{\pi^4 -96}{8\cdot \pi ^2} \right] > \Delta x >\frac{f^2}{L}\cdot \left[\frac{\pi^4 -96}{16\cdot \pi ^2} \right] "></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Abschließend kann man nun auch eine End-Kontrolle durchführen, welche Biegearbeit herauskäme, wenn man den zusätzlichen Verschiebeweg <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \Delta x "> berücksichtigen würde. <br />Hierzu setzt man an, dass bei sehr kleinen Durchbiegungen f ein lineares Zurückfahren der Vertikalkraft mit einer gleichzeitig linearen Zunahme der Horizontalkraft einhergeht bis diese zum Schluss als alleinige kritische Kraft der Eulerschen Ausknickung vorliegt. <br /> <br />Anfängliche Vertikalkraft: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? F_v=f\cdot \frac{3EI_y}{L^3} "> <br /> <br />Abschließende Horizontalkraft: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? F_h=\frac{EI_y\cdot \pi ^2}{L^2\cdot 4}=F_{krit} "> <br /> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{V_2}=W_{V_1}+\frac{F_h}{2}\cdot \Delta x"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{V_2}=f^2\cdot \frac{3EI_y}{2\cdot L^3}+\frac{EI_y\cdot \pi ^2}{L^2\cdot 8}\cdot \frac{f^2}{L}\cdot \left(\frac{5\pi ^2-48}{80} \right) "> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{V_2}=f^2\cdot \frac{3EI_y}{2\cdot L^3}\cdot \left[1+\frac{\pi ^2}{12}\cdot \left(\frac{5\pi ^2-48}{80} \right) \right] "> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{V_2}=W_{V_1}\cdot \left[1+\frac{\pi ^4}{192}-\frac{\pi ^2}{20} \right] "> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{V_2}=W_{V_1}\cdot \frac{\pi ^4}{96}\cdot \left[\frac{96}{\pi ^4}+\frac{1}{2}-\frac{24}{5\pi ^2} \right] "> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{V_2}=W_{V_1}\cdot \frac{\pi ^4}{96}\cdot \left(0.99919...\right) \approx W_{V_1}\cdot \frac{\pi ^4}{96}"> <br /> <br />Die kleinen Ungereimtheiten, die jetzt noch übrig geblieben sind, können somit durch die Näherungen bei den Linienintegralen erklärt werden, wo ich z.B. im Fall der Biegelinie bzgl. <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? w_2(x) "> die höheren Ordnungen von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? k^4, k^6,. . . "> nicht mehr betrachtet habe, die beim Elliptischen Integral 2.Art auftauchen würden an der Entwicklungsstelle <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? {-k^2 \to 0} ">. <br /> <br />Das, was ich hier zumindest versucht habe, ist ein noch nachvollziehbarer Erklärungsversuch, woher die kleine Differenz der Biegearbeit resultierte. Wer möchte, kann nun natürlich in die präzise und sehr komplexe Balkentheorie hineingehen und dort nach Lösungen suchen, wie sich die Formänderungsenergien wirklich verhalten. Aber das wird eine echte mathematische Herausforderung werden, davon gehe ich mal aus. Denn, um den aktuellen Vergleichsfaktor 0.99919... in Richtung 1.00000 ... zu bekommen, dazu gehört schon was. Ich wette, dass das niemand schaffen wird, ohne eine größere Abhandlung daraus zu machen. <br /> <br />Celestina</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Apr 2026 10:04<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo Celestina, <br /> <br />1. Lt. Aufgabenstellung soll der Kraftangriffspunkt unverändert bleiben: <br /> <br /><span style="font-style: italic">"Bei dieser Kraftumlagerung bleiben also zwei Punkte von der Biegelinie unverändert, nämlich der Punkt an der Einspannstelle x=0 und am Kraftansatzpunkt x=L."</span> <br /> <br />Insofern geht Deine Rechnung an der Aufgabenstellung vorbei. <br /> <br />2. Eine Längenänderung auf Basis der Biegegleichung, die von unveränderlicher Länge ausgeht, zu berechnen ist in sich unlogisch. <br /> <br />3. Die Biegegleichung durch die Vertikalkraft hast Du nach Bernoulli, die durch die Horizontalkraft nach dem Ritz- (Näherungs)Verfahren bestimmt. Dadurch kann eine Differenz entstehen. Im übrigen geht auch Ritz von konstanter Länge aus. <br /> <br />4. Bevor man eine Formel anwendet, sollte man die Annahmen kennen. <br />Man kann auch auf Grundlage falscher Annahmen sehr genau (klitzeklein) rechnen. <br /> <br />Gruss <br />Mathefix</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Celestina_Shepherd</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Apr 2026 20:07<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Hallo Celestina, <br /> <br />da nach Deinen Gleichungen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?w1'(x) \neq w2'(x) "> ist, sind auch die Längen L 1 und L2 wg. <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?L =\int_0^l \!