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[quote="PPS"][quote="Corbi"][quote] Im Grenzwert h->0 bleibt keine Quantenmechanik mehr übrig. Das ergibt vielleicht eine klassische Feldgleichung für einen freien Spinor, aber keine Quantenmechanik für ein Spin-1/2-Teilchen. Die relativistische Quantentheorie eines freien Elektrons und die Quantenfeldtheorie des freien Diracfeldes sind identisch. Deine Gegenüberstellung zwischen Quantenfeldtheorie und "Quantenmechanik" des Elektorns kann ich nicht nachvollziehen.[/quote] Im limes h gegen 0 für das Pfadintegral über S erhälst du die Euler-Lagrange-Gleichung und damit die Dirac-Gleichung des Teilchens. [/quote] Das ist klar. Das heißt aber noch nicht, dass es sich dabei um die Quantenmechanik des freien Elektrons handelt. Welcher Hilbertraum folgt aus dieser Prozedur? Wie lautet die Operatoralgebra?[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 28. Feb 2026 10:15<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Ich kenne leider keine. Ich sprach aber auch nicht von konstruktiver QFT, sondern allgemein von axiomatischer QFT. Dort beweist man komplett rigoros Aussagen über Quantenfeldtheorien aus z.B. den Wightman- oder Haag-Kastler Axiomen. Klassische Resultate wären natürlich das PCT-, das Spin-Statistic-Theorem oder die Haag-Ruelle-Streutheorie als rigorose Alternative zur heuristischen Variante im nichtexistenten Diracbild. (Alles ohne Pfadintegrale.) Auch perturbative QFT läßt sich rigoros konstruieren (Stichworte: kausale Störungstheorie und Deformationsquantisierung), ohne dass dabei Pfadintegrale eine besondere Rolle spielen würden. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Verstehe. Aber das Problem bei diesem Ansatz ist ebenso, dass niemand zeigen kann, dass nichttriviale Operatoralgebren existieren, die die Axiome erfüllen - oder? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Das macht ja nichts. Das ist gar nicht mein Anspruch. Ich wollte nur eine Vorstellung davon bekommen, was genau in dem Buch bewiesen wird, das Du zitiert hast.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /> <img src="images/smiles/up.gif" alt="Thumbs up!" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>PPS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Feb 2026 19:14<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />In welchen Arbeiten werden die Schwingerfunktionen ohne Pfadintegral konstruiert? würde mich über eine Quelle freuen :-)</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich kenne leider keine. Ich sprach aber auch nicht von konstruktiver QFT, sondern allgemein von axiomatischer QFT. Dort beweist man komplett rigoros Aussagen über Quantenfeldtheorien aus z.B. den Wightman- oder Haag-Kastler Axiomen. Klassische Resultate wären natürlich das PCT-, das Spin-Statistic-Theorem oder die Haag-Ruelle-Streutheorie als rigorose Alternative zur heuristischen Variante im nichtexistenten Diracbild. (Alles ohne Pfadintegrale.) Auch perturbative QFT läßt sich rigoros konstruieren (Stichworte: kausale Störungstheorie und Deformationsquantisierung), ohne dass dabei Pfadintegrale eine besondere Rolle spielen würden. <br /> <br />Die explizite Konstruktion von Modellen für z.B. die OS-Axiome mittels euklidischer Pfadintegrale oder anderer Methoden ist für mich einfach ein anderes viel spezielleres Thema und hat keinen Alleinanspruch auf Rigorosität. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Wenn du natürlich die volle Lorentzinvariante, Wechselwirkende QFT ala Millenium-Problem willst - liefert dir die Theorie der Fresnelintegrale natürlich auch noch keine Lösung.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das macht ja nichts. Das ist gar nicht mein Anspruch. Ich wollte nur eine Vorstellung davon bekommen, was genau in dem Buch bewiesen wird, das Du zitiert hast.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Feb 2026 18:11<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Mit d=3 im Minkowskiraum? Und da soll am Ende was Nichttriviales rauskommen? Da bleibe ich skeptisch. Soweit ich weiß gibt es überhaupt keine rigorose Definition einer nichtperturbativen wechselwirkenden QFT in 4 Dimensionen, weil sie bis jetzt alle am Trivialitätsproblem scheitern. Hast du dafür eine offene Quelle? </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />ja für beliebige Dimensionen d im Minkowski-Raum. Es wird aber sowohl ein UV-Cutoff als auch ein IR-Cutoff eingeführt. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ja, und genau das ist der Haken. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Renormierung wird nicht diskutiert. Trivialitätsprobleme treten ja in der Regel erst bei der Renormierung auf. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Was heißt erst? Die treten auf wenn du versuchst die Cutoffs loszuwerden. Das ist ja gerade das Problem. Vorher hast du keine lorentzinvariante Theorie. Also sind auch weder die Wightman- noch die OS-Axiome erfüllt.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /> <img src="images/smiles/zunge.gif" alt="Zunge" border="0" /> <img src="images/smiles/up.gif" alt="Thumbs up!" border="0" /> <br /> <br />ja kommt immer darauf aus welcher Perspektive du es betrachtest. Aus Sicht der mathematischen Physik ist auch das Studium niederenergetischer Modelle interessant bei der z.B. ein UV-Cutoff erhalten bleibt und man die Eigenschaften des Modells mit Cutoff rigoros studiert. <br /> <br />Wenn du natürlich die volle Lorentzinvariante, Wechselwirkende QFT ala Millenium-Problem willst - liefert dir die Theorie der Fresnelintegrale natürlich auch noch keine Lösung.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>PPS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Feb 2026 18:04<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Mit d=3 im Minkowskiraum? Und da soll am Ende was Nichttriviales rauskommen? Da bleibe ich skeptisch. Soweit ich weiß gibt es überhaupt keine rigorose Definition einer nichtperturbativen wechselwirkenden QFT in 4 Dimensionen, weil sie bis jetzt alle am Trivialitätsproblem scheitern. Hast du dafür eine offene Quelle? </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />ja für beliebige Dimensionen d im Minkowski-Raum. Es wird aber sowohl ein UV-Cutoff als auch ein IR-Cutoff eingeführt. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ja, und genau das ist der Haken. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Renormierung wird nicht diskutiert. Trivialitätsprobleme treten ja in der Regel erst bei der Renormierung auf. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Was heißt erst? Die treten auf wenn du versuchst die Cutoffs loszuwerden. Das ist ja gerade das Problem. Vorher hast du keine lorentzinvariante Theorie. Also sind auch weder die Wightman- noch die OS-Axiome erfüllt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Feb 2026 17:55<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Mit d=3 im Minkowskiraum? Und da soll am Ende was Nichttriviales rauskommen? Da bleibe ich skeptisch. Soweit ich weiß gibt es überhaupt keine rigorose Definition einer nichtperturbativen wechselwirkenden QFT in 4 Dimensionen, weil sie bis jetzt alle am Trivialitätsproblem scheitern. Hast du dafür eine offene Quelle? </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />ja für beliebige Dimensionen d im Minkowski-Raum. Es wird aber sowohl ein UV-Cutoff als auch ein IR-Cutoff eingeführt. Renormierung wird nicht diskutiert. Trivialitätsprobleme treten ja in der Regel erst bei der Renormierung auf. Eine andere Quelle als das Buch kenne ich dazu nicht. <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Wie gesagt sind meine Zweifel am Pfadintegral nicht so allgemein, wie ich es ursprünglich formuliert hatte. Ich wollte nur darauf hinaus, dass Pfadintegrale nicht relevant sind um QFTs rigoros zu behandeln. Es gibt rigorose Behandungen, die keine Pfadintegrale verwenden. Selbst die OS-Axiome erwähnen sie gar nicht. (Auch wenn man Schwingerfunktionen in einigen Modellen mit Pfadintegralen berechnen kann.)</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Verstehe! Alles klar... In welchen Arbeiten werden die Schwingerfunktionen ohne Pfadintegral konstruiert? würde mich über eine Quelle freuen :-)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>PPS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Feb 2026 17:44<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Meine Aussage war zu allgemein formuliert. Ich bezog mich eigentlich nur auf wechselwirkende Feldtheorien im 4 dimensionalen Minkowskiraum, nicht auf QM. Ich vermute dazu steht in dem Buch auch nicht viel rigoroses? <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />doch es wird ein selbstwechselwirkendes Skalarfeld in 1+d dimensionen mit einem Wechselwirkungspotential aus der sogenannten Fresnel-Algebra (= Fourier-transformationen von beschränkten complexen Maßen) behandelt. Beispielsweise die Wechselwirkung der Sine-Gordon-Theorie fällt in diese Klasse. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /> <br />Mit d=3 im Minkowskiraum? Und da soll am Ende was Nichttriviales rauskommen? Da bleibe ich skeptisch. Soweit ich weiß gibt es überhaupt keine rigorose Definition einer nichtperturbativen wechselwirkenden QFT in 4 Dimensionen, weil sie bis jetzt alle am Trivialitätsproblem scheitern. Hast du dafür eine offene Quelle? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Ich wollte darauf hinaus, dass eben nicht nur euklidische Pfadintegrale wohldefiniert sind, sondern es auch relativ gut verstandene, rigorose oszillatorische Pfadintegrale im Minkowski-Raum gibt. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Wie gesagt sind meine Zweifel am Pfadintegral nicht so allgemein, wie ich es ursprünglich formuliert hatte. Ich wollte nur darauf hinaus, dass Pfadintegrale nicht relevant sind um QFTs rigoros zu behandeln. Es gibt rigorose Behandungen, die keine Pfadintegrale verwenden. Selbst die OS-Axiome erwähnen sie gar nicht. (Auch wenn man Schwingerfunktionen in einigen Modellen mit Pfadintegralen berechnen kann.)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Feb 2026 17:09<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Meine Aussage war zu allgemein formuliert. Ich bezog mich eigentlich nur auf wechselwirkende Feldtheorien im 4 dimensionalen Minkowskiraum, nicht auf QM. Ich vermute dazu steht in dem Buch auch nicht viel rigoroses? <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />doch es wird ein selbstwechselwirkendes Skalarfeld in 1+d dimensionen mit einem Wechselwirkungspotential aus der sogenannten Fresnel-Algebra (= Fourier-transformationen von beschränkten complexen Maßen) behandelt. Beispielsweise die Wechselwirkung der Sine-Gordon-Theorie fällt in diese Klasse. <br /> <br />Ich wollte darauf hinaus, dass eben nicht nur euklidische Pfadintegrale wohldefiniert sind, sondern es auch relativ gut verstandene, rigorose oszillatorische Pfadintegrale im Minkowski-Raum gibt. <br /> <br />Physikalisch relevante Wechselwirkungen zu behandeln ist sowohl für das Euklidische Pfadintegral als auch für das Fresnelintegral ein offenes Problem.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>PPS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Feb 2026 14:24<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>jh8979 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Telefonmann hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">In der Praxis der Quantenfeldtheorie geht es um Übergangsamplituden</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das stimmt zwar, ist für das Thema hier aber möglicherweise unerheblich.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wo findest du denn ansonsten Pfadintegrale?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Aus mathematischer Perspektive sind die relevant um überhaupt zu einer mathematischen rigorosen Definition einer QFT zu kommen. (Siehe bspw. Osterwalder-Schrader-Axiome oder das Buch "Mathematical Theory of Feynman Path Integrals" von Albeverio und Co.) <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Die Osterwalder-Schrader Axiome sind Aussagen über die Schwingerfunktionen der Feldtheorie. Sie sind aber unabhängig vom Pfadintegral-Formalimus. Wenn allerdings überhaupt eine Hoffnung für eine mathematisch annehmbare Definition für Pfadintegrale besteht, dann wohl nur in der euklidischen Feldtheorie. Es ist also eher so, dass euklidische Feldtheorie für eine rigorose Definition der Pfadintegrale relevant ist, nicht Pfadintegrale für eine rigirose Definition der QFT. Für die QFT braucht man nur Wightmann oder eben Osterwalder-Schrader-Axiome und Rekonstruktionstheorem, keine Pfadintegrale.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Soweit ich weiß sind Euklidische Pfadintegrale der typische (einzige?) Zugang zur Konstruktion der Schwingerfunktionen. Ich kenne keine Konstruktion einer Euklidischen QFT ohne Pfadintegral. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das Problem war auch nicht eine euklidische QFT zu konstruieren, sondern mathematisch rigoros zu definieren, was eine QFT auf dem Minkowskiraum ist. Für Euklidische QFTs interessiert man sich (zumindest aus physikalischer Sicht) doch nur, weil sie leichter z.B. mittels Pfadintegralen zu behandeln sind <span style="font-weight: bold">und</span> es dank OS-Theorem einen Zusammenhang zu Minkowski-QFTs gibt. Aber letztere sind bereits durch die Wightman-Axiome rigoros definiert. Die beziehen sich weder auf euklidische Feldtheorie noch auf Pfadintegrale. <br /> <br />Und den OS-Axiomen ist egal wo die Schwingerfunktionen herkommen, ob von einem euklidischen Pfadintegral oder aus wickrotierten Wightmanfunktionen. Sie sagen dir in jedem Fall ganz rigoros, ob es sich dabei um eine Minkowski-QFT handelt. <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wenn allerdings überhaupt eine Hoffnung für eine mathematisch annehmbare Definition für Pfadintegrale besteht, dann wohl nur in der euklidischen Feldtheorie.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Dem kann ich nicht zustimmen. Siehe das Buch "Mathematical Theory of Feynman Path Integrals" von Albeverio und Co. Hier wurden bereits QFTs direkt im Minkowski-Raum konstruiert durch sogenannte unendlichdimensionale Fresnel-Integrale. Ebenso rigorose Pfadintegralkonstruktionen für die QM.