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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Feb 2026 18:55<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ok, nun zur Quantisierung. <br /> <br />Wir stellen fest, dass für eine ebene Materiewelle mit Impuls p nach deBroglie gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u_p(x) = e^{ipx}"> <br /> <br />Dabei verwende ich hier und im folgenden die Konvention <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\hbar = c = 1"> <br /> <br />Damit haben wir für die Wellenzahl k <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k = p "> <br /> <br />Dies kann man auch unmittelbar für drei Dimensionen sowie relativistisch verallgemeinern; für letzteres erhalten wir <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?kx \to k_\mu x^\mu = \omega_k t - k^i x^i"> <br /> <br />und <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega_k^2 = k^2 + m^2"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E_p^2 = p^2 + m^2"> <br /> <br />Damit gilt diese Beziehung für masselose und massebehaftete "Teilchen". Erstere können wir aber mit der nicht-relativistischen QM nicht behandeln, letztere zunächst nur in der n.-rel. Näherung. <br /> <br />Die Hypothese der Materiewellen von deBroglie stammt aus der Zeit vor der QM, wurde jedoch erst nach deren Entwicklung experimentell bestätigt. Schrödinger kannte die Hypothese und hat seine berühmte Gleichung in diese Richtung konstruiert; er betrachtete dazu nochmals eine andere Formulierung der klassischen Mechanik als oben diskutiert, aber das brauchen wir hier nicht. <br /> <br />Man stellt fest, dass der Differentialoperator <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\hat{p} = -i \frac{\partial}{\partial x} = -i \partial_x "> <br /> <br />aus der o.g. Welle gerade den Impuls herauspräpariert: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\hat{p} \, u_p(x) = -i \partial_x \, e^{ipx} = p \, u_p(x)"> <br /> <br />Schrödinger hat letztlich den Impulsoperator in die Hamilton-Funktion H eingesetzt und den Hamilton-Operator <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\hat{H} = \frac{1}{2m} \hat{p}^2 + V(x) = -\frac{1}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)"> <br /> <br />erhalten. <br /> <br />Dabei handelt es sich um eine spezielle Darstellung, die sogenannte Ortsdartstellung. <br /> <br />Ganz allgemein besagt die sogenannte <span style="font-weight: bold">kanonische Quantisierung</span>, dass man die Übersetzungsvorschrift der Operatoren so vornehmen muss, dass <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\{x, p\} = 1 \to [\hat{x}, \hat{p}] = i"> <br /> <br />gilt. <br /> <br />Zurück in der Ortsdarstellung findet man für den Kommutator der Operatoren, den man sich immer auf Funktionen angewandt denken muss <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?[\hat{x}, \hat{p}] \, f(x) = (\hat{x} \hat{p} - \hat{p} \hat{x}) \, f(x) = (x (-i \partial_x) - (-i \partial_x) x ) \, f(x) = (i \partial_x x) \cdot f(x) = i \cdot f(x) "> <br /> <br />wobei die anderen Terme mittels der Produktregel verschwinden. <br /> <br />Heisenberg hatte das bereits in ähnlicher Form mühsam mittels unendlicher Matrizen herausgefunden (wobei er nicht wusste, dass es sich um solche handelt, da er Matrizen gar nicht kannte). Schrödinger hat später die Äquivalenz beider Darstelllungen gezeigt. <br /> <br />So, das war der Einstieg in die n.-rel. QM eines "Teilchens" in einem Potential V(x). <br /> <br />Wenn das klar ist, gehen wir wieder zurück zur Lagrange-Funktion, erweitern diese auf unendlich viele Teilchen und leiten daraus eine klassische Feldtheorie ab. <br /> <br />Danach hüpfen wir wieder in die Quantemechanik und quantisieren die Feldtheorie.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Hochseeangler</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Feb 2026 13:02<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Super, gerne mehr!