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[quote="Celestina_Shepherd"][quote="gast_free"]Hier noch mal ein neuer Vorschlag.[/quote] Hallo gast_free, vielen Dank für deine große Mühe, den Sachverhalt im neuen Paper eine detailliert gegliederte Struktur zu geben!!! Da du im neuen Ansatz auch die Rollreibung mit hast einfließen lassen, ist das Problem natürlich auch komplexer geworden, womit es nun aber für mich schwieriger geworden ist, die bisherigen Aussagen zu den Haftreibwerten den neuen Werten gegenüberzustellen. Ich wäre bei dem Problem davon ausgegangen, dass die Rollreibung (schon von den geringeren Werten her) eine untergeordnete Rolle spielt, und daher als Einflussgröße nicht von Gewicht ist. Deswegen hatte ich sie anfangs gar nicht angesprochen. Sie würde m.E. eine ganz geringfügige Unterstützung zur Wahrung des Gleichgewichtes sein, da ja ein kleiner Rollwiderstand bzw. ein kleines "Losbrechmoment" überwunden werden müsste. Kurz gesagt: die Haftreibwerte würden nur geringfügig nach unten korrigiert, so meine Einschätzung. Hingegen sind deine errechneten Rollreibwerte recht hoch (?), zumindest untypisch groß. Unter Punkt 5.1 hast du erneut die wirkenden Gewichtskräfte betrachtet, die über die Normalkräfte nach unten bis in den untersten Außenzylinder geleitet werden. Durch die summarische [latex]1/2^k[/latex]-"Entkräftung" bis in die n-te Schicht kommt dort maximal die 2-fache Gewichtskraft als vertikale Reaktionskraft heraus. Dieses könnte ich mir vorstellen, wenn man statt waagerechter Zylinder eher Dosen (hochkant) zu einer Dreiecks-Pyramide stapelt. Dann bekommt die äußerste Dose (unten) nur einen Anteil ab, der kleiner als das 2-fache der Gewichtskraft einer Dose ist. Vielleicht liege ich aber mit meiner Denkweise auch daneben??? Denn ich würde gerne weiterhin den Standpunkt vertreten, dass eine schräge Lastkolonne vom obersten bis zum untersten Zylinder wirkt und [latex]F_G/\sqrt{3} [/latex] damit n-fach zum Ausdruck kommt, so wie es bei Kraftbrücken auch der Fall wäre. Anders könnte ich mir mein Experiment auch nicht erklären, als ich von oben auf die Stapelung der Zylinder eine zusätzliche vertikale Kraft aufgebracht hatte und plötzlich in den unteren Schichten ein Zylinder herausgeschossen wurde. Mit einer [latex]1/2^k[/latex]-"Entkräftung" nach unten hätte bei diesem "befreiten" Außen-Zylinder gar nicht soviel kinetische Energie existieren dürfen. Ohne Kraftbrücke wäre dieser nur herausgekullert, was aber nicht der Fall war. Liege ich denn so verkehrt mit meiner Ansicht??? Celestina ?([/quote]
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Nachricht
Celestina_Shepherd
Verfasst am: 02. Nov 2025 01:00
Titel:
Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben:
(n=3):
Eine ganz wichtiges Ergebnis ist bei mir herausgekommen, dass am Kontaktpunkt, der zur Stapelmitte zeigt, die Haftreibung größer sein muss, als unser zuvor abgeleitetes
. Es muss mindestens ein Wert von 0.4774 gegeben sein!
Nach langer Suche habe ich einen Hinweis darauf bekommen, dass meine Berechnung zum 3-Schicht-Problem der Zylinder passen würden (siehe Gleichungen 34c, 40 & 42) vom folgenden Paper ...
https: / / w w w .
scielo.br/j/rbef/a/yq7QfBqPFH67YwMf3zHWVXD/?format=pdf&lang=en
Meine Werte für
liegen etwa 10...14% höher als die angenäherten Werte im Skript, welche nur die untere Schranke angeben.
Celestina_Shepherd
Verfasst am: 30. Okt 2025 12:14
Titel:
gast_free hat Folgendes geschrieben:
Dank Euch für die Mühe und Geduld. So lernt man nie aus. Obwohl ich jetzt über mich selber erstaunt bin, mich so verrannt zu haben.
Hallo gast_free,
ich würde mal sagen, wenn man sich verrennt, dann ist das gar nicht so schlimm. Das belegen ja auch zwei bekannte Zitate:
„Umwege verbessern die Ortskenntnis“ und „Der längste Umweg ist der kürzeste nach Hause“.
Momentan haben wir das Problem etwas eingekreist und sind gerade bis zur Schicht n=2 gelangt, weiter nicht!!! - Mittlerweile habe ich mir wieder ein paar Gedanken zum Thema der „Normalkraftverteilung“ gemacht, die ich so nicht mehr stehen lassen möchte. Es bedarf bei dieser Problemstellung einer weiteren Präzisierung der Randbedingung! Insofern würde ich behaupten, dass ich mich ebenfalls verrannt habe bzw. die Situation etwas verkannt habe. Der Dreh- und Angelpunkt ist die Definition der Fixierung, die als Randbedingung Auswirkung auf die Gesamtsituation hat. Ich unterscheide daher jetzt 3 Fälle:
[1]: Die unterste Schicht ist komplett fixiert (fest mit Boden verklebt) und die oberen Schichten lose aufgetürmt.
[2]: Die unterste Schicht wird fixiert, sodass die untere Zylinderlage kraftlos nebeneinander liegt, aber seitlich nicht wegrollen kann. Wenn der Stapel steht, wird die Fixierung entfernt.
[3]: Die unterste Schicht wird fixiert, sodass die untere Zylinderlage zusammengepresst nebeneinander liegt, also horizontale Kontaktkräfte vorliegen. Die Fixierung wird entfernt, wobei die Kontaktkräfte langsam abgebaut werden, ABER nicht unbedingt auf Null sinken.
Zu [1]:
Hier hatten wir ja schon den Ausblick diskutiert, dass die Zylinder/Kugeln ohne benötigten Haftreibwert (
) gestapelt werden können. In diesem Fall würden sich die Normalkräfte so verteilen, wie ich es schon mal dargestellt habe. ABER: Diese Verteilung gilt ausschließlich nur für diesen speziellen Fall !!! – Für Fall [2] & [3] kann das meiner Meinung nach nicht mehr funktionieren, weil wir die Haftreibungswirkung nicht nur in der untersten Lage betrachten dürfen, sondern diese durch sämtliche Lagen durchziehen müssen => Gleichungssystem wächst irgendwann mit
. Würde man meine Normalkraftverteilung für den Fall [2] & [3] übertragen, dann hätte das zur Konsequenz, dass ab
ein Zylinder herausgedrückt werden müsste, egal wie groß die Haftreibung angenommen wird. Das verträgt sich dann nicht mehr mit meinem physikalischen Bild.
https : / /
postimg.cc/Fd0jCVJ5
zu [2] & [3]:
Hier habe ich bezüglich n=3 versucht, das Gleichungssystem zu lösen und bin auf folgende Ergebnisse gestoßen. (In meiner Skizze habe ich die eine Tangentialkraft absichtlich in die falsche Richtung zeigen lassen, da sich diese Orientierung auf die Normalkraftverteilung bezog, die hier nicht mehr gilt. Daher ergibt sich das negative Vorzeichen bei den Endresultaten.)
postimg.cc/WDkWjrJt
postimg.cc/9R2phkh6
Da wir bei dieser Fallbetrachtung nicht mehr ein zentrales Kräftesystem vorliegen haben, denn die Tangentialkräfte erzeugen Drehmomente, verteilen sich die Normalkräfte völlig anders und fließen teils in die Tangentialkomponenten hinüber. Außerdem reduziert sich die durchgeleitete Normalkraft am Außenzylinder und wird in die Normalkraft „umgeleitet“, die Richtung Stapelmitte zeigt.
