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[quote="Telefonmann"][quote="PhysikFan2004"]Wie berechnet (sich) allgemein die Wahrscheinlichkeitsverteilung P(x) für ein Teilchen in einem unendlichen Kastenpotential? Was gilt für das Integral über die Wahrscheinlichkeitsverteilung innerhalb des Kastens (P 0 < x< a) = [latex]\int_0^1 \! P(x) \, \dd x [/latex][/quote] Da muss man die Schrödingergleichung abschnittsweise lösen und an den Schnittstellen stetig zusammensetzen. Man verwendet also die folgenden drei Bereiche: 1) [latex]x < 0[/latex] 2) [latex]0 \leq x \leq a[/latex] 3) [latex]x > a[/latex] Üblicherweise wird das Potential wie folgt angenommen: Bereich 1: [latex]V = + \infty[/latex] Bereich 2: [latex]V = 0[/latex] Bereich 3: [latex]V = + \infty[/latex] Die Lösung der Schrödingergleichung in den Bereichen 1 und 3 ist trivial. Dort wird [latex]\psi(x) = 0[/latex] angenommen.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Feb 2026 06:40<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ja. <br /> <br />Für die Lösungen der DGL im Inneren verwendet man den Ansatz <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u_k(x) = A \, \sin kx + B \, \cos kx"> <br /> <br />Die Randbedingungen liefern die erlaubten k-Werte sowie <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?B = 0"> <br /> <br />Man normiert die Eigenfunktionen, so dass <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_0^a dx \, |u_k|^2 = 1"> <br /> <br />Ich verwende u_k, weil die Wellenfunktion psi meist für Lösungen der zeitabhängigen Schrödingergleichung verwendet wird. Diese erhält man allgemein zu <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\psi(x,t) = \sum_k \psi_k \, e^{-iE_k t} \, u_k(x)"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>PhysikFan2004</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Feb 2026 23:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Liege ich richtig, dass im Kasteninneren ((0<x<a)) die allgemeine Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung <br />(\psi(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)) ist und dass ich anschließend mithilfe der Randbedingungen (A) und (B) (und auch (k)) bestimme, die Wellenfunktion normiere und dann die Wahrscheinlichkeitsdichte über (P(x)=|\psi(x)|^2) erhalte?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Telefonmann</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Feb 2026 21:35<span class="gen"> </span> Titel: Re: Schrödingergleichung und Wahrscheinlichkeitswellen</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PhysikFan2004 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wie berechnet (sich) allgemein die Wahrscheinlichkeitsverteilung P(x) für ein Teilchen in einem unendlichen Kastenpotential? Was gilt für das Integral über die Wahrscheinlichkeitsverteilung innerhalb des Kastens (P 0 < x< a) = <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_0^1 \! P(x) \, \dd x "></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Da muss man die Schrödingergleichung abschnittsweise lösen und an den Schnittstellen stetig zusammensetzen. Man verwendet also die folgenden drei Bereiche: <br />1) <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x < 0"> <br />2) <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?0 \leq x \leq a"> <br />3) <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x > a"> <br /> <br />Üblicherweise wird das Potential wie folgt angenommen: <br />Bereich 1: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V = + \infty"> <br />Bereich 2: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V = 0"> <br />Bereich 3: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V = + \infty"> <br /> <br />Die Lösung der Schrödingergleichung in den Bereichen 1 und 3 ist trivial. Dort wird <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\psi(x) = 0"> angenommen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>PhysikFan2004</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Feb 2026 20:16<span class="gen"> </span> Titel: Schrödingergleichung und Wahrscheinlichkeitswellen</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Wie berechnet (sich) allgemein die Wahrscheinlichkeitsverteilung P(x) für ein Teilchen in einem unendlichen Kastenpotential? Was gilt für das Integral über die Wahrscheinlichkeitsverteilung innerhalb des Kastens (P 0 < x< a) = <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_0^1 \! P(x) \, \dd x "></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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