\sqrt{1+w'^{2} }\, \dd x "> verschieden. <br />Das steht im Widerspruch zur Herleitung der Biegeline, in der wegen der geringen Durchbiegung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?w'^{2} = 0 "> gesetzt wird. <br /> <br />Dehnung in Längsrichtung wird vernachlässigt. <br /> <br />Vllt. erklärt das den klitzekleinen Unterschied in der Biegearbeit. <br /> <br />Gruss <br />Mathefix</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ja, der Knackpunkt ist, dass man bei der Fragestellung die Position des Kraftansatzpunktes (x|w(x)) nicht als fixe Koordinate behalten kann!!! Man muss sich entscheiden, ob die Durchbiegung f unverändert bleibt, dann bleibt die Position in x als Freiheitsgrad offen, oder man hält die x-Koordinate des Kraftansatzpunktes fest und muss dafür die Durchbiegung dort als Freiheitsgrad offen lassen. <br /> <br />Für den Fall, dass f=const. bleibt, habe ich ja oben schon eine Größenabschätzung für den Verschiebeweg <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \Delta x "> abgegeben. Daraus ergibt sich quasi die Differenz bei der Biegearbeit. <br /> <br />Diesen Verschiebeweg kann man nachrechnen, indem die besagten Linienintegrale der beiden Fälle berechnet werden und dann die Differenz daraus gebildet wird. #) <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? w_1'(x)=\frac{f}{L}\left[3\frac{x}{L}-\frac{3}{2}\left(\frac{x}{L} \right)^2 \right] "> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? w_2'(x)=\frac{f}{L}\frac{\pi }{2} sin\left(\frac{\pi }{2}\frac{x}{L} \right)= k\cdot sin\left(\frac{\pi }{2}\frac{x}{L} \right) "> <br />mit <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? k=\frac{f}{L}\frac{\pi }{2}"> <br /> <br />für sehr, sehr kleine Durchbiegungen f gilt dann: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? L^*_1=\int_{0}^{L} \! \sqrt{1+\left(w_1'(x)\right)^2 } \, dx \approx \int_{0}^{L} \! \left({1+\frac{1}{2} \left(w_1'(x)\right)^2 }\right) \, dx =L\left(1+\frac{3}{5}\frac{f^2}{L^2} \right) "> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? L^*_2=\int_{0}^{L} \! \sqrt{1+\left(w_2'(x)\right)^2 } \, dx =\frac{2L}{\pi } E\left(-k^2\right) \approx \frac{2L}{\pi }\left[\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{8}k^2 \right] "> <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? L^*_2=L\left[1+\frac{k^2}{4} \right]= L\left[1+\frac{f^2}{L^2}\frac{\pi^2}{16} \right] "> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \Delta x=L^*_2-L^*_1=L\cdot \frac{f^2}{L^2}\left[\frac{\pi^2}{16}-\frac{3}{5} \right]=\frac{f^2}{L}\left[\frac{5\pi^2-48}{80} \right] "> <br /> <br />Celestina <br /> <br />#) siehe hierzu auch: <br />„Höhere Technische Mechanik“, Springer Verlag <br />von Istvan Szabo <br />Kapitel I., §2, 7. Ritz´sches Verfahren (2.51)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Apr 2026 13:57<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo Celestina, <br /> <br />da nach Deinen Gleichungen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?w1'(x) \neq w2'(x) "> ist, sind auch die Längen L 1 und L2 wg. <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?L =\int_0^l \!\sqrt{1+w'^{2} }\, \dd x "> verschieden. <br />Das steht im Widerspruch zur Herleitung der Biegeline, in der wegen der geringen Durchbiegung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?w'^{2} = 0 "> gesetzt wird. <br /> <br />Dehnung in Längsrichtung wird vernachlässigt. <br /> <br />Vllt. erklärt das den klitzekleinen Unterschied in der Biegearbeit. <br /> <br />Gruss <br />Mathefix</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Celestina_Shepherd</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. März 2026 11:31<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Mir fällt auf, ein klitzekleiner Korrekturhinweis müsste bei dieser Aufgabenstellung noch ergänzt werden. Wenn bei der Kraftumlagerung bei einer konstanten Durchbiegung f nur noch allein die Horizontalkraft F_h wirkt, dann kann das theoretisch nicht mehr bei x=L geschehen, sondern bei <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? x^*=L-\Delta x "> <br /> <br />Durch diese kleine Verschiebung in x und in Verbindung mit der Horizontalkraft ergibt sich dann die geringe Steigerung der Biegearbeit im Stab, nachdem die Umlagerung erfolgt ist. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{V_1}+\Delta W=W_{V_2} "> <br /> <br />Die kleine Verschiebung in x sollte sich dann in dieser Größenordnung abspielen. <br /> <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac{f^2}{L}\cdot \left[\frac{\pi^4 -96}{8\cdot \pi ^2} \right] > \Delta x >\frac{f^2}{L}\cdot \left[\frac{\pi^4 -96}{16\cdot \pi ^2} \right] "></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Celestina_Shepherd</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. März 2026 12:41<span class="gen"> </span> Titel: Verformungsarbeit von der Biegelinie bei Kraftumlagerung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo Zusammen, <br /> <br />ich beschäftige mich gerade mit der Verformungsarbeit bei der „Elastischen Linie“ (Biegelinie), wenn sich an einem verformten Stab eine Kraftumlagerung vollzieht. Es ist eigentlich ein typisches Problem der Technischen Mechanik im Rahmen der idealisierten „Balkentheorie a la Bernoulli“. <br /> <br /><span style="text-decoration: underline">Problemstellung:</span> <br />Ein horizontal angeordneter Stab (in x-Richtung) mit konstantem Querschnitt und der Länge L ist bei x=0 fest eingespannt und wird an der anderen Stabseite bei x=L durch eine Vertikalkraft F_v belastet (in z-Richtung), sodass sich der Stab dort um den Durchbiegungswert f absenkt. Der Stab hat ein Flächenträgheitsmoment I_y (Biegeachse um y) und ein Elastizitäts-Modul E. <br /> <br /><span style="text-decoration: underline">Gemäß der Bernoulli-Hypothese gilt:</span> <br />Ebene Querschnitte vor der Verbiegung bleiben auch bei der Verbiegung weiterhin eben und verwölben sich nicht. Es soll also nur reine Biegearbeit am Stab geleistet werden bzw. betrachtet werden. <br />Außerdem sei die Durchbiegung f sehr gering gegenüber der Stablänge (f<<L) und die elastische Linie (Biegelinie) genügt der Forderung, dass die 2.Ableitung der Biegelinie w‘‘(x) proportional zum Biegemoment Mb(x) ist. <br /> <br /><span style="text-decoration: underline">Nun zur Fragestellung:</span> <br />Am Punkt der ansetzenden Vertikalkraft F_v bei x=L wird jetzt eine variable Horizontalkraft F_h ergänzt, welche also parallel zur x-Achse in Richtung der Einspannstelle wirken soll. Das Szenario sei, dass nun die Vertikalkraft kontinuierlich bis auf den Nullwert verringert wird, während zeitgleich die Horizontalkraft vom Nullwert aufwärts kontinuierlich gesteigert wird, wobei sich die ganze Zeit die Durchbiegung f bei x=L nicht zu verändern hat. <br /> <br />Vertikalkraft: F_v => 0 <br />Horizontalkraft: 0 => F_h <br /> <br />Bei dieser Kraftumlagerung bleiben also zwei Punkte von der Biegelinie unverändert, nämlich der Punkt an der Einspannstelle x=0 und am Kraftansatzpunkt x=L. Die restlichen Punkte der Biegelinie werden durch die Kraftumlagerung stetig neu positioniert. <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Ist die Verformungsarbeit im Stab (Biegearbeit) nach der Kraftumlagerung größer oder kleiner oder eventuell sogar gleich geblieben?</span> <br /> <br /><span style="text-decoration: underline">Meine Idee:</span> <br />Bzgl. der Vertikalkraft bin ich von folgender Biegelinie <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? w_1(x) "> ausgegangen: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? w_1(x)=f\cdot \left[\frac{3}{2}\left(\frac{x}{L} \right)^2 -\frac{1}{2}\left(\frac{x}{L} \right)^3 \right] "> <br /> <br />Für die Verformungsarbeit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{V_1} "> erhalte ich dann dieses Ergebnis: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{V_1}=f^2\cdot \frac{3\cdot E\cdot I_y}{2\cdot L^3} "> <br /> <br />Als Ansatzfunktion für die zweite Biegelinie habe ich dann gewählt (wenn statt der Vertikalkraft eine Horizontalkraft wirkt): <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? w_{2}(x)=f\cdot \left[1-cos\left(\frac{\pi}{2} \cdot \frac{x}{L} \right) \right] "> <br /> <br />Das ergibt die Verformungsarbeit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{V_2} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{V_2}=\frac{E\cdot I_y}{2}\cdot \int_{x=0}^{x=L} \! \left[w_{2}^{''}(x)\right]^2 \, dx "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{V_2}=f^2\cdot \frac{E\cdot I_y\cdot \pi ^4}{64\cdot L^3} "> <br /> <br />womit sich die Beziehung ergäbe: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? W_{V_2}=W_{V_1}\cdot \frac{\pi ^4}{96} "> <br /> <br />Das würde bedeuten, dass sich die Verformungsarbeit um nicht einmal 1.5% vergrößern würde, wenn die Kraftumlagerung vollzogen wurde. Liege ich da soweit richtig? <br /> <br />Grüße von Celestina</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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