Eine ganz wichtiges Ergebnis ist bei mir herausgekommen, dass am Kontaktpunkt, der zur Stapelmitte zeigt, die Haftreibung größer sein muss, als unser zuvor abgeleitetes
. Es muss mindestens ein Wert von 0.4774 gegeben sein!
Da ich nun größere Gleichungssysteme nicht mehr durchrechnen möchte/wollte, würde ich gerne eine Hypothese aufstellen, die sich auf die vorletzte Schicht (n-1) bezieht bei sehr großen n. Wenn nämlich schon bei n=3 eine wesentliche Verringerung der durchgeleiteten Normalkraft abzusehen ist, dann lässt das in der Tat darauf schließen, dass bei unendlich großem n gar kein Unterschied mehr zwischen den beiden Normalkräften existiert, die in einer Wirkungslinie liegen. Somit erlangt die einstige Idee von „gast_free“ wieder an Bedeutung, nur über die Hintertür und über die Wirkung der auftretenden Tangentialkräfte infolge Haftreibung.
Ich bin des Weiteren auch davon ausgegangen, mehr aus intuitiven und ästhetischen Gründen, dass der maximale Haftreibwert gegen folgenden Wert konvergiert.
Hypothese:
postimg.cc/2LqxsX98
Damit hole ich die totgeglaubte „summarische 1/2^n-Entkräftung“ –Theorie wieder zum Vorschein und deute diese vom Wert etwas um, wobei ich mich auf die Relationen vom Fall n=3 beziehe. Hier bekommt die untere Normalkraft (außen) summarisch einen Anteil dazu, der zu folgendem Wert führt:
bei Fall (n=3):
Statt 1/2 ist dieser Wert etwas geringer und führt bei genauerer Anpassung zum Grenzwert:
bei der Hypothese:
Und diese Werte finden sich in der Hypothese wieder. Das wäre evtl. ein Indiz, dass es sich so in ähnlicher Weise mit den durchgeleiteten Normalkräften verhält, bleibt aber trotzdem nur eine HYPOTHESE!
Außerdem noch speziell zu Fall [3]:
Hier habe ich mir die "gepresste Fixierung" für n=2 vorgeknöpft. Es gibt mit einer (kleinen) Haltekraft auch eine Lösung, die dann zu höher benötigten Haftreibwerten zwischen den Zylindern führt. D.h., es gibt auch Gleichgewichtszustände, die eine sehr geringere horizontale Kontaktkraft zulassen, dann aber gewaltigen Einfluss auf den benötigten Reibwert zwischen den Zylindern nehmen!
--- Diesen Fall [3] möchte ich aber im Weiteren ausklammern ---
Ich bin gespannt, wir Ihr das seht??? - Ist der benötigte Haftreibwert wirklich in Richtung tan(30°) anzusiedeln? – Falls in meinen Überlegungen irgendwelche falsche Voraussetzungen gewählt worden sind, dann bitte melden. Dann lerne ich gerne aus meinen Fehlern.
Ich hätte nicht gedacht, dass diese „einfache“ Aufgabe so vertrackt sein kann.
Celestina
gast_free
Verfasst am: 25. Okt 2025 16:54
Titel:
Ich bin nun alles durchgegangen, auch die Übungsaufgabe aus Lörrach, und bin einsichtig geworden. Ich hatte mich verrannt, in der Annahme das die Vertikalkomponente der Normalkraft weiter durch 2 geteilt werden muss. Tatsächlich wirkt sie auf der gesamten Wirklinie durch und zu ihr gesellen sich die weiteren Gewichtskraftkomponenten. Dank Euch für die Mühe und Geduld. So lernt man nie aus. Obwohl ich jetzt über mich selber erstaunt bin, mich so verrannt zu haben.
Myon
Verfasst am: 24. Okt 2025 22:21
Titel:
Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben:
Für den Zylinder (mit d=2 und n=2) würde sich dann dieser Wert bestätigen:
Genau, wollte die Spannung nicht nehmen.
Celestina_Shepherd
Verfasst am: 24. Okt 2025 22:02
Titel:
Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben:
Damit würde dann folgen:
Für den Zylinder (mit d=2 und n=2) würde sich dann dieser Wert bestätigen:
Schade, dass der Test nicht für größere n bestimmt ist.
Myon
Verfasst am: 24. Okt 2025 21:28
Titel:
In dieser Aufgabe
https://isaacscience.org/questions/three_cylinders
wird der Minimalwert von
für die Anordnung mit 3 Zylindern gesucht. Man kann die eigene Lösung eingeben und überprüfen lassen.
Celestina_Shepherd
Verfasst am: 24. Okt 2025 18:27
Titel:
Ich habe hier endlich mal eine Berechnung gefunden, die unserer Aufgabenstellung ganz ähnlich ist. Anhand der Aufgabe 15 bekommt man ganz gut erklärt, wie sich die Normalkräfte von Schicht zu Schicht verändern.
https : / /
ulrich-rapp.de/stoff/statik/Statik_Ub_zentral.pdf
Ansonsten bin ich auch auf einen Anbieter gestoßen, der Sicherungskeile für Rohr-Stapelungen anbietet. Dieser gibt in seiner Info mit, wie man die Zylinder positionieren soll, so dass es auch von der Arbeitssicherheit her okay ist. Hier ist die Regel (leider unbegründet), dass immer nur maximal 2 Außenzylinder frei liegen. Damit umgeht man dann der Lastmultiplikation an der äußeren Flanke. Der Anbieter erlaubt auf diese Weise eine Stapelung bis max. 20 Lagen, wenn die richtigen Keile fachgerecht unten verbaut sind!
https : / /
postimg.cc/r03jdWSS
Myon
Verfasst am: 24. Okt 2025 17:53
Titel:
@gast_free: Du schreibst in der pdf-Datei:
Zitat:
Bis hierher herrscht sicher Einigkeit und Deine Formel trifft zu. Schon bei der nächsten Schicht aber sehe ich Probleme. Mit Deiner Gleichung für FN(n+1)=... müsste gelten
Du gehst hier offenbar davon aus (?), dass sich die von oben kommende Normalkraft hälftig auf die von unten angreifenden Normalkräfte verteilt. Eine symmetrische Aufteilung (und als Folge so etwas wie eine geometrische Reihe) wäre aber nur der Fall, wenn die Normalkraft von oben
vertikal
einwirken würde. Tatsächlich aber greift sie im Winkel von 60° an. Die x-Komponente dieser von oben kommenden Normalkraft kann nur kompensiert werden, wenn von unten in entgegensetzter Richtung eine betragsmässig gleichgrosse Normalkraft angreift. Hinzu kommt die Gewichtskraft des Zylinders in Schicht 2, die wieder symmetrisch durch Normalkräfte von unten kompensiert wird. Es gilt also (in Deiner Notation)
und analog
Und sonst stelle einfach einmal für die 2. Schicht die Gleichungen für das Kräftegleichgewicht auf und löse nach der gesuchten Normalkraft auf. Oder studiere noch einmal die Erklärung von Celestina weiter oben ("Betrachtung des freigeschnittenen Zylinders in Schicht k=2").
gast_free
Verfasst am: 24. Okt 2025 14:51
Titel:
Die Normalkräfte leiten sich aus der Hälfte der Gewichtskraft ab, die senkrecht wirkt. Genauer gesagt aus dem Gewichtskraftanteil geteilt durch den Cosinus von dreißig Grad. Die x-Komponente der Normalkraft ist dann die Normalkraft multipliziert mit dem Cosinus von sechzig Grad oder dem Sinus von dreißig Grad. Die Halbierung steckt bereits drin und ergibt sich damit zwingend. Sie pflanzt sich entlang der Kette fort und führt zu den höheren Potenzen von Einhalb. Da jeweils die bereits halbierten Gewichtskraft anteilig zugerechnet werden müssen und dann wieder Halbierungen unterliegen.