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Meine Aussage war zu allgemein formuliert. Ich bezog mich eigentlich nur auf wechselwirkende Feldtheorien im 4 dimensionalen Minkowskiraum, nicht auf QM. Ich vermute dazu steht in dem Buch auch nicht viel rigoroses? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> Das Problem hierbei ist bis jetzt aber interessante Wechselwirkungen zu behandeln - nicht das Pfadintegral an sich. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ja, natürlich ist das das Problem. Ohne interessante Wechselwirkungen brauche ich ja erst recht kein Pfadintegral. Und mit Wechselwirkungen ist es schwierig zu definieren. Im Gegensatz zu Wightman- oder Schwingerfunktionen, die leicht zu definieren sind (über die jeweiligen Axiome), nur eben schwer in physikalisch relevanten Fällen explizit zu kontruieren.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Feb 2026 14:06<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Aus mathematischer Perspektive sind die relevant um überhaupt zu einer mathematischen rigorosen Definition einer QFT zu kommen. (Siehe bspw. Osterwalder-Schrader-Axiome oder das Buch "Mathematical Theory of Feynman Path Integrals" von Albeverio und Co.)</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das geht aber von einer euklidischen Version der Theorie aus, und es lässt m.W.n. offen, ob und wie die Minkowskische daraus rigoros rekonstruiert werden kann. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />nein das Osterwalder-Schrader-Theorem sagt dir, dass sobald ihre Axiome erfüllt sind, eine analytische Fortsetzung in den Minkowski-Raum existiert und man die Wightman-funktionen erhält. <br />Das Problem besteht bis jetzt eher darin eine physikalisch relevante Euklidische Theorie zu konstruieren, die die Axiome erfüllt. Sobald man das hat, hat man auch die Theorie im Minkowski-Raum.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Okay, sorry da hatte ich mich missverständlich ausgedrückt. Nach meinem Verständnis liefert das Osterwald-Schrader-Theorem eine formale Absicherung der Wick-Rotation, nicht mehr und nicht weniger. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das Problem besteht bis jetzt eher darin eine physikalisch relevante Euklidische Theorie zu konstruieren, die die Axiome erfüllt. Sobald man das hat, hat man auch die Theorie im Minkowski-Raum.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja, das ist genau der Punkt, den ich mit <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">es lässt offen, ob und wie die Minkowskische daraus rigoros rekonstruiert werden kann</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />meinte. <br /> <br />Wenn man die QFT als Sammlung aller Korrelationsfunktionen auffasst, dann kann man mittels des Theorems zwischen den Euklidschen und Minkowskischen übersetzen; aber man erhält diese Gesamtheit nicht mittels des Theorems. <br /> <br />Für praktische Anwendungsfälle lägen wohl unendliche Produkte und Summen von Feldoperatoren vor, mittels der dann die entsprechenden Wightman-oder Schwinger-Funktionen zu berechnen sind. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ist es tatsächlich so, dass man das im Rahmen der Pfadintegralquantisierung exakt durch-x-en kann?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Für bestimmte Modelle wie zum Beispiel das Nelson-Model (welches ein Quantemechanisches Teilchen gekoppelt an ein Quantenfeld beschreibt und eine gute nichtrelativistische Beschreibung von Strahlung-Materie-Wechselwirkung ist) ist Beispielsweise die Existenz eines nichttrivialen UV-Limits mathematisch exakt bewiesen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Danke, das kannte ich so noch nicht. <br /> <br />Mir war nicht bewusst, dass dabei das Pfadintegral bei derartigen Beweisen eine zentrale Rolle spielt. Ich hatte es lediglich als praktisches Rechenwerkzeug aufgefasst. <br /> <br />Beispiel tief-inelastische Elektronen-Nukleon-Streuung; zu berechnen ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?W^{ik}_{\mu\nu} = \int d^4x \, e^{iqx} \, \langle N | [ J^i_{\mu}(x), J_\nu^k(0) ] | N \rangle"> <br /> <br />Das Pfadintegral liefert zunächst Methoden, wie man mit den elektromagnetischen Strömen und deren Renormierung umgeht, jedoch nichts bzgl. des Nukleonen-Zustandes. Auch der Nukleon-Zustand wird zunächst mittels eines drei-Quark-Operators auf das Gitter gesetzt, Sea-Quark-Korrekturen sind dann dynamisch. <br /> <br />Vergleicht man das mit der nicht-relativistische Quantenmechanik, so liefert die Quantenfeldtheorie mittels Pfadintegral, deutlich weniger, insbesondere nicht die korrekten Multiplets der Eigenzustände des Hamiltonians; diese kennt man nur aus dem Experiment.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Feb 2026 12:18<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>jh8979 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Telefonmann hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">In der Praxis der Quantenfeldtheorie geht es um Übergangsamplituden</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das stimmt zwar, ist für das Thema hier aber möglicherweise unerheblich.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wo findest du denn ansonsten Pfadintegrale?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Aus mathematischer Perspektive sind die relevant um überhaupt zu einer mathematischen rigorosen Definition einer QFT zu kommen. (Siehe bspw. Osterwalder-Schrader-Axiome oder das Buch "Mathematical Theory of Feynman Path Integrals" von Albeverio und Co.) <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Die Osterwalder-Schrader Axiome sind Aussagen über die Schwingerfunktionen der Feldtheorie. Sie sind aber unabhängig vom Pfadintegral-Formalimus. Wenn allerdings überhaupt eine Hoffnung für eine mathematisch annehmbare Definition für Pfadintegrale besteht, dann wohl nur in der euklidischen Feldtheorie. Es ist also eher so, dass euklidische Feldtheorie für eine rigorose Definition der Pfadintegrale relevant ist, nicht Pfadintegrale für eine rigirose Definition der QFT. Für die QFT braucht man nur Wightmann oder eben Osterwalder-Schrader-Axiome und Rekonstruktionstheorem, keine Pfadintegrale.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Soweit ich weiß sind Euklidische Pfadintegrale der typische (einzige?) Zugang zur Konstruktion der Schwingerfunktionen. Ich kenne keine Konstruktion einer Euklidischen QFT ohne Pfadintegral. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wenn allerdings überhaupt eine Hoffnung für eine mathematisch annehmbare Definition für Pfadintegrale besteht, dann wohl nur in der euklidischen Feldtheorie.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Dem kann ich nicht zustimmen. Siehe das Buch "Mathematical Theory of Feynman Path Integrals" von Albeverio und Co. Hier wurden bereits QFTs direkt im Minkowski-Raum konstruiert durch sogenannte unendlichdimensionale Fresnel-Integrale. Ebenso rigorose Pfadintegralkonstruktionen für die QM. Das Problem hierbei ist bis jetzt aber interessante Wechselwirkungen zu behandeln - nicht das Pfadintegral an sich.