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[quote="TomS"][quote="Aruna"][quote="TomS"]Man könnte aber auch sagen, kein stationärer Zustand im Kasten ist ein Eigenzustand zum Impulsoperator, deswegen ist die Frage sinnlos. [/quote] Das wird dann m.E. ein Beginner ohne weitere Erläuterung nicht verstehen, zumindest nicht in dem Sinne, was ich unter "verstehen" verstehe.[/quote] Gut. Ein stationärer Zustand zeichnet sich dadurch aus, dass seine Ortsraumfunktion zeitlich konstant und seine Zeitabhängigkeit durch eine Phase gegeben sind. Das führt auf dem Ansatz [latex]\psi(x,t) = \phi(x) \, e^{-i\omega t}[/latex] Eine Eigenfunktionen des Impulsoperators ist definiert durch die Eigenwertgleichung [latex]- i \partial_x \, \psi(x,t) = k \, \psi(x,t) [/latex] Das führt auf den bekannten Ansatz [latex]\phi(x) = e^{ikx}[/latex] Es gibt keine anderen Lösungen zu der Eigenwertgleichung. Im unendlichen Kasten wird als Randbedingung [latex]\phi(x=0) = \phi(x=L) = 0[/latex] gefordert. Diese Randbedingung wird aber von keiner Lösung der Eigenwertgleichung erfüllt. Umgekehrt erfüllen stationäre Zustände mit [latex]\phi(x) = \sin(kx)[/latex] die Schrödingergleichung und liefern stationäre Zustände, und sie erfüllen die Randbedingungen, aber es handelt sich dabei nicht um Eigenfunktionen des Impulsoperators.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Jan 2026 17:33<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Aruna hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Verstehe ich das richtig: in einem begrenzten Raumbereich kann man keinen selbstadjungierten Impulsoperator definieren …</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Aruna hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">[daher ist ein (physikalisch messbarer) Impuls nicht definiert?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Unter der Voraussetzung der Postulate nach von Neumann wiederum ja. <br /> <br />Rein pragmatisch ist das egal, da der unendliche Topf und damit die Dirichlet-Randbedingungen auf dem Intervall [0, L] ohnehin nur Idealisierungen darstellen. <br /> <br />Prinzipiell darf man davon ausgehen, dass die Postulate nach von Neumann ohnehin untauglich sind, um einen realen Messprozess zu beschreiben. (Sie versagen übrigens auch für das freie Teilchen und die ebenen Wellen über der reellen Zahlengerade. Ebene Wellen sind keine Eigenfunktionen im Raum der quadratintegrablen Funktionen, d.h. weder die Projektion – d.h. der sogenannte Kollaps – noch der Erwartungswert von Ort oder Impuls – d.h. die Bornsche Regel – sind definiert. Wobei der Impulsoperator witzigerweise selbstadjungiert ist.) <br /> <br /> <br />Auf dem endlichen Intervall [0, L] findet man eine Schar selbstadjungierter Erweiterungen mittels periodischer Randbedingungen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi(L) = e^{i\theta} \, \phi(0)"> <br /> <br />Zu jedem theta gehört ein eigenerer Definitionsbereich d.h. streng genommen ein eigener Operator p (und ebenso H), mit eigenen Spektren <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k_n \to k_{n,\theta} = L^{-1}(2\pi n + \theta)"> <br /> <br />Man kann dies als unitär-inäquivalente Darstellungen auffassen. <br /> <br /> <br />Ich setze noch eins drauf: da <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x \, \phi(x) \Big|_{x = 0} = 0 \neq x \, \phi(x) \Big|_{x = L} = L \, e^{i\theta} \, \phi(0)"> <br /> <br />ist auch der Ortsoperator nicht selbstadjungiert, er ist nicht mal dicht definiert. <br /> <br />Damit funktioniert auch das Stone-von-Neumann-Theorem nicht, und es gibt keine kanonischen Vertauschungsrelationen auf [0,L]. Das hat schon Weyl bemerkt. <br /> <br /> <br />Trotzdem kann man natürlich vernünftige Physik betreiben, aber man muss eben diverse Fallen vermeiden, die in den einfachen Beispielen enthalten sind.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Aruna</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Jan 2026 16:37<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Okay.... <br /> <br />Verstehe ich das richtig: in einem begrenzten Raumbereich kann man keinen selbstadjungierten Impulsoperator definieren, daher existiert dort keine entsprechende Observable und (physikalisch messbarer) Impuls ist nicht definiert?