Ich habe in der Anlage eine Datei hochgeladen, in der ich auf zwei Arten die umstrittene Normalkraftformel geprüft und bewiesen habe. Diesmal ohne Zeichnung. Einmal mathematisch als Beweis und dann noch mal physikalisch mit einem Plausibilisierungstest. In keinem der Betrachtungen sind mir Widersprüche aufgefallen. Ich gehe erstmal von der Richtigkeit weiter aus.
Celestina_Shepherd
Verfasst am: 23. Okt 2025 18:10
Titel:
gast_free hat Folgendes geschrieben:
Ersteinmal ein Kompliment. Es ist wirklich ein tolles Bild, was Du da gezeichnet hast. Welches Werkzeug hast Du dafür benutzt?
Eigentlich habe ich nur das plumpe Paint verwendet und mit den Copy-Funktionen vervielfältigt.
Zitat:
Dann eine Frage zur Weiterereichung der Normalkräfte. Diese haben doch eine y-Komponente. Diese wird zur Gewichtskraft des betreffenden Zylinders hinzu addiert. Genau diese Komponente stützt sich wiederum gleichmäßig auf die beiden direkt darunter liegenden Zylinder ab. Jeder bekommt demnach die Hälfte ab. Das war meine Annahme. Ich bin leider immer noch nicht dazu gekommen. Meine Annahme schlüssig zu beweisen. Sollte sie falsch sein, wird es sich heraus stellen. Und dann wieder Asche auf mein Haupt. Bis dann.
Ich glaube zu verstehen, auf welche Weise du die Kräfte weitergeben möchtest. Du rechnest die oben einlaufende Normalkraft als zusätzliche "Gewichtskraft" um und willst sie dann auf beide Kontaktpunkte unten 50:50 verteilen. Ich glaube nicht, dass das funktioniert, weil dann das Krafteck wahrscheinlich nicht mehr geschlossen wird. (zentrales Kräftesystem fordert das!)
Für mich besitzt jeder Zylinder immer nur
die eine
Gewichtskraft, die vertikal nach unten zeigt. So ist das bei einem sauber freigeschnittenen Element der Mechanik/Statik. Hinzukommend betrachtet man die einprägende Normalkraft von oben und berechnet als Reaktion die unteren Normalkräfte. Bei den Normalkräften (ungeachtet der Richtung) darf man eine Aufteilung 50:50 nicht machen. Das darf man nur bei der vertikal gerichteten Gewichtskraft eines jeden Zylinders. (So meine Mutmaßung)
Myon
Verfasst am: 23. Okt 2025 17:53
Titel:
@gast-free: Lies doch noch einmal den vorletzten Beitrag von Celestina oder betrachte das Bild. Da wird sehr schön erklärt, weshalb in den äusseren Zylindern nur ein Kräftegleichgewicht herrschen kann, wenn die von schräg oben kommenden Normalkräfte direkt nach unten weitergeleitet werden. Ansonsten einfach ein Gleichungssystem für einen der äusseren Zylinder aufstellen; für alle Schichten von 1 bis n-1 hat dieses die gleiche Form.
Zu Deiner pdf-Ausarbeitung: Du schreibst für das Kräftegleichgewicht des oberen Zylinders bei zwei Lagen
Ich denke, es liegt wieder das gleiche Problem vor wie vorher. Die tangential wirkenden (Haftreibungs-)Kräfte haben auch eine vertikale Komponente. In vektorieller Form müsste also gelten:
Dabei sind die F_N und F_T die Normal- und Tangentialkräfte, welche die beiden unteren Zylinder auf den oberen ausüben.
Zu den Rollreibungskräften: diese treten auf, wenn ein Zylinder bereits rollt. Vor dem Rollen kann ein "Anfahrtswiderstand" auftreten. Bei glatter Unterlage und harten Zylindern würde ich ebenfalls meinen, dass man dies vernachlässigen kann gegen die Normal- und Haftreibungskräfte.
@Celestina: Ja, wirklich sehr schönes Bild und gute Erklärungen!
Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben:
Denn ich würde gerne weiterhin den Standpunkt vertreten, dass eine schräge Lastkolonne vom obersten bis zum untersten Zylinder wirkt und
damit n-fach zum Ausdruck kommt, so wie es bei Kraftbrücken auch der Fall wäre.
Sehe ich auch so. Auch alles andere, was Du schreibst, finde ich plausibel. Sobald
zwischen den beiden untersten Schichten über dem berechneten Minimalwert liegt und für alle darüber liegenden Schichten positiv ist, müsste theoretisch ein stabiles Gleichgewicht vorliegen. Das gilt nicht mehr, wenn es zu Verformungen kommt.
gast_free
Verfasst am: 23. Okt 2025 16:52
Titel:
Ersteinmal ein Kompliment. Es ist wirklich ein tolles Bild, was Du da gezeichnet hast. Welches Werkzeug hast Du dafür benutzt? Dann eine Frage zur Weiterereichung der Normalkräfte. Diese haben doch eine y-Komponente. Diese wird zur Gewichtskraft des betreffenden Zylinders hinzu addiert. Genau diese Komponente stützt sich wiederum gleichmäßig auf die beiden direkt darunter liegenden Zylinder ab. Jeder bekommt demnach die Hälfte ab. Das war meine Annahme. Ich bin leider immer noch nicht dazu gekommen. Meine Annahme schlüssig zu beweisen. Sollte sie falsch sein, wird es sich heraus stellen. Und dann wieder Asche auf mein Haupt. Bis dann.
Celestina_Shepherd
Verfasst am: 22. Okt 2025 22:05
Titel:
Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben:
Im Grunde muss dieser Superpositionsansatz von 2) + 3) nur noch schrittweise fortgeführt werden, um zu den unteren Schichten zu gelangen, und dass bedeutet dann, dass die linke untere Normalkraft den k-fachen Wert gegenüber der Normalkraft rechts unten am Außen-Zylinder besitzt, wenn man in Schicht k angelangt ist.
Beim zentralen Kräftesystem hat man den Vorteil, dass hier noch keine Momente betrachtet werden müssten. Erst ganz unten beim Bodenkontakt wird das relevant. Dort müssen dann die Reibwerte der Überprüfung standhalten, bei der dann auch das Momentengleichgewicht mit einspielt und die Rollreibung m.E. einen marginalen Charakter hat.
Zu den Normalkräften habe ich mal ein Bild erstellt, so wie ich das bei den gestapelten Zylindern sehe.
https : / /
postimg.cc/Z0vRW96M
Celestina
gast_free
Verfasst am: 22. Okt 2025 17:13
Titel:
Lass mir ein bisschen Zeit. Die habe ich ganz aktuell nicht. Ich werde aber einen Zylinder ganz links in der n-ten Schicht betrachten. Für ihn werde ich versuchen ganz allgemein die Gleichgewichtsbedingungen aufzustellen, in der Annahme daß sie die von oben eingetragenen Kräfte sich so verhalten, wie ich es annehme. Dann kann man wiederum das Ergebnis für n=1 und n=2 sich anschauen, ob es stimmt (Verankerung). Stimmt es, kann man auf n+1 ein via Formel gehen und das n plus einte zu n händisch dazu rechnen. Bleibt alles Widerspruchsfrei gehe ich nach wie vor von der Richtigkeit aus.
Celestina_Shepherd
Verfasst am: 22. Okt 2025 11:03
Titel:
gast_free hat Folgendes geschrieben:
Ich bleibe erstmal bei meinen Ergebnissen, solange bis mir ein Fehler in der Herleitung gezeigt wird. So wie bei der Tangentialkraft. Dann bin ich in jeder Form lernbereit.
Hallo gast_free,
ja, deine Ergebnisse kann und will ich aktuell nicht in Zweifel ziehen. Wie gesagt, ich kann von meiner Seite nur hypothetisch argumentieren, ohne zu wissen, ob sich alles wirklich so verhält.