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>PPS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Feb 2026 11:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>jh8979 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Telefonmann hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">In der Praxis der Quantenfeldtheorie geht es um Übergangsamplituden</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das stimmt zwar, ist für das Thema hier aber möglicherweise unerheblich.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wo findest du denn ansonsten Pfadintegrale?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Aus mathematischer Perspektive sind die relevant um überhaupt zu einer mathematischen rigorosen Definition einer QFT zu kommen. (Siehe bspw. Osterwalder-Schrader-Axiome oder das Buch "Mathematical Theory of Feynman Path Integrals" von Albeverio und Co.) <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Die Osterwalder-Schrader Axiome sind Aussagen über die Schwingerfunktionen der Feldtheorie. Sie sind aber unabhängig vom Pfadintegral-Formalimus. Wenn allerdings überhaupt eine Hoffnung für eine mathematisch annehmbare Definition für Pfadintegrale besteht, dann wohl nur in der euklidischen Feldtheorie. Es ist also eher so, dass euklidische Feldtheorie für eine rigorose Definition der Pfadintegrale relevant ist, nicht Pfadintegrale für eine rigirose Definition der QFT. Für die QFT braucht man nur Wightmann oder eben Osterwalder-Schrader-Axiome und Rekonstruktionstheorem, keine Pfadintegrale.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Feb 2026 11:34<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Aus mathematischer Perspektive sind die relevant um überhaupt zu einer mathematischen rigorosen Definition einer QFT zu kommen. (Siehe bspw. Osterwalder-Schrader-Axiome oder das Buch "Mathematical Theory of Feynman Path Integrals" von Albeverio und Co.)</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das geht aber von einer euklidischen Version der Theorie aus, und es lässt m.W.n. offen, ob und wie die Minkowskische daraus rigoros rekonstruiert werden kann. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />nein das Osterwalder-Schrader-Theorem sagt dir, dass sobald ihre Axiome erfüllt sind, eine analytische Fortsetzung in den Minkowski-Raum existiert und man die Wightman-funktionen erhält. <br />Das Problem besteht bis jetzt eher darin eine physikalisch relevante Euklidische Theorie zu konstruieren, die die Axiome erfüllt. Sobald man das hat, hat man auch die Theorie im Minkowski-Raum. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Ich hatte immer den Eindruck, dass der kanonische Ansatz dabei bevorzugt verwendet wird, oder dass man in Richtung der Algebraic Quantum Field Theory schaut. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ebenso können sie verwendet werden um die, von Hamiltonians generierten, Halbgruppen zu beschreiben, was für rigorose, nicht-pertubative UV-Renormierung und zum Beweis der Existenz von Grundzuständen benutzt werden kann.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ist es tatsächlich so, dass man das im Rahmen der Pfadintegralquantisierung exakt durch-x-en kann?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Für bestimmte Modelle wie zum Beispiel das Nelson-Model (welches ein Quantemechanisches Teilchen gekoppelt an ein Quantenfeld beschreibt und eine gute nichtrelativistische Beschreibung von Strahlung-Materie-Wechselwirkung ist) ist Beispielsweise die Existenz eines nichttrivialen UV-Limits mathematisch exakt bewiesen. <br /> <br />Siehe zum Beispiel: <a href="https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022123614003206" target="_blank">https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022123614003206</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Feb 2026 11:17<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Aus mathematischer Perspektive sind die relevant um überhaupt zu einer mathematischen rigorosen Definition einer QFT zu kommen. (Siehe bspw. Osterwalder-Schrader-Axiome oder das Buch "Mathematical Theory of Feynman Path Integrals" von Albeverio und Co.)</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das geht aber von einer euklidischen Version der Theorie aus, und es lässt m.W.n. offen, ob und wie die Minkowskische daraus rigoros rekonstruiert werden kann. <br /> <br />Ich hatte immer den Eindruck, dass der kanonische Ansatz dabei bevorzugt verwendet wird, oder dass man in Richtung der Algebraic Quantum Field Theory schaut. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ebenso können sie verwendet werden um die, von Hamiltonians generierten, Halbgruppen zu beschreiben, was für rigorose, nicht-pertubative UV-Renormierung und zum Beweis der Existenz von Grundzuständen benutzt werden kann.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ist es tatsächlich so, dass man das im Rahmen der Pfadintegralquantisierung exakt durch-x-en kann?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Feb 2026 10:56<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>jh8979 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Telefonmann hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">In der Praxis der Quantenfeldtheorie geht es um Übergangsamplituden</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das stimmt zwar, ist für das Thema hier aber möglicherweise unerheblich.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wo findest du denn ansonsten Pfadintegrale?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Aus mathematischer Perspektive sind die relevant um überhaupt zu einer mathematischen rigorosen Definition einer QFT zu kommen. (Siehe bspw. Osterwalder-Schrader-Axiome oder das Buch "Mathematical Theory of Feynman Path Integrals" von Albeverio und Co.) <br /> <br />Ebenso können sie verwendet werden um die, von Hamiltonians generierten, Halbgruppen zu beschreiben, was für rigorose, nicht-pertubative UV-Renormierung und zum Beweis der Existenz von Grundzuständen benutzt werden kann. <br /> <br />Siehe das Buch: "Feynman-Kac-Type Theorems and Gibbs Measures on Path Space <br />With Applications to Rigorous Quantum Field Theory"</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Zelyra</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Feb 2026 00:44<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Spannend, wie sich die Pfadintegrale als Verbindung zwischen klassischer Mechanik und QFT darstellen lassen – interessant zu sehen, wie das Limit h→0 die klassischen Gleichungen wiedererweckt <img src="images/smiles/prost.gif" alt="Prost" border="0" /> <img src="images/smiles/fruit.gif" alt="Tanzen" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Feb 2026 00:30<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Telefonmann hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">In der Praxis der Quantenfeldtheorie geht es um Übergangsamplituden</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das stimmt zwar, ist für das Thema hier aber möglicherweise unerheblich.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wo findest du denn ansonsten Pfadintegrale?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Telefonmann</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 22:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">In der Praxis der Quantenfeldtheorie geht es um Übergangsamplituden</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das stimmt zwar, ist für das Thema hier aber möglicherweise unerheblich.