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 01. Jan 2026 14:55<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Könnte man rechnerisch. Aber da wir aus physikalischen Gründen Randbedingungen fordern, die die e-Funktionen nicht erfüllen, ist da Vorsicht geboten. <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Mathematisch</span> <br /> <br />Jeder Operator, hier der Impulsoperator, hat einen Definitionsbereich (Domain); hier: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\text{dom} \, (-i\partial_x) = \left\{ f : \; \int_0^L |f|^2 < \infty \;\cap\; f(0) = f(L) = 0\right\}"> <br /> <br />Auf diesem Definitionsbereich ist der Impulsoperator symmetrisch, jedoch nicht selbstadjungiert (es existiert jedoch eine selbstadjungierte Erweiterung). D.h. der Impulsoperator erfüllt nicht die Anforderung an eine Observable, dass eine solche selbstadjungiert sein muss. Der Impulsoperator hat bzgl. dieses Definitionsbereiches <span style="font-weight: bold">keine</span> Eigenzustände (während eine Observable als selbstadjungierter Operator einen vollständigen Satz an Eigenzuständen hat). Verwendet man also exp(ikx), so muss man sich immer bewusst sein, dass man den zugrundeliegenden Definitionsbereich verlässt. <br /> <br />(siehe auch ebene Wellen: sie sind nicht normierbar und haben unendlichen Erwartungswert für die Energie) <br /> <br />Streng genommen gilt für die Randbedingungen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(-i\partial_x)^\dagger \neq (-i\partial_x)"> <br /> <br />weil <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\text{dom} (-i\partial_x)^\dagger \supset \text{dom} (-i\partial_x)"> <br /> <br />Im typischen Beweis der Symmetrie (nicht Selbstadjungiertheit) für Matrixelemente mittels des Integrals für plus partieller Integration verschwinden die Randterm für x=0 und x=L aufgrund der Forderung an die rechte Funktion, während die linke Funktion frei bleibt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi(0) = \phi(L) = 0 \;\implies\; \forall \psi: \, \psi^\ast(x) \, \phi(x) \Big|_0^L = 0"> <br /> <br />Deswegen ist der Definitionsbereich des adjungierten Operators größer, ohne dass dies die Symmetrie des Operators zerstören würde; auf Ebene der Matrixelemente erscheintalles gut. <br /> <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Physikalisch</span> <br /> <br />Die Randbedingungen zerstören die Translationsinvarianz, d.h. bereits klassisch ist das System nicht translationsinvariant, es existiert kein erhaltener Impuls (das Noether-Theorem funktioniert nicht); klar, ein Teilchen mit Impuls p wird an der Wand reflektiert und erhält den Impuls -p. <br /> <br />Quantenmechanisch wäre der unitäre Translationsoperator <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T_a = e^{-iap} = e^{-ia(-i\partial_x)} = e^{-a\partial_x} "> <br /> <br />Die Translation der Wellenfunktion führt auf die Taylorreihe <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\psi(x) \to \psi^\prime(x) = T_a \, \psi(x) = e^{-a\partial_x} \psi(x) = \sum_n \frac{(-a)^n}{n!} \partial_x^n \psi(x) = \psi(x-a)"> <br /> <br />Aber das liefert <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\psi^\prime(x=0) = \psi(-a) "> <br /> <br />und das ist für -a < 0 nicht definiert. <br /> <br />D.h. es ist etwas subtiler, denn die quantenmechanische Version des Noether-Theorems, "kontinuierliche Symmetrie von H entspricht Erhaltungsgröße" <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?[T(a), H] = 0 \;\iff\; \dot{p} = -i [p, H] = 0"> <br /> <br />scheint bei expliziter Berechnung ja zu funktionieren; das Problem ist wieder, dass man ein P bzw. T(a) verwendet, das als Observable nicht existiert. <br /> <br />(eine vermeintliche Rettung besteht in der Forderung nach Periodizität plus Knoten-Bedingung bei x=0, L, 2L ...; ersteres rettet die Selbstadjungiertheit, siehe z.B. Bloch-Wellen, letzteres zerstört sie jedoch wieder)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Aruna</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 01. Jan 2026 12:15<span class="gen"> </span> Titel: Re: Teilchen im Potentialtopf, minimale Geschwindigkeit</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Eine Eigenfunktionen des Impulsoperators ist definiert durch die Eigenwertgleichung <br />[...] <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?