Daher versuche ich noch einmal aus meiner Perspektive zu schildern, warum ich eine andere Auffassung vertrete. Wenn diese sich dann als falsch herausstellt, dann habe ich zumindest was gelernt.
Zitat:
Wenn ich mit verschiedenen Objekten experimentiere ist es immer das Rollen, was den Stapel auseinander fließen lässt. Nie das Gleiten. Die beiden untersten Zylinder brechen aus, in dem das resultierende Drehmoment sie über die Haftreibungslinie kippen lässt. Diese Beobachtung hat mich dazu gebracht die Drehmomente mit einfließen zu lassen.
Ich kann mir das gut vorstellen, dass z.B. in der Konfiguration von 3 Zylindern (n=2 - Schichten) die beiden unteren Zylinder auseinanderrollen, sogar müssen. Das tun sie aber nur, weil der mittlere Zylinder oben eine Gleitbewegung entlang der Zylinderoberfläche ausführt. Und dieser Gleitzustand soll ja unterbunden werden durch den gesuchten Haftreibwert zwischen den Zylindern. Sobald die Haftreibung aber groß genug ist, kann der Außen-Zylinder (mit dem Bodenkontakt!) nicht mehr rotieren, aber er könnte durchaus (zuerst) ins Gleiten kommen, wenn dort die Haftreibung zu niedrig ist. Im weiteren Verlauf, wenn das Gleichgewicht weiter am Zusammenbrechen ist, wird auch das Auseinanderrollen zu beobachten sein. Aber das ist dann eine Spätfolge einer anderen Ursache, nämlich dass es zum Gleiten gekommen ist.
Zitat:
Jeder übergeordnete Zylinder gibt seine senkrechte Kraft auf die beiden darunter liegenden Zylinder ab. Vom dem Zylinder der noch darüber liegt viertelt sich der Kraftanteil usw. Daher die Reihe, die den ausgerechneten Grenzwert annimmt.
In deinem Skript hast du keine Erklärung dafür gegeben, warum von den Außen-Zylinder zu den nächstunteren Außen-Zylindern ein +1/2, +1/4, +1/8, etc. der Gewichtskraft weitergegeben wird. Da fehlt mir die Begründung. Die Reihen-Summe ist natürlich in Ordnung, aber warum die Summenfolge so aussieht, habe ich noch nicht verstanden. Für mich ist das nicht unbedingt schlüssig, weil doch jeder Zylinder (außer die Zylinder mit dem Bodenkontakt) für sich ein "zentrales Kräftesystem" bildet, deren Kräfte alle durch den Mittelpunkt des jeweiligen Zylinders verlaufen.
Mein Ansatzpunkt: Alle Zylinder sind bei der Betrachtung im Gleichgewichtszustand, es gibt kein Element, dass sich bewegt. Dann kann man doch nach dem Superpositionsprinzip der Reihe nach die Normalkräfte auf den Außen-Zylindern betrachten (z.B. die linke Seite/Flanke).
1) Betrachtung des freigeschnittenen Zylinder ganz oben k=1:
Der oberste Zylinder hat eine senkrecht nach unten gerichtete Gewichtskraft FG und zwei Normalkräfte gleicher Größe, die nach oben durch den Mittelpunkt unter 60° verlaufen.
2) Betrachtung des freigeschnittenen Zylinders darunter k=2 (ohne Zylinderkräfte darüber!):
Dieser Zylinder hat eine senkrecht nach unten gerichtete Gewichtskraft FG und zwei Normalkräfte gleicher Größe, die nach oben durch den Mittelpunkt unter 60° verlaufen, verhält sich also absolut identisch zum oberen Zylinder.
3) Betrachtung des freigeschnittenen Zylinders in Schicht k=2 (aber mit Normalkraft vom Zylinder darüber!):
Die Normalkraft (aus k=1) kommt von oben rechts (unter 60°) und geht durch den Mittelpunkt des Zylinders und steht sich nun der linken Normalkraft von unten in direkter Linie gegenüber. D.h, diese linke unterere Normalkraft muss als Reaktion die obere zusätzlich auffangen und hat dann den 2-fachen Wert, während die Normalkraft unten rechts 1-fach bleibt. Dann herrscht wieder Gleichgewicht im zentralen Kräftesystem.
Im Grunde muss dieser Superpositionsansatz von 2) + 3) nur noch schrittweise fortgeführt werden, um zu den unteren Schichten zu gelangen, und dass bedeutet dann, dass die linke untere Normalkraft den k-fachen Wert gegenüber der Normalkraft rechts unten am Außen-Zylinder besitzt, wenn man in Schicht k angelangt ist.
Beim zentralen Kräftesystem hat man den Vorteil, dass hier noch keine Momente betrachtet werden müssten. Erst ganz unten beim Bodenkontakt wird das relevant. Dort müssen dann die Reibwerte der Überprüfung standhalten, bei der dann auch das Momentengleichgewicht mit einspielt und die Rollreibung m.E. einen marginalen Charakter hat.
Celestina
gast_free
Verfasst am: 22. Okt 2025 06:37
Titel:
Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben:
gast_free hat Folgendes geschrieben:
Hier noch mal ein neuer Vorschlag.
Hallo gast_free,
vielen Dank für deine große Mühe, den Sachverhalt im neuen Paper eine detailliert gegliederte Struktur zu geben!!! Da du im neuen Ansatz auch die Rollreibung mit hast einfließen lassen, ist das Problem natürlich auch komplexer geworden, womit es nun aber für mich schwieriger geworden ist, die bisherigen Aussagen zu den Haftreibwerten den neuen Werten gegenüberzustellen.
Wenn ich mit verschiedenen Objekten experimentiere ist es immer das Rollen, was den Stapel auseinander fließen lässt. Nie das Gleiten. Die beiden untersten Zylinder brechen aus, in dem das resultierende Drehmoment sie über die Haftreibungslinie kippen lässt. Diese Beobachtung hat mich dazu gebracht die Drehmomente mit einfließen zu lassen.
Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben:
Ich wäre bei dem Problem davon ausgegangen, dass die Rollreibung (schon von den geringeren Werten her) eine untergeordnete Rolle spielt, und daher als Einflussgröße nicht von Gewicht ist. Deswegen hatte ich sie anfangs gar nicht angesprochen. Sie würde m.E. eine ganz geringfügige Unterstützung zur Wahrung des Gleichgewichtes sein, da ja ein kleiner Rollwiderstand bzw. ein kleines "Losbrechmoment" überwunden werden müsste. Kurz gesagt: die Haftreibwerte würden nur geringfügig nach unten korrigiert, so meine Einschätzung. Hingegen sind deine errechneten Rollreibwerte recht hoch (?), zumindest untypisch groß.
Unter Punkt 5.1 hast du erneut die wirkenden Gewichtskräfte betrachtet, die über die Normalkräfte nach unten bis in den untersten Außenzylinder geleitet werden. Durch die summarische
-"Entkräftung" bis in die n-te Schicht kommt dort maximal die 2-fache Gewichtskraft als vertikale Reaktionskraft heraus. Dieses könnte ich mir vorstellen, wenn man statt waagerechter Zylinder eher Dosen (hochkant) zu einer Dreiecks-Pyramide stapelt. Dann bekommt die äußerste Dose (unten) nur einen Anteil ab, der kleiner als das 2-fache der Gewichtskraft einer Dose ist. Vielleicht liege ich aber mit meiner Denkweise auch daneben???
Jeder übergeordnete Zylinder gibt seine senkrechte Kraft auf die beiden darunter liegenden Zylinder ab. Vom dem Zylinder der noch darüber liegt viertelt sich der Kraftanteil usw. Daher die Reihe, die den ausgerechneten Grenzwert annimmt.
Zitat:
Denn ich würde gerne weiterhin den Standpunkt vertreten, dass eine schräge Lastkolonne vom obersten bis zum untersten Zylinder wirkt und
damit n-fach zum Ausdruck kommt, so wie es bei Kraftbrücken auch der Fall wäre.