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 21:37<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Telefonmann hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Es geht bei Pfadintegralen immer darum den zeitlichen Verlauf eines Zustandes zu berechnen. Das kann der Zustand eines einzelnen Teilchens oder auch eines Fockraum-Zustandes sein.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />In der Praxis der Quantenfeldtheorie geht es um Übergangsamplituden wie in der S-Matrix oder andere Matrixelemente wie in der Gitter-QCD, nicht um eine zeitliche Abhängigkeit. Über Raum und Zeit wird ja integriert.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>PPS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 20:25<span class="gen"> </span> Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Telefonmann hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ja, die nichtrelativistische Näherung läßt sich anders quantisieren. Die relativistischen Gleichungen führen eigentlich immer auf Quantenfeldtheorien. Es gibt keine relativistischen Quantentheorien mit endlicher Teilchenzahl soweit mir bekannt. Ob Du von relativistischer oder nichtrelativistischer Quantentheorie spirchst, macht also einen großen Unterschied.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />In der Feldtheorie sind die Unterschiede bei der Quantisierung nicht groß. Die bosonischen und fermionischen Kommutatorbeziehungen sehen in beiden Fällen bis auf Details genau gleich aus.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Vom Unterschied zwischen Bosone und Fermionen habe ich eigentlich gar nicht geredet. <img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Telefonmann</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 19:48<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Qubit hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Aber so wie ich es verstehe: <br />Pfadintegrale beschreiben da mit Quantenphasen aufsummiert alle Wahrscheinlichkeiten beim Übergang von Ereignis A zu Ereignis B in der Raumzeit(!), über "alle Pfade". Die "Bornsche-Regel" ist hier nicht notwendig. <br />Das Konzept geht auf Gregor Wentzel für "feldtheoretische Betrachtungen" zurück, die mit Norbert Wiener (stochastische Prozesse, "Wiener-Integrale") bei Dirac gelandet sind und von Feynman und Wheeler (als Doktorvater von Feynman) dann in der Pfadintegralformulierung der QM aufgenommen wurden. <br />Feldtheoretisch lassen sich so einzelne Beiträge zum Pfadintegral auch (Rechnungs-) symbolisch als "Feynmandiagramme" veranschaulichen. Da wird dann das "Materiefeld" als Spinorfeld beschrieben.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />So kenne ich das auch. Es geht bei Pfadintegralen immer darum den zeitlichen Verlauf eines Zustandes zu berechnen. Das kann der Zustand eines einzelnen Teilchens oder auch eines Fockraum-Zustandes sein.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Telefonmann</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 19:46<span class="gen"> </span> Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ja, die nichtrelativistische Näherung läßt sich anders quantisieren. Die relativistischen Gleichungen führen eigentlich immer auf Quantenfeldtheorien. Es gibt keine relativistischen Quantentheorien mit endlicher Teilchenzahl soweit mir bekannt. Ob Du von relativistischer oder nichtrelativistischer Quantentheorie spirchst, macht also einen großen Unterschied.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />In der Feldtheorie sind die Unterschiede bei der Quantisierung nicht groß. Die bosonischen und fermionischen Kommutatorbeziehungen sehen in beiden Fällen bis auf Details genau gleich aus.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Qubit</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 19:30<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Habe von dem ganzen Kram wohl noch weniger Ahnung als du <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /> <br />Aber so wie ich es verstehe: <br />Pfadintegrale beschreiben da mit Quantenphasen aufsummiert alle Wahrscheinlichkeiten beim Übergang von Ereignis A zu Ereignis B in der Raumzeit(!), über "alle Pfade". Die "Bornsche-Regel" ist hier nicht notwendig. <br />Das Konzept geht auf Gregor Wentzel für "feldtheoretische Betrachtungen" zurück, die mit Norbert Wiener (stochastische Prozesse, "Wiener-Integrale") bei Dirac gelandet sind und von Feynman und Wheeler (als Doktorvater von Feynman) dann in der Pfadintegralformulierung der QM aufgenommen wurden. <br />Feldtheoretisch lassen sich so einzelne Beiträge zum Pfadintegral auch (Rechnungs-) symbolisch als "Feynmandiagramme" veranschaulichen. Da wird dann das "Materiefeld" als Spinorfeld beschrieben. <br />Das ist gewissermaßen analog zur Wellenoptik (in materiellen Medien), wo sich dann einzelne Phasen zur "Cornu-Spirale" aufsummieren. Jedoch im Quantenzustand nicht deterministisch, sondern wahrscheinlichkeitsbehaftet. <br />Ein "Extremalprinzip" der Wirkung liefert dann den "wahrscheinlichsten Pfad", aber eben aufgrund der Unschärferelationen keine "Bahn". Im Gegensatz zum "klassischen Pfad" (h->0). Beim letzteren Ansatz bekommt man dann die Dirac-Gleichung (für Fermionen) bzw. Klein-Gordon-Gleichung (für Spin 0-Bosonen) in relativistischer Lösung, die Schrödinger-Gleichung als nicht-relativistischen Grenzfall. <br />Tatsächlich sind aber "relativistische QFT" inmer eine Vielteilchentheorie unbestimmter Teilchenzahlen, daher sind diese Gleichungen nur "Näherungslösungen" für spezielle Einteilchenfälle. Das begründet die "Fock-Raum"-Darstellung und "2. Quantisierung".</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 17:57<span class="gen"> </span> Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Das Ergebnis, so wie ich es verstehe, ist eine klassische Diracgleichung, keine Quantentheorie. Eine Quantentheorie hat einen Hilbertraum mit einem wohldefinierten Grundzustand.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Richtig oder eben wenn wir von Anfang an nichtrelativistisch starten die ganz gewöhnliche Schrödingergleichung der Quantenmechanik - mit Grundzustand. <br /> <br />Stimmst du mir da zu?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ja, die nichtrelativistische Näherung läßt sich anders quantisieren. Die relativistischen Gleichungen führen eigentlich immer auf Quantenfeldtheorien. Es gibt keine relativistischen Quantentheorien mit endlicher Teilchenzahl soweit mir bekannt. Ob Du von relativistischer oder nichtrelativistischer Quantentheorie spirchst, macht also einen großen Unterschied.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /> <br />Darum geht es mir überhaupt nicht. Mir geht es um die Beobachtung, dass die Quantenmechanik scheinbar aus dem Limit h gegen 0 aus der zugehörigen QFT hervorgeht.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das bezweifle ich ja gerade. Selbst in der nichtrelativistischen Schrödingergleichung kommt noch ein endliches h vor. Wie soll diese Gleichung rauskommen, wenn schon h->0 gegangen ist? Und für den relativistischen Fall verstehe ich nicht mal, was Du eigentlich behauptest. Die klassische Diracgleichung definiert wie gesagt keine Quantentheorie. Dazu benötigst du 2. Quantisierung (um die negativen Eigenwerte loszuwerden.)