- i \partial_x \, \psi(x,t) = k \, \psi(x,t) "> <br /> <br />Das führt auf den bekannten Ansatz <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi(x) = e^{ikx}"> <br /> <br />Es gibt keine anderen Lösungen zu der Eigenwertgleichung. <br /> <br />[...] <br /> <br />Umgekehrt erfüllen stationäre Zustände mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi(x) = \sin(kx)"> <br /> <br />die Schrödingergleichung und liefern stationäre Zustände, und sie erfüllen die Randbedingungen, aber es handelt sich dabei nicht um Eigenfunktionen des Impulsoperators.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Diesen Energieeigenzustand kann man dann als Überlagerung zweier Impulseigenzustände scheiben: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi(x) = \sin(kx) = \frac{1}{2i} (e^{ikx} - e^{-ikx}) "> <br /> <br />Also ein zusammengesetzter Zustand eines Teilchens, das nach rechts läuft und eines das nach links läuft?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 31. Dez 2025 19:13<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Aruna hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Man könnte aber auch sagen, kein stationärer Zustand im Kasten ist ein Eigenzustand zum Impulsoperator, deswegen ist die Frage sinnlos. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das wird dann m.E. ein Beginner ohne weitere Erläuterung nicht verstehen, zumindest nicht in dem Sinne, was ich unter "verstehen" verstehe.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Gut. <br /> <br />Ein stationärer Zustand zeichnet sich dadurch aus, dass seine Ortsraumfunktion zeitlich konstant und seine Zeitabhängigkeit durch eine Phase gegeben sind. Das führt auf dem Ansatz <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\psi(x,t) = \phi(x) \, e^{-i\omega t}"> <br /> <br />Eine Eigenfunktionen des Impulsoperators ist definiert durch die Eigenwertgleichung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?- i \partial_x \, \psi(x,t) = k \, \psi(x,t) "> <br /> <br />Das führt auf den bekannten Ansatz <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi(x) = e^{ikx}"> <br /> <br />Es gibt keine anderen Lösungen zu der Eigenwertgleichung. <br /> <br />Im unendlichen Kasten wird als Randbedingung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi(x=0) = \phi(x=L) = 0"> <br /> <br />gefordert. <br /> <br />Diese Randbedingung wird aber von keiner Lösung der Eigenwertgleichung erfüllt. <br /> <br />Umgekehrt erfüllen stationäre Zustände mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi(x) = \sin(kx)"> <br /> <br />die Schrödingergleichung und liefern stationäre Zustände, und sie erfüllen die Randbedingungen, aber es handelt sich dabei nicht um Eigenfunktionen des Impulsoperators.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 31. Dez 2025 18:59<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Aruna hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> … </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />👍 <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Aruna hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich fände es schon sinnvoll, Leuten, die aus der klassischen Betrachtungsweise kommen, aufzuzeigen, worin nun der Unterschied besteht.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ich auch. <br /> <br />Und ich hoffe, das passiert nicht nur hier im Forum.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Aruna</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 31. Dez 2025 15:59<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Es gibt also keinen Grund, dass sich da irgendetwas entsprechen solle; im Gegenteil, das ist nur in gewissen Grenzfällen gegeben. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Auf einer höheren Abstraktionsebene ist m.E. die Entsprechung, dass das Verschwinden eines statistischer Mittel- oder Erwartungswerts einer Größe nicht bedeutet, dass im statistischen Mittel auch Betrag oder das Quadrat dieser Größe 0 ist. <br />Damit kann man die Frage: <br /> <br /><ul></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wie kann es sein, dass das Teilchen im Grundzustand keine Geschwindigkeit hat, obwohl es Energie besitzt?</td> </tr></table><span class="postbody"></ul> <br /> <br />m.E. beantworten z.B. mit: <br /> <br />Die QM macht hier keine Aussagen über eine konkrete Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt oder an einem bestimmten Ort, sondern nur statistische Aussagen z.B. über Erwartungswerte. <br />Die können dann verschwinden, wenn sich positive und negative Anteile einer Größe über den Summations- oder Integrationsbereich aufheben und dennoch kann die Summation oder Integration der Größe zum Quadrat einen Wert > 0 haben. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Zieht man das und mein Argumentation zum Erwartungswert des Impulses heran, lautet die Lösung im Kasten Null, weil der Erwartungswert der Geschwindigkeit v (nicht der von v²) eben verschwindet. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />das meine ich <br />Vom Bekannten zum Unbekannten. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Man könnte aber auch sagen, kein stationärer Zustand im Kasten ist ein Eigenzustand zum Impulsoperator, deswegen ist die Frage sinnlos. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das wird dann m.E. ein Beginner ohne weitere Erläuterung nicht verstehen, zumindest nicht in dem Sinne, was ich unter "verstehen" verstehe. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Der Sinn der Vergleiche zwischen klassischer und quantenmechanischer Betrachtungsweise ist zumeist der, zu erkennen, dass Vergleiche sinnlos sind. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich fände es schon sinnvoll, Leuten, die aus der klassischen Betrachtungsweise kommen, aufzuzeigen, worin nun der Unterschied besteht. <br />Z.B. dass in der QM der Impuls oder die Geschwindigkeit eines Teilchen im Kasten nicht definiert sind, die Energie dagegen schon. <br />Und dass das nicht eine Besonderheit des Grundzustandes ist.... <br />Die Besonderheit ist, dass auch die Energie im Grundzustand nicht verschwindet.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 31. Dez 2025 15:19<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Erst mal ja. <br /> <br />Es gibt noch einen Unterschied, nämlich die Mittelwertbildung <br /> <br />Räumlich: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_a^b dx \, v^2(x)"> <br /> <br />Über die Höhe mit v als Funktion der Höhe h <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_0^H dh \, v^2(h) = \int_0^H dh \, \left( \frac{2E}{m} - mgh\right) "> <br /> <br />Über die Zeit: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_0^T dt \, v^2(t)"> <br /> <br />Das ist aber immer ein Mittelwert über den <span style="font-weight: bold">zeitlichen Verlauf</span> der Bewegung eines punktförmigen Teilchens, während es in der QM immer eine Mittelung über eine räumlich ausgedehnte Schwingung <span style="font-weight: bold">zu einem beliebigen festen Zeitpunkt</span> ist. Es gibt also keinen Grund, dass sich da irgendetwas entsprechen soll; im Gegenteil, das ist nur in gewissen Grenzfällen gegeben. <br /> <br />Bestes Beispiel ist das Wasserstoffatom, oder allgemein ein sphärisch symmetrischen Potential mit gebundenen Zuständen: der Drehimpuls im Grundzustand ist immer exakt Null; das ist klassisch völlig widersinnig. <br /> <br />Zieht man das und meine Argumentation zum Erwartungswert des Impulses heran, lautet die Lösung im Kasten Null, weil der Erwartungswert der Geschwindigkeit v (nicht der von v²) eben verschwindet; das ist aber nicht gemeint. Alternativ könnte man sagen, kein stationärer Zustand im unendlichen Kasten ist zugleich ein Eigenzustand zum Impulsoperator, deswegen ist die Frage sinnlos (und nein, es gibt zusammen mit den Randbedingungen überhaupt keinen Impulseigenzustand im unendlichen Kasten). <br /> <br />Der Sinn der Vergleiche zwischen klassischer und quantenmechanischer Betrachtungsweise ist zumeist der, zu erkennen, dass Vergleiche sinnlos sind.