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Feb 2026 12:05<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Starten wir mal mit der <span style="font-weight: bold">Lagrangeschen</span> und <span style="font-weight: bold">Hamiltonschen</span> Formulierung der klassischen Mechanik für das freie Teilchens in einer Dimension, also <span style="font-weight: bold">für einen Freiheitsgrad</span>. <br /> <br />Für die <span style="font-weight: bold">Lagrange-Funktion</span> eines Teilchens im Potential V gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?L = \frac{m}{2} \dot{x}^2 - V(x)"> <br /> <br />Die allgemeinen Euler-Lagrange-Gleichungen lauten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} - \frac{\partial L}{\partial x} = 0"> <br /> <br />Das liefert <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m\ddot{x} + V^\prime(x) = 0"> <br /> <br />und entspricht gerade der Newtonschen Bewegungsgleichung ma - F = 0 mit F = -V'. <br /> <br /> <br />Der Übergang zur Hamiltonschen Mechanik folgt mittels des zu x <span style="font-weight: bold">kanonisch konjugierten Impulses</span> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\dot{x}"> <br /> <br />Letzteres gilt für dieses spezielle L jedoch nicht allgemein; Gegenbeispiel: Teilchen im Magnetfeld. <br /> <br />Damit definiert man die <span style="font-weight: bold">Hamilton-Funktion</span> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?H(x,p) = p\dot{x} - L(x, \dot{x}) = \frac{p^2}{2m} + V(x)"> <br /> <br />wobei man zuletzt die Geschwindigkeit durch den Impuls ausdrückt; die spezielle Form gilt wieder für unser Beispiel. <br /> <br />Die beiden Hamiltonschen Bewegungsgleichungen erster Ordnung (statt einer Euler-Lagrange-Gleichung zweiter Ordnung) lauten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial x} = - V^\prime(x)"> <br /> <br />wobei die ersten Gleichheitszeichen wieder allgemein gelten, die zweiten für unseren Spezialfall. <br /> <br />Für eine allgemeine Größe A(x,p) folgen die Hamiltonschen Bewungsgleichungen durch Anwendung der Kettenregel und Einsetzen zu <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{dA}{dt} = \dot{A} = \frac{\partial A}{\partial x} \dot{x} + \frac{\partial A}{\partial p} \dot{p} = \frac{\partial A}{\partial x} \frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial A}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial x} = \{A, H \} "> <br /> <br />wobei letzteres die <span style="font-weight: bold">Poisson-Klammer</span> bezeichent und als Abkürzung aufzufassen ist. <br /> <br />Ein Beispiel für A, und nicht ganz trivial für den Einsteig, wäre der Drehimpuls in drei Dimensionen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?L_i = \sum_{kl} \epsilon_{ikl} x_k p_l"> <br /> <br />Den 2-dim. Raum, der durch x und p aufgespannt wird (bzw. für mehrere Teilchen d.h. mehrere Freiheitsgrade) entsprechen mit Indizes, nennt man <span style="font-weight: bold">Phasenraum</span>. Man kann die Bewegung eines Teilchens in diesem Phasenraum darstellen. <br /> <br />Damit kann man nun z.B. den harmonischen Oszillator durchrechnen, um explizit zu sehen, dass alle drei Formulierungen (Newton, Langrange, Hamilton) äquivalent sind. <br /> <br />Das ist nun dxer Startpunkt zum Übergang zuu Quantenmechanik und zur <span style="font-weight: bold">Schrödingergleichung</span>. Dies folgt nicht zwingend oder automatisch, es geht eine spezielle Konstruktion nämlich die sogenannte <span style="font-weight: bold">kanonische Quantisierung</span> ein, die man motivieren und fordern jedoch nicht beweisen kann (es gibt Fälle, in denen diese Konstruktion nicht funktioniert, z.B. die Chern–Simons-Theorie). <br /> <br />Soweit erst mal.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Hochseeangler</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Feb 2026 08:20<span class="gen"> </span> Titel: Freiheitsgrade in der Quantenmechanik</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Auf Vorschlag von TomS starte ich hier ein neues Thema, in welchem erläutert/diskutiert werden soll, wie man von endlichen Freiheitsgraden in der Quantenmechanik auf unendliche Freiheitsgrade in der Quantenfeldtheorie gelangt. <br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Ich bin gespannt!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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