Anders könnte ich mir mein Experiment auch nicht erklären, als ich von oben auf die Stapelung der Zylinder eine zusätzliche vertikale Kraft aufgebracht hatte und plötzlich in den unteren Schichten ein Zylinder herausgeschossen wurde. Mit einer
-"Entkräftung" nach unten hätte bei diesem "befreiten" Außen-Zylinder gar nicht soviel kinetische Energie existieren dürfen. Ohne Kraftbrücke wäre dieser nur herausgekullert, was aber nicht der Fall war.
Liege ich denn so verkehrt mit meiner Ansicht???
Celestina
Ich bleibe erstmal bei meinen Ergebnissen, solange bis mir ein Fehler in der Herleitung gezeigt wird. So wie bei der Tangentialkraft. Dann bin ich in jeder Form lernbereit.
Bis dann.
Celestina_Shepherd
Verfasst am: 21. Okt 2025 13:38
Titel:
gast_free hat Folgendes geschrieben:
Hier noch mal ein neuer Vorschlag.
Hallo gast_free,
vielen Dank für deine große Mühe, den Sachverhalt im neuen Paper eine detailliert gegliederte Struktur zu geben!!! Da du im neuen Ansatz auch die Rollreibung mit hast einfließen lassen, ist das Problem natürlich auch komplexer geworden, womit es nun aber für mich schwieriger geworden ist, die bisherigen Aussagen zu den Haftreibwerten den neuen Werten gegenüberzustellen.
Ich wäre bei dem Problem davon ausgegangen, dass die Rollreibung (schon von den geringeren Werten her) eine untergeordnete Rolle spielt, und daher als Einflussgröße nicht von Gewicht ist. Deswegen hatte ich sie anfangs gar nicht angesprochen. Sie würde m.E. eine ganz geringfügige Unterstützung zur Wahrung des Gleichgewichtes sein, da ja ein kleiner Rollwiderstand bzw. ein kleines "Losbrechmoment" überwunden werden müsste. Kurz gesagt: die Haftreibwerte würden nur geringfügig nach unten korrigiert, so meine Einschätzung. Hingegen sind deine errechneten Rollreibwerte recht hoch (?), zumindest untypisch groß.
Unter Punkt 5.1 hast du erneut die wirkenden Gewichtskräfte betrachtet, die über die Normalkräfte nach unten bis in den untersten Außenzylinder geleitet werden. Durch die summarische
-"Entkräftung" bis in die n-te Schicht kommt dort maximal die 2-fache Gewichtskraft als vertikale Reaktionskraft heraus. Dieses könnte ich mir vorstellen, wenn man statt waagerechter Zylinder eher Dosen (hochkant) zu einer Dreiecks-Pyramide stapelt. Dann bekommt die äußerste Dose (unten) nur einen Anteil ab, der kleiner als das 2-fache der Gewichtskraft einer Dose ist. Vielleicht liege ich aber mit meiner Denkweise auch daneben???
Denn ich würde gerne weiterhin den Standpunkt vertreten, dass eine schräge Lastkolonne vom obersten bis zum untersten Zylinder wirkt und
damit n-fach zum Ausdruck kommt, so wie es bei Kraftbrücken auch der Fall wäre.
Anders könnte ich mir mein Experiment auch nicht erklären, als ich von oben auf die Stapelung der Zylinder eine zusätzliche vertikale Kraft aufgebracht hatte und plötzlich in den unteren Schichten ein Zylinder herausgeschossen wurde. Mit einer
-"Entkräftung" nach unten hätte bei diesem "befreiten" Außen-Zylinder gar nicht soviel kinetische Energie existieren dürfen. Ohne Kraftbrücke wäre dieser nur herausgekullert, was aber nicht der Fall war.
Liege ich denn so verkehrt mit meiner Ansicht???
Celestina
gast_free
Verfasst am: 20. Okt 2025 16:56
Titel:
Hier noch mal ein neuer Vorschlag.
Celestina_Shepherd
Verfasst am: 15. Okt 2025 11:43
Titel:
Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben:
Ich tippe mal, dass es letztendlich von der Größe der Störung (Winkeltoleranzen?) abhängt, wann das Gleichgewicht zusammenbricht. Die Anzahl der Schichten n wird also nach oben beschränkt sein, was ja auch realistisch klingt. Denn ab einer bestimmten Last kommt es ja zu größeren elastischen Verformungen, die vielleicht durch Abflachungen sogar anfänglich noch stabilisierend wirken können. Aber spätestens, wenn es in Richtung der Plastizitätstheorie geht, wird das Gebilde wortwörtlich auseinanderfließen/-driften. Zu idealisiert darf man dieses Problem dann auch nicht auffassen, sonst kann man es mit der Realität nicht mehr abgleichen. - Im Idealzustand
(nicht real)
würde ich ansonsten sagen, könnte man unbegrenzt hochstapeln, auch bei
.
Ich habe mal versucht, die Problematik der "Instabilität" bei großem n bildlich darzustellen. Dazu habe ich mir nur die linke Zylinderflanke (Kolonne) angeschaut und den Rest der Zylinderpyramide als Ersatzmodell überlegt (=treppenartige Gleit-Ebene unter 30°).
https : / /
postimg.cc/grQnhC2b
Celestina_Shepherd
Verfasst am: 14. Okt 2025 23:02
Titel:
gast_free hat Folgendes geschrieben:
#1
Könnte es sein, dass es kein festes Verhältnis der beiden minimalen Haftreibwerte gibt? Je größer der Eine, umso kleiner braucht nur der andere Wert zu sein.
#2a
Wenn die Zylinder Beispielweise auf der Unterlage festgeklebt sind, dann kann der Reibwert zwischen den Zylindern auch Null sein. Das Gebilde bleibt stabil.
#2b
Sind die Zylinder untereinander verklebt, kann die Unterlage auch aus Glatteis oder einem Schmierfilm bestehen. Das Gebild rollt oder rutscht trotzdem nicht auseinander. Genauso gibt es zwischen diesen beiden Extremfällen jede Menge Fälle wo beide Werte offenbar voneinander in linearer Weise abhängen.
#3
Ich habe im ersten Anlauf lineare Funktionen gefunden, die darüber Auskunft geben, wie die beiden Werte zusammen hängen und unter welchen Voraussetzungen eine der beiden Werte auch Null sein darf. Ich bin aber noch am Prüfen. Diesmal habe ich zu den Gleichgewichtsbedingungen der Kräfte noch die Momente hinzu genommen. In der Konfiguration treten ja Kräftepaare und somit Momente auf, die sich auch zu Null summieren müssen um Stabilität zu erreichen.
@ #1
Mittlerweile bin ich da auf der Seite von "Myon" gewechselt, der darauf hingewiesen hat, dass mit dem Erreichen des Minimalkriteriums für
die Sache mit dem Gleichgewicht ausgestanden ist. Mit einem bestimmten
(abhängig von n) wäre dann auch nur ein
festgeschrieben.
@ #2a
In einer idealisierten und perfekten Anordnung ist das wahrscheinlich auch so, aber meiner meinung nach auch eine verdammt heikle und
instabile
Konfiguration.
@ #2b
Hier muss man aufpassen, weil das Verkleben/Verschweißen der Zylinder zu einem ganzen Körper nicht mehr das Ausgangsmodell abbildet! Denn, wenn
laufen sollte, so bleibt eines noch bestehen, dass sich nämlich die Zylinder weiterhin noch drehen dürfen. Bei deinem Körper ist das nicht mehr möglich und die freien Momente findet man nur als Schnittmomente wieder, die Spannungen erzeugen. Diese im Gleichgewicht befindliche kinematische Betrachtung des Ausgangsproblems ist bei einer Verklebung nicht mehr gegeben.
@ #3
Richtig, die Drehmomente, die den Zylinder hinausdrehen möchten, müssen über die Reibkräfte aufgefangen werden.