</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />okay ja ich denke ich verstehe es jetzt. Es spielt nämlich noch eine Rolle, dass die h auch in der Wirkung auftreten. <br /> <br />Definiere ich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? S= \int i \hbar \psi^* \partial_t \psi -\frac{\hbar^2}{2m}|\nabla \psi|^2 "> <br /> <br />und betrachte dann das Limit h gegen Null von <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \int e^{i\frac{S(\psi)}{\hbar}} d \psi "> <br /> <br />ergibt sich aufgrund der h die in S auftreten <span style="font-weight: bold">nicht</span> die Schrödingergleichung im Limit. <br /> <br />Nur dann wenn ich einen künstlichen Parameter Lambda einführe und das limit lambda gegen unendlich von <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \int e^{i \lambda S(\psi)} d \psi "> <br /> <br />betrachte erhalte ich die Schrödingergleichung der QM. Dieses Limit hat aber keine vernünftige physikalische Interpretation.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>PPS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 17:38<span class="gen"> </span> Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Das Ergebnis, so wie ich es verstehe, ist eine klassische Diracgleichung, keine Quantentheorie. Eine Quantentheorie hat einen Hilbertraum mit einem wohldefinierten Grundzustand.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Richtig oder eben wenn wir von Anfang an nichtrelativistisch starten die ganz gewöhnliche Schrödingergleichung der Quantenmechanik - mit Grundzustand. <br /> <br />Stimmst du mir da zu?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ja, die nichtrelativistische Näherung läßt sich anders quantisieren. Die relativistischen Gleichungen führen eigentlich immer auf Quantenfeldtheorien. Es gibt keine relativistischen Quantentheorien mit endlicher Teilchenzahl soweit mir bekannt. Ob Du von relativistischer oder nichtrelativistischer Quantentheorie spirchst, macht also einen großen Unterschied.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /> <br />Darum geht es mir überhaupt nicht. Mir geht es um die Beobachtung, dass die Quantenmechanik scheinbar aus dem Limit h gegen 0 aus der zugehörigen QFT hervorgeht.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das bezweifle ich ja gerade. Selbst in der nichtrelativistischen Schrödingergleichung kommt noch ein endliches h vor. Wie soll diese Gleichung rauskommen, wenn schon h->0 gegangen ist? Und für den relativistischen Fall verstehe ich nicht mal, was Du eigentlich behauptest. Die klassische Diracgleichung definiert wie gesagt keine Quantentheorie. Dazu benötigst du 2. Quantisierung (um die negativen Eigenwerte loszuwerden.)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 17:27<span class="gen"> </span> Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Das Ergebnis, so wie ich es verstehe, ist eine klassische Diracgleichung, keine Quantentheorie. Eine Quantentheorie hat einen Hilbertraum mit einem wohldefinierten Grundzustand.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Richtig oder eben wenn wir von Anfang an nichtrelativistisch starten die ganz gewöhnliche Schrödingergleichung der Quantenmechanik - mit Grundzustand. <br /> <br />Stimmst du mir da zu?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ja, die nichtrelativistische Näherung läßt sich anders quantisieren. Die relativistischen Gleichungen führen eigentlich immer auf Quantenfeldtheorien. Es gibt keine relativistischen Quantentheorien mit endlicher Teilchenzahl soweit mir bekannt. Ob Du von relativistischer oder nichtrelativistischer Quantentheorie spirchst, macht also einen großen Unterschied.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /> <br />Darum geht es mir überhaupt nicht. Ob relativistisch oder nichtrelativistisch ist mir erstmal völlig egal. Mir geht es um die Beobachtung, dass die Quantenmechanik scheinbar aus dem Limit h gegen 0 aus der zugehörigen QFT hervorgeht.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>PPS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 17:18<span class="gen"> </span> Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Das Ergebnis, so wie ich es verstehe, ist eine klassische Diracgleichung, keine Quantentheorie. Eine Quantentheorie hat einen Hilbertraum mit einem wohldefinierten Grundzustand.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Richtig oder eben wenn wir von Anfang an nichtrelativistisch starten die ganz gewöhnliche Schrödingergleichung der Quantenmechanik - mit Grundzustand. <br /> <br />Stimmst du mir da zu?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ja, die nichtrelativistische Näherung läßt sich anders quantisieren. Die relativistischen Gleichungen führen eigentlich immer auf Quantenfeldtheorien. Es gibt keine relativistischen Quantentheorien mit endlicher Teilchenzahl soweit mir bekannt. Ob Du von relativistischer oder nichtrelativistischer Quantentheorie spirchst, macht also einen großen Unterschied.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 17:10<span class="gen"> </span> Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Das Ergebnis, so wie ich es verstehe, ist eine klassische Diracgleichung, keine Quantentheorie. Eine Quantentheorie hat einen Hilbertraum mit einem wohldefinierten Grundzustand.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Richtig oder eben wenn wir von Anfang an nichtrelativistisch starten die ganz gewöhnliche Schrödingergleichung der Quantenmechanik - mit Grundzustand. <br /> <br />Stimmst du mir da zu?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>PPS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 17:02<span class="gen"> </span> Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Was sollte es denn sonst sein wenn nicht die QM des freien Teilchens wenn es gerade eine Wellenfunktion ist die der Dirac-Gl folgt?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Muß es irgendwas sein? Nicht jede Geichung beschreibt irgendwas in der Realität. Ein freies Elektron ist, wie gesagt, ein Einteilchenzustand in der Quantenfeldtheorie des freien Diracfeldes.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Es <span style="font-style: italic"> ist</span> doch die Schrödinger/Dirac-Gleichung der Quanten<span style="font-style: italic">mechanik</span>. <br /> <br />Das erzwinge ich nicht, sondern das ist das Ergebnis.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das Ergebnis, so wie ich es verstehe, ist eine klassische Diracgleichung, keine Quantentheorie. Eine Quantentheorie hat einen Hilbertraum mit einem wohldefinierten Grundzustand.