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Aruna_17</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 31. Dez 2025 14:27<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Eine saubere Argumentation funktioniert über die Erwartungswerte. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das ist doch dann analog zu einem klassischen Pendel? <br />Mittelwert von v = 0 , von v^2 > 0 <br />Außer, für den Fall, dass v(t)=0 für alle t. <br />Der wesentliche Unterschied wäre dann, dass es für ein QM-Teilchen im P-Topf keine Lösung mit E=0 gibt und nicht, dass <p^2> > 0 ist, obwohl <p> = 0.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 31. Dez 2025 09:17<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Eine saubere Argumentation funktioniert über die Erwartungswerte. <br /> <br />Man startet mit dem Hamiltonoperator <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?H = \frac{p^2}{2m}"> <br /> <br />und berechnet für einen gegebenen Zustand psi <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\left\langle p^2 \right\rangle = 2m \, \left\langle H \right\rangle = E_n"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v^2 = \frac{1}{m^2} \, \left\langle p^2 \right\rangle"> <br /> <br /> <br />Rechnet man direkt mit p, so sind die Erwartungswerte bei Anwendung dieses in x antisymmetrischen Operators Null, wenn dadurch der Integrand in <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\langle p \rangle = \int_{-L/2}^{+L/2} dx \, \psi^\ast(x) \, (-i \hbar \partial_x) \, \psi(x) "> <br /> <br />antisymmetrisch wird; das ist aber für die Eigenfunktionen zu H (nicht p) <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\psi_k(x) = \cos kx, \; \psi_k^\prime(x) = -k \, \sin kx "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\psi_k(x) = \sin kx, \; \psi_k^\prime(x) = k \, \cos kx "> <br /> <br />der Fall.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>MadManMax</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Dez 2025 22:30<span class="gen"> </span> Titel: Teilchen im Potentialtopf, minimale Geschwindigkeit</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span> <br />Hallo zusammen, <br />ich habe eine Verständnisfrage zum Teilchen im Kasten (unendlich tiefer Potentialtopf). In einer Aufgabe heißt es: <br /> <br />Ein mikroskopisches Staubteilchen der Masse <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?2\cdot 10^{-8} kg"> ist in einem Kasten der Breite 1 mm eingeschlossen. Welche minimale Geschwindigkeit kann es haben? <br /> <br />Dazu wurde in der Musterlösung folgender Ansatz verwendet: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E_1=\frac{h^2}{8mL^2}=\frac{1}{2}mv^2"> <br /> <br />Daraus folgt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v=\frac{h}{2mL}"> <br /> <br />Eingesetzt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v=\frac{6.63\times 10^{-34},\mathrm{J,s}}{2\cdot(2\times 10^{-8},\mathrm{kg})\cdot(10^{-3},\mathrm{m})} \approx 1.66\times 10^{-23},\mathrm{m/s}"> <br /> <br />Meine zwei Fragen sind: <br /> <br />Wie kann es sein, dass das Teilchen im Grundzustand keine Geschwindigkeit hat, obwohl es Energie besitzt? <br />Im Kastenmodell ist im Inneren V=0, die Energie ist also formal kinetische Energie. Trotzdem gibt es im Grundzustand keine klassische Bewegung mit einer bestimmten Geschwindigkeit. Wie ist das physikalisch zu verstehen? <br /> <br />Warum wird hier in der Aufgabe dennoch ein klassischer Ansatz der Form <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{1}{2}mv^2"> <br />verwendet? <br />Dieser Ansatz setzt ja das Vorhandensein einer Geschwindigkeit voraus. Wieso ist diese Rechnung dennoch zulässig, und was bedeutet die dabei berechnete ?minimale Geschwindigkeit? im quantenmechanischen Kontext? <br /> <br />Liebe Grüße <br />schonmal danke im Voraus! <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span> <br />Meine Vermutung ist, dass die hier berechnete Größe v keine ?echte? Geschwindigkeit des Teilchens ist, sondern lediglich ein klassischer Vergleichswert.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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