---
Ich versuche mal die Gedankenexperimente noch mal aufzudröseln, so wie ich sie aktuell verstanden habe und werten würde.
(A) Zylinder alle frei, also nicht verklebt:
Unabhängig von
wird der äußere Zylinder herausrollen.
Ein Gleichgewicht stellt sich ein mit
Die Vergrößerung von
wirkt sich nicht mehr auf den Gleichgewichtszustand des Systems aus und dient lediglich der verbesserten Sicherheit, dass
niemals kleiner als
ist.
Für
gilt dann weiterhin:
ist ein festes Verhältnis, sobald
vorliegt und ist von der Höhe (n) der Stapelung abhängig.
mit dem rein theoretischen Grenzwert:
(B) unterste Zylinderschicht ist fixiert/verklebt:
Die Betrachtung hinsichtlich
wird irrelevant, da kein Bodenkontakt zu den "freien" Zylindern besteht.
Für n=2 gibt es auch kein Problem, denn der oberste Zylinder liegt zwischen den beiden fixierten unteren Zylindern.
kann also gegen Null laufen und das Gleichgewicht bleibt bestehen.
n=3:
Jetzt sieht die Situation schon ganz anders aus, weil der Zylinder in der zweiten Schicht-Ebene von unten und oben mit Normalkräften beansprucht wird, neben der Gewichtskraft, die alle durch das Zentrum des Zylinders verlaufen. Das ist aber ein instabiles Gleichgewicht und könnte sofort aus dem Ruder laufen, wenn eine genügend große Störgröße eingeführt wird. [Das ist gleichbedeutend mit zwei Zylindern, die senkrecht übereinander gestapelt werden, in der Hoffnung, sie bleiben so im Gleichgewicht, weil sich ja alle Kräfte theoretisch aufheben.]
Bei n=3 wird wahrscheinlich noch keine Instabilität eintreten sofern
ist, da die Normalkräfte noch nicht groß genug sind. Sobald n aber übermäßig anwächst, kann irgendwann einer der unteren Zylinder herausgedrückt werden, falls
zu klein ist. Ob es generell ein Reibwert
gibt, bei dem dann keine Instabilität mehr zu erwarten ist,
das ist die große Frage
.
Ich tippe mal, dass es letztendlich von der Größe der Störung (Winkeltoleranzen?) abhängt, wann das Gleichgewicht zusammenbricht. Die Anzahl der Schichten n wird also nach oben beschränkt sein, was ja auch realistisch klingt. Denn ab einer bestimmten Last kommt es ja zu größeren elastischen Verformungen, die vielleicht durch Abflachungen sogar anfänglich noch stabilisierend wirken können. Aber spätestens, wenn es in Richtung der Plastizitätstheorie geht, wird das Gebilde wortwörtlich auseinanderfließen/-driften. Zu idealisiert darf man dieses Problem dann auch nicht auffassen, sonst kann man es mit der Realität nicht mehr abgleichen. - Im Idealzustand würde ich ansonsten sagen, könnte man unbegrenzt hochstapeln, auch bei
.
---
Ich hoffe, ich liege mit meinen Deutungen nicht allzu weit von der Wahrheit entfernt??? Wenn doch, dann ist mir jeder Kommentar und jede Kritik recht.
Celestina
gast_free
Verfasst am: 14. Okt 2025 16:42
Titel:
Könnte es sein, dass es kein festes Verhältnis der beiden minimalen Haftreibwerte gibt? Je größer der Eine, umso kleiner braucht nur der andere Wert zu sein. Wenn die Zylinder Beispielweise auf der Unterlage festgeklebt sind, dann kann der Reibwert zwischen den Zylindern auch Null sein. Das Gebilde bleibt stabil. Sind die Zylinder untereinander verklebt, kann die Unterlage auch aus Glatteis oder einem Schmierfilm bestehen. Das Gebild rollt oder rutscht trotzdem nicht auseinander. Genauso gibt es zwischen diesen beiden Extremfällen jede Menge Fälle wo beide Werte offenbar voneinander in linearer Weise abhängen.
Ich habe im ersten Anlauf lineare Funktionen gefunden, die darüber Auskunft geben, wie die beiden Werte zusammen hängen und unter welchen Voraussetzungen eine der beiden Werte auch Null sein darf. Ich bin aber noch am Prüfen. Diesmal habe ich zu den Gleichgewichtsbedingungen der Kräfte noch die Momente hinzu genommen. In der Konfiguration treten ja Kräftepaare und somit Momente auf, die sich auch zu Null summieren müssen um Stabilität zu erreichen.
Celestina_Shepherd
Verfasst am: 14. Okt 2025 14:32
Titel:
gast_free hat Folgendes geschrieben:
Ich versuche es auch noch mal neu. Einige einfache Versuche haben mir gezeigt. Das sehr häufig, bei Instabilität, die Zylinder ins rollen und nicht ins gleiten kommen. Ich werde die Momente mit einfließen lassen und damit auch die Vorgänge zwischen den Kontaktlinien der Zylinder beschreiben. Ich werde mir dabei allerdings Zeit lassen. Wenn ich meine brauchbare Ergebnisse zu haben, werde ich sie wieder hier einstellen. Aber wirklich nur dann.
Wie gesagt, ich glaube, das Problem ist zumindest soweit interessant, dass man sich gut und gerne länger daran aufhalten darf. Es sei denn, jemand kann hier sofort den Schlussstein der Erkenntnis liefern und die finale Lösungsgleichung angeben.
---
Ich habe inzwischen mit den Zylinderstiften aus Stahl etwas weiter experimentiert, um herauszufinden, ob mit zunehmender Anzahl von Schichten (n sehr groß) die Zylinderpyramide stabil bleibt, auch wenn die unterste Schicht fixiert/verklebt worden ist. Nach dem Prinzip der Selbstähnlichkeit der Struktur, die du ja schon ins Gespräch gebracht hattest, habe ich ein paar Schichten aufgebaut (z.B. n=6) und von oben (neben der Gravitationswirkung) eine zusätzliche Kraft senkrecht aufgebracht. Ich denke, auf diese Weise kann man das System auf eine höhere Schichtzahl n*>>n hochskalieren.
Meine Beobachtung ist:
Man kann mit Sorgfalt eine weitaus größere Kraft aufbringen, ohne dass erst einmal etwas passiert. Es sieht so aus, als wenn sich das gesamte Konstrukt durch die Selbsthemmung „verkeilt“ hat. Aber ab einem bestimmten Punkt (einer zusätzlichen kritischen Kraft von oben) reicht eine kleinste Störung aus, sodass es zu einem spontanen Zusammenbruch kommt. Diese Einleitung der Instabilität zeigt sich dann mit einem recht schlagartig impulsiven Rausschleudern des äußeren Zylinders in einer der nicht fixierten unteren Schichten!!! Das hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der „Eulerschen Knickung“, die ja einen druckbelasteten Stab ab einer kritischen Last zur katastrophalen Zerstörung bringt. Der feine Unterschied ist jedoch, dass bei der Eulerschen Knickung die Kraft weiter bestehen bleibt und die Zerstörung ungebremst fortsetzt, während die Belastung bei der Zylinderpyramide stetig abnimmt, da sich die Lastkolonne der gestapelten Zylinder verringert. Es stellt sich dann irgendwann wieder ein Gleichgewicht bei einer kleineren Pyramide ein. Aber die Gefahr ist trotzdem immer noch da, dass durch kleinste Störungen wieder mal einer von den Außenzylindern nach draußen geschossen wird. Man sieht es diesem Konstrukt leider nicht von außen an, wann dieser Punkt erreicht ist!