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>PPS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 16:59<span class="gen"> </span> Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Im Grenzwert h->0 bleibt keine Quantenmechanik mehr übrig. Das ergibt vielleicht eine klassische Feldgleichung für einen freien Spinor, aber keine Quantenmechanik für ein Spin-1/2-Teilchen. Die relativistische Quantentheorie eines freien Elektrons und die Quantenfeldtheorie des freien Diracfeldes sind identisch. Deine Gegenüberstellung zwischen Quantenfeldtheorie und "Quantenmechanik" des Elektorns kann ich nicht nachvollziehen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Im limes h gegen 0 für das Pfadintegral über S erhälst du die Euler-Lagrange-Gleichung und damit die Dirac-Gleichung des Teilchens. <br /> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das ist klar. Das heißt aber noch nicht, dass es sich dabei um die Quantenmechanik des freien Elektrons handelt. Welcher Hilbertraum folgt aus dieser Prozedur? Wie lautet die Operatoralgebra?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Der Hilbertraum ist L^2(R^d, C^4) der Hilbertraum der Diracspinoren. Als Hamiltonian erhälst du den Dirac-Hamiltonian, siehe Wikipedia.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Meinst Du den Hamiltonoperator mit negativen Eigenwerten?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ja. Aber nimm meinetwegen vorher das nicht-rel. limit wenn dich die negativen Eigenwerte stören.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Warum? Ich verwende stattdessen die "2. Quantisierung" und erhalten dann die vollständig relativistische Quantentheorie des freien Elektrons zurück. Den relativistischen Grenzwert kann ich dann ja immernoch berechnen. Ich verstehe wohl nicht, worauf Du hinauswillst.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 16:56<span class="gen"> </span> Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Was sollte es denn sonst sein wenn nicht die QM des freien Teilchens wenn es gerade eine Wellenfunktion ist die der Dirac-Gl folgt?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Muß es irgendwas sein? Nicht jede Geichung beschreibt irgendwas in der Realität. Ein freies Elektron ist, wie gesagt, ein Einteilchenzustand in der Quantenfeldtheorie des freien Diracfeldes.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Es <span style="font-style: italic"> ist</span> doch die Schrödinger/Dirac-Gleichung der Quanten<span style="font-style: italic">mechanik</span>. <br /> <br />Das erzwinge ich nicht, sondern das ist das Ergebnis.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>PPS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 16:52<span class="gen"> </span> Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Was sollte es denn sonst sein wenn nicht die QM des freien Teilchens wenn es gerade eine Wellenfunktion ist die der Dirac-Gl folgt?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Muß es irgendwas sein? Nicht jede Geichung beschreibt irgendwas in der Realität. Ein freies Elektron ist, wie gesagt, ein Einteilchenzustand in der Quantenfeldtheorie des freien Diracfeldes.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 16:51<span class="gen"> </span> Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Im Grenzwert h->0 bleibt keine Quantenmechanik mehr übrig. Das ergibt vielleicht eine klassische Feldgleichung für einen freien Spinor, aber keine Quantenmechanik für ein Spin-1/2-Teilchen. Die relativistische Quantentheorie eines freien Elektrons und die Quantenfeldtheorie des freien Diracfeldes sind identisch. Deine Gegenüberstellung zwischen Quantenfeldtheorie und "Quantenmechanik" des Elektorns kann ich nicht nachvollziehen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Im limes h gegen 0 für das Pfadintegral über S erhälst du die Euler-Lagrange-Gleichung und damit die Dirac-Gleichung des Teilchens. <br /> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das ist klar. Das heißt aber noch nicht, dass es sich dabei um die Quantenmechanik des freien Elektrons handelt. Welcher Hilbertraum folgt aus dieser Prozedur? Wie lautet die Operatoralgebra?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Der Hilbertraum ist L^2(R^d, C^4) der Hilbertraum der Diracspinoren. Als Hamiltonian erhälst du den Dirac-Hamiltonian, siehe Wikipedia.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Meinst Du den Hamiltonoperator mit negativen Eigenwerten?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ja. Aber nimm meinetwegen vorher das nicht-rel. limit wenn dich die negativen Eigenwerte stören.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>PPS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 16:47<span class="gen"> </span> Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Im Grenzwert h->0 bleibt keine Quantenmechanik mehr übrig. Das ergibt vielleicht eine klassische Feldgleichung für einen freien Spinor, aber keine Quantenmechanik für ein Spin-1/2-Teilchen. Die relativistische Quantentheorie eines freien Elektrons und die Quantenfeldtheorie des freien Diracfeldes sind identisch. Deine Gegenüberstellung zwischen Quantenfeldtheorie und "Quantenmechanik" des Elektorns kann ich nicht nachvollziehen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Im limes h gegen 0 für das Pfadintegral über S erhälst du die Euler-Lagrange-Gleichung und damit die Dirac-Gleichung des Teilchens. <br /> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das ist klar. Das heißt aber noch nicht, dass es sich dabei um die Quantenmechanik des freien Elektrons handelt. Welcher Hilbertraum folgt aus dieser Prozedur? Wie lautet die Operatoralgebra?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Der Hilbertraum ist L^2(R^d, C^4) der Hilbertraum der Diracspinoren. Als Hamiltonian erhälst du den Dirac-Hamiltonian, siehe Wikipedia.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Meinst Du den Hamiltonoperator mit negativen Eigenwerten?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 16:43<span class="gen"> </span> Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PPS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Im Grenzwert h->0 bleibt keine Quantenmechanik mehr übrig. Das ergibt vielleicht eine klassische Feldgleichung für einen freien Spinor, aber keine Quantenmechanik für ein Spin-1/2-Teilchen. Die relativistische Quantentheorie eines freien Elektrons und die Quantenfeldtheorie des freien Diracfeldes sind identisch. Deine Gegenüberstellung zwischen Quantenfeldtheorie und "Quantenmechanik" des Elektorns kann ich nicht nachvollziehen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Im limes h gegen 0 für das Pfadintegral über S erhälst du die Euler-Lagrange-Gleichung und damit die Dirac-Gleichung des Teilchens. <br /> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das ist klar. Das heißt aber noch nicht, dass es sich dabei um die Quantenmechanik des freien Elektrons handelt. Welcher Hilbertraum folgt aus dieser Prozedur? Wie lautet die Operatoralgebra?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Der Hilbertraum ist L^2(R^d, C^4) der Hilbertraum der Diracspinoren. Als Hamiltonian erhälst du den Dirac-Hamiltonian, siehe Wikipedia. Was sollte es denn sonst sein wenn nicht die QM des freien Teilchens wenn es gerade eine Wellenfunktion ist die der Dirac-Gl folgt?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>PPS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 16:38<span class="gen"> </span> Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Im Grenzwert h->0 bleibt keine Quantenmechanik mehr übrig. Das ergibt vielleicht eine klassische Feldgleichung für einen freien Spinor, aber keine Quantenmechanik für ein Spin-1/2-Teilchen. Die relativistische Quantentheorie eines freien Elektrons und die Quantenfeldtheorie des freien Diracfeldes sind identisch. Deine Gegenüberstellung zwischen Quantenfeldtheorie und "Quantenmechanik" des Elektorns kann ich nicht nachvollziehen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Im limes h gegen 0 für das Pfadintegral über S erhälst du die Euler-Lagrange-Gleichung und damit die Dirac-Gleichung des Teilchens. <br /> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das ist klar. Das heißt aber noch nicht, dass es sich dabei um die Quantenmechanik des freien Elektrons handelt. Welcher Hilbertraum folgt aus dieser Prozedur? Wie lautet die Operatoralgebra?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 16:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich bin mir nicht sicher was das nun genau für meine Frage bedeutet.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wenn wir statt "zweiter Quantisierung" besser "Feldquantisierung" sagen, dass haben wir die Äquivalenz <br /> <br />Teilchen => normale Schrödingergleichung für Wellenfunktion ~ Pfadintegral über x <br /> <br />Feld => Schrödingergleichung für Wellen<span style="font-weight: bold">funktional</span> ~ Pfadintegral über das <span style="font-weight: bold">Feld</span> psi(x) <br /> <br /> <br />Das Pfadintegral über die Lagrange-Funktion bzw. -Dichte wird manchmal als Definition angesehen; die ursprüngliche Herleitung lief aber über eine infinitesimale Diskretisierung der Zeitentwicklun und damit zunächst über den Hamilton-Operator.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Okay dankeschön. Aber das bedeutet ja dann auch dass die Quantenmechanik der Limes h gegen 0 der QFT ist, denn in diesem Limes erhalte ich aus dem Pfadintegral die Euler-Lagrange-Gleichung, was der Dirac-Gleichung des Teilchens entspricht. <br /> <br />Das kommt mir seltsam vor.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 16:33<span class="gen"> </span> Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Im Grenzwert h->0 bleibt keine Quantenmechanik mehr übrig. Das ergibt vielleicht eine klassische Feldgleichung für einen freien Spinor, aber keine Quantenmechanik für ein Spin-1/2-Teilchen. Die relativistische Quantentheorie eines freien Elektrons und die Quantenfeldtheorie des freien Diracfeldes sind identisch. Deine Gegenüberstellung zwischen Quantenfeldtheorie und "Quantenmechanik" des Elektorns kann ich nicht nachvollziehen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Im limes h gegen 0 für das Pfadintegral über S erhälst du die Euler-Lagrange-Gleichung und damit die Dirac-Gleichung des Teilchens. <br /> <br />Als Quantenmechanik des Teilchens verstehe ich ein Teilchen, dass durch eine klassische Wellenfunktion (Skalar oder Spinorwertig) gemäß der Dirac-Gleichung beschrieben wird. <br /> <br />Als QFT des freien Elektronenfelds verstehe ich eben das Pfadintegral über die Dirac-Wirkung bzw. die kanonische Quantisierung der Wellenfunktion (Operatorwertig vgl oben). <br /> <br />Ersteres geht im Pfadintegralformalismus durch zweiteres hervor als Stationary Phase Approximation für h gegen 0.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>PPS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 16:28<span class="gen"> </span> Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Betrachten wir die Wirkung eines Freien-Dirac-Feldes: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? S=\int i \bar{\psi}(\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m) \psi "> <br /> <br />dann gibt mir das <span style="font-style: italic">Pfadintegral</span> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \int e^{i\frac{S(\psi)}{\bar{h}}} d\psi "> <br /> <br />die Quanten<span style="font-weight: bold">feldtheorie</span> des freien Elektrons. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Meinst Du das erzeugende Funktional <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?G(f, \bar f) = \int e^{i\frac{S(\psi)}{\bar{h}}+i\int( \bar f \psi + \bar \psi f) dx} d\psi d\bar \psi ?"> <br /> <br />Eine Quantenfeldtheorie hast du jedenfalls erst, wenn du alle <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\langle 0|T\psi(x) ...\bar\psi(y)...|0\rangle"> definiert hast. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Wenn ich dagegen die <span style="font-style: italic">Minimierung</span> von S betrachte (was einer Stationary-Phase-Approximation im limit h gegen 0 enspricht) , folgt daraus mittels Euler-Lagrange-Gleichungen die Dirac-Gleichung, also die Quanten<span style="font-weight: bold">mechanik</span> des freien Elektrons. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Im Grenzwert h->0 bleibt keine Quantenmechanik mehr übrig. Das ergibt vielleicht eine klassische Feldgleichung für einen freien Spinor, aber keine Quantenmechanik für ein Spin-1/2-Teilchen. Die relativistische Quantentheorie eines freien Elektrons und die Quantenfeldtheorie des freien Diracfeldes sind identisch. Deine Gegenüberstellung zwischen Quantenfeldtheorie und "Quantenmechanik" des Elektorns kann ich nicht nachvollziehen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 16:17<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich bin mir nicht sicher was das nun genau für meine Frage bedeutet.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wenn wir statt "zweiter Quantisierung" besser "Feldquantisierung" sagen, dass haben wir die Äquivalenz <br /> <br />Teilchen => normale Schrödingergleichung für Wellenfunktion ~ Pfadintegral über x <br /> <br />Feld => Schrödingergleichung für Wellen<span style="font-weight: bold">funktional</span> ~ Pfadintegral über das <span style="font-weight: bold">Feld</span> psi(x) <br /> <br /> <br />Das Pfadintegral über die Lagrange-Funktion bzw. -Dichte wird manchmal als Definition angesehen; die ursprüngliche Herleitung lief aber über eine infinitesimale Diskretisierung der Zeitentwicklun und damit zunächst über den Hamilton-Operator.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Telefonmann</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 15:46<span class="gen"> </span> Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Konkret verwundert mich folgendes: <br /> <br />Betrachten wir die Wirkung eines Freien-Dirac-Feldes: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? S=\int i \bar{\psi}(\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m) \psi "> <br /> <br />dann gibt mir das <span style="font-style: italic">Pfadintegral</span> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \int e^{i\frac{S(\psi)}{\bar{h}}} d\psi "> <br /> <br />die Quanten<span style="font-weight: bold">feldtheorie</span> des freien Elektrons.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Klingt für mich ganz vernünftig. Die konkreten Rechnungen dazu kenne ich aber zu wenig. Vielleicht weiß TomS dazu mehr? Ich verwende da lieber die zweite Quantisierung, weil da die physikalische Anschauung viel direkter angewendet werden kann.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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