Das hat mich etwas nachdenklich gemacht, wenn ich da an die vielen aufgetürmten Holzbestände (Polter) in den Wälder denke. Die sind im unteren Bereich meist links und rechts gut verkeilt und gesichert, aber ist das Schutz genug für die nächsthöhere Schicht??? Ich werde mich künftig nicht mehr seitlich von diesen Stapeln bewegen, sondern mich nur noch davor oder dahinter bewegen. Sicher ist sicher! Man weiß ja nie …
Ansonsten habe ich noch einen alten Kugellager-Käfig gefunden und 4 polierte Stahl-Kugeln (Durchmesser 18mm) entnommen. Ein Tetraeder lässt sich unter keinen Umständen mehr mit diesen 4 Kugel stapeln!!! Mit einem Haftreibwert unter 0,10 ist das absolut aussichtslos, was zu beweisen war. - Tennisbälle sind dagegen schon etwas bereitwilliger in ihrer Standfestigkeit.
---
An dieser Stelle wäre ich jedenfalls an den Punkt gelangt, wo ich keine nennenswerte Ideen mehr beisteuern könnte, die weiter hilfreich wären.
Das einzige, worüber man vielleicht noch diskutieren könnte, wäre der Sachverhalt, ob nur in der untersten Schicht mit den Reibungskräften gerechnet wird oder im gesamten Konstrukt? - Ich würde davon ausgehen, dass schon ab dem obersten Zylinder die Reibung mit eingehen sollte, weil der Einfluss der untersten Zylinder nicht vom Rest entkoppelt werden kann. Ist so wie bei einem Scherengitter: Egal, wo ich eine Raute aufziehe, es passiert dann sofort überall im Gitter auf dieselbe Weise. Aber das ist wieder nur so eine Ansichtssache von mir.
Celestina
gast_free
Verfasst am: 14. Okt 2025 10:46
Titel:
Ich versuche es auch noch mal neu. Einige einfache Versuche haben mir gezeigt. Das sehr häufig, bei Instabilität, die Zylinder ins rollen und nicht ins gleiten kommen. Ich werde die Momente mit einfließen lassen und damit auch die Vorgänge zwischen den Kontaktlinien der Zylinder beschreiben. Ich werde mir dabei allerdings Zeit lassen. Wenn ich meine brauchbare Ergebnisse zu haben, werde ich sie wieder hier einstellen. Aber wirklich nur dann.
Celestina_Shepherd
Verfasst am: 13. Okt 2025 13:21
Titel:
Myon hat Folgendes geschrieben:
Zitat:
Fall 2:
Sobald der Reibwert zwischen den Zylindern größer als tan(15°) ist, versucht sich der Zylinder gegen den Nachbar-Zylinder abzustützen. Es entsteht eine ansteigende Druckkraft im Punkt C als Reaktion.
Das verstehe ich nicht ganz. Für eine Haftreibungskraft gilt ja
Die Haftreibungskraft kann ein Maximum nicht übersteigen, das durch den Haftreibungskoeffizienten und die Normalkraft bestimmt ist. Ein grösserer Haftreibungskoeffizient bedeutet aber nicht automatisch eine höhere Haftreibungskraft (bei der Gleitreibung verhält es sich anders).
Was natürlich zutrifft: je höher die Reibungskoeffizienten, umso stabiler ist das System gegen Störungen, da höhere Reibungskräfte möglich sind.
Aaah, so langsam dämmert's bei mir, wo ich noch nicht sauber bin. Sobald sich die Reibungskräfte bzgl. des minimalen Reibwertes
(beim Zylinder) bzw.
(bei Kugel) eingestellt haben, kommt das System in eine Gleichgewichtlage. Die Haftreibkräfte gehen darüber nicht hinaus, auch wenn zwischen den Zylindern/Kugel ein
vorliegt. Das würde dann auch bedeuten, dass alle horizontalen Kontaktpunktkräfte Null sind/bleiben. Das würde die Sache wieder vereinfachen bzw. komme ich ja dann wieder bei meiner Anfangsaussage zurück, nur dass man zur Berechnung von
im Höchstfall nur
einsetzen darf.
Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben:
So, hier wäre das, was ich während meinen letzten U-Bahnfahrten versucht habe durchzurechnen. Ich habe das bzgl. der Problemstellung „Zylinder/Kugeln“ dann etwas verallgemeinert und einen zusätzlichen Parameter d eingeführt, der im Fall d=2 die Zylinder und d=3 die Kugeln anspricht.
a) Damit überhaupt ein Gleichgewicht herrschen kann, muss ein Mindest-Haftreibwert zwischen den Zylindern/Kugeln vorliegen:
b) Der Haftreibwert, der am Boden (Ebene) zumindest vorhanden sein sollte, wäre m.E. dann:
Damit würde dann folgen:
Dann habe ich mir die ganze Zeit das Problem künstlich schwerer gemacht als es womöglich ist.
@Myon
Wenn das der Knackpunkt gewesen war, dann vielen Dank für diesen überaus wichtigen Hinweis!!!
Celestina
Celestina_Shepherd
Verfasst am: 13. Okt 2025 12:06
Titel:
gast_free hat Folgendes geschrieben:
4. Außerdem fällt es mir teilweise schwer, die von Dir und Myon angegebenen Formeln nachzuvollziehen. Da Ihr teilweise die gleichen Ergebnisse erhalten habt gehe ich, als Arbeitshypothese, davon aus das sie nicht falsch sind. Jedenfalls solange nicht, bis ich die Herleitung nachvollziehen kann und einen Fehler finde.
Hallo gast_free,
ich wäre da noch etwas vorsichtig zu behaupten, dass die Ergebnisse von mir nicht falsch sind. Ich denke, sie sind nicht ganz abwegig, wenn man sie mit der Realität abgleichen möchte. Aber, ob sie wirklich korrekt sind????? Da schwingt bei mir noch eine gewisse Unsicherheit mit.
Aber dieses Problem ist ein echtes Paradebeispiel dafür, wie schnell man sich mit nicht zutreffenden Denkansätzen total verrennen kann und man sich erstmal die wirkenden Kräfte im System vor Augen führen muss. Ich selbst rätsle immer noch, ob ich wirklich alles sauber betrachte habe.
gast_free hat Folgendes geschrieben:
Aus reinem wissenschaftlichen Interesse mal die folgende Frage. Wie hast Du die Kraft ermittelt, die tangential zwischen den Berührungspunkten der Zylinder-Kontaktlinien wirkt? Ich habe mich da offensichtlich total verrannt und habe noch immer keine Checkung.
Ich versuche mal zu beschreiben, wie ich zu meiner Ableitung gekommen bin und zitiere daher noch einmal, was ich zu den Kontaktpunkten A, B und C am äußersten Zylinder (links unten) geschrieben habe.
Zitat:
Betrachtet man z.B. den untersten Zylinder ganz links, dann kommt von oben die Normalkraft
unter dem Winkel 60° und wird am Punkt A eingeleitet. Der Punkt B unten mit den beiden Reaktionskräften
und
ist dann der Kontaktpunkt zum Boden. Der Punkt C mit den beiden Reaktionskräften
und
(N:normal, T:tangential) ist der Kontakt mit dem Nachbar-Zylinder rechts, der hier in C kraftlos sei. Das gelingt aber erst, sobald der Reibungskegel am Punkt A so groß ist, dass er den Punkt B mit einschließt, also den Wert tan(15°)=0.26795 hat. Der einzelne Zylinder selbst besitzt zudem noch die einfache Gewichtskraft
in der Vertikalen.
Punkt A:
Die Kraft
kommt von oben unter dem Winkel von 60°. Die dazugehörige Tangentialkraft
zeigt nach rechts (hin zum benachbarten Zylinder).
Punkt B:
Am Kontaktpunkt zum Boden zeigt
nach oben und
nach rechts. Außerdem geht die Gewichtskraft
des einzelnen Zylinder durch diesen Punkt und zeigt nach unten.
Punkt C:
Die Normalkraft
zeigt stets nach links, da ja nur Druckkräfte erlaubt sind. Die dazugehörige Tangentialkraft
zeigt bei mir nach oben. Wenn der Zylinder um den Momentanpol B in eine rechtsdrehende Drehbewegung versetzt wird, dann will sich der Zylinder auch nach rechts bewegen und muss sich gegen Punkt C abstützen. Dort reagiert dann die Normalkraft
(immer positiv!) mit ihrer Tangentialkraft
und nimmt somit auch wieder Einfluss auf die am Punkt B vorliegende Horizontalkraft
, die dann (vorläufig!) anwachsen sollte, sobald
ist. Irgendwann erreicht
ein Maximum und sinkt dann wieder auf Null sobald
ist (nach meiner Theorie!).
[Übrigens, ein Reibwert von tan(60°)=1.732... ist eigentlich nur mit möglich, wenn man eine sehr stark haftende ("klebrige") Gummi-Mischung als Material verwenden würde.]
Jetzt stellt man nur noch die drei Gleichgewichtsbedingungen auf für die Kräfte in x-Richtung, für die Kräfte in z-Richtung und für die Momente um den Momentanpol B.
Dividiert man die resultierende Kraft
durch
, dann sollte hier der minimale Reibwert für
herauskommen.
Die Betrachtung des Vorzeichens für die Horizontalkraft in C, also
, ist dabei sehr wichtig, um den Mindestreibwert für
zu berechnen. Denn unterhalb dieses Wertes müssten Zugkräfte in C wirken, was ja nur möglich wäre, wenn die Zylinder beispielweise zueinander magnetisch anziehend wirken würden.
Aber bevor man viel rechnet, sollte man sich das mit dem Reibkegel im Punkt A einfach mal visuell vor Augen führen. Denn der Reibkegel-Bereich demonstriert ja unverkennbar, wie die vektorielle Summe aus
und
aussehen kann. Und wenn dieser Kegelmantel durch den Punkt B verläuft, geometrisch nur mit einem halben Kegelspitzwinkel 15° möglich, dann laufen alle Kräfte, außer
und
, momentenlos durch diesen Zentralpunkt B. In diesem Fall aber müssen die Kräfte in C auf jeden Fall Null sein, da kein Moment auftreten darf!
Ich hoffe, dass ich zumindest meine mechanische Ansicht damit verdeutlichen konnte, die wie gesagt nur meine "Ansichtssache" ist.
Celestina
Myon
Verfasst am: 13. Okt 2025 11:06
Titel:
Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben:
Jedoch bei n>2 ist (zumindest bei mir!) Schluss gewesen, den eine Stapelung mit insgesamt 6 Zylindern (aus Stahl) habe ich nicht mehr zustande gebracht.
Ja, ich denke, selbst wenn die Reibungskoeffizienten etwas über den theoretischen Minimalwerten liegen, ist ein Stapel, je höher n, hochgradig instabil. Es genügt, wenn an einer Stelle im unteren Bereich zwei Rollen gegeneinander ein wenig gleiten, und die horizontalen Kraftkomponenten nehmen stark zu, in der untersten Schicht auch die Drehmomente. Die innerhalb der gleichen Schicht horizontal wirkenden Berührungskräfte spielen dann eine grosse Rolle.
Zitat:
Diese Kraftbrücken-Problematik ist auch ein sehr reales Thema, das gerne unterschätzt wird wie im Beispiel von Silo-Behältern, deren Behälterwand (durch das innen gelagerte Granulat) im unteren Bereich regelrecht aufgesprengt werden kann(!), obwohl der reine hydrostatische Druck (falsche Annahme) noch längst keine Gefahr bilden sollte.
Danke, interessant.
Zitat:
Fall 2:
Sobald der Reibwert zwischen den Zylindern größer als tan(15°) ist, versucht sich der Zylinder gegen den Nachbar-Zylinder abzustützen. Es entsteht eine ansteigende Druckkraft im Punkt C als Reaktion.
Das verstehe ich nicht ganz. Für eine Haftreibungskraft gilt ja
Die Haftreibungskraft kann ein Maximum nicht übersteigen, das durch den Haftreibungskoeffizienten und die Normalkraft bestimmt ist. Ein grösserer Haftreibungskoeffizient bedeutet aber nicht automatisch eine höhere Haftreibungskraft (bei der Gleitreibung verhält es sich anders).
Was natürlich zutrifft: je höher die Reibungskoeffizienten, umso stabiler ist das System gegen Störungen, da höhere Reibungskräfte möglich sind.
@gast_free: Im Fall n=2, d.h. 2 Schichten, ergab sich bei mir das folgende Gleichungssystem:
Dabei sind:
-d=2 bei den Zylindern, d=3 bei den Kugeln
-F_N1, F_T1 die Normal- und die Tangentialkraft, die bei einer der unteren Kugeln oben beim Winkel von gamma angreifen
-F_N2, F_T2 die Normal- und die Tangentialkraft, die zwischen Zylindern/Kugeln und der Untelage wirken
-bei den Zylindern gilt gamma=60°, bei den Kugeln gamma=arccos(1/sqrt(3)).
Gleichung (1) ist das vertikale Kräftegleichgewicht für den oberen Zylinder/Kugel. Gleichung (2) und (3) entsprechen dem vertikalen/horizontalen Kräftegleichgewicht eines unteren Zylinders. Gleichung (4) ist das Drehmomentgleichgewicht eines unteren Zylinders/Kugel, mit dem Berührungspunkt zur Unterlage als Bezugspunkt.
gast_free
Verfasst am: 13. Okt 2025 10:20
Titel:
High Celestina_Shepherd,
in vielen Dingen stimme ich Dir absolut zu. Ich hatte auch überlegt ob ich meine Beiträge lösche. Normalerweise mach ich das nicht. Ich lasse sie stehen, entwickel sie in Zusammenarbeit anderer Forenteilnehmer weiter, bis ein Konsens erreicht ist. Was hat mich nun dazu bewogen ein Reset durchzuführen.
1. Der Betrag der Tangentialkraft war falsch, aufgrund einer völlig falschen Annahme. Ich habe diesen Betrag mal als Vektor weiter entwickelt und als Probe das Skalarprodukt zusammen mit dem Normalkraftvektor gebildet. Es sollte Null heraus kommen, das war leider nicht der Fall.
2. Dann habe ich den Tangentialkraftvektor noch mal neu abgeleitet. Diesmal ganz streng mit Hilfe der Vektoralgebra. Diesmal kam heraus, das die Tangentialkraft ein Nullvektor ist. Das ist Plausibel aber half mir nicht weiter in der mechanischen Betrachtung. Ist die Tangentialkraft Null, so wird auch keine Reibung statt finden und der erste Reibungskoeffitient ist überflüssig. Das kann aber auch nicht sein.
3. Zum Schluss habe ich versucht mich noch mal mit der waagerechten Komponente der Normalkraft auseinander zu setzen. Hier weiß ich allerdings nicht, wie sie zur Reibung beitragen könnte. Ihre Tangentialkomponente wird neutralisiert von der Tangentialkomponente des vertikalen Normalkraftanteils. Hier sind mir dann die Ideen ausgegangen.
4. Außerdem fällt es mir teilweise schwer, die von Dir und Myon angegebenen Formeln nachzuvollziehen. Da Ihr teilweise die gleichen Ergebnisse erhalten habt gehe ich, als Arbeitshypothese, davon aus das sie nicht falsch sind. Jedenfalls solange nicht, bis ich die Herleitung nachvollziehen kann und einen Fehler finde.
Aus reinem wissenschaftlichen Interesse mal die folgende Frage. Wie hast Du die Kraft ermittelt, die tangential zwischen den Berührungspunkten der Zylinder-Kontaktlinien wirkt? Ich habe mich da offensichtlich total verrannt und habe noch immer keine Checkung.
Celestina_Shepherd
Verfasst am: 12. Okt 2025 23:01
Titel:
gast_free hat Folgendes geschrieben:
Hallo Celestina_Sheperd hallo Myon,
ich habe alles nochmal durchgeschaut. Ja meine Ergebnisse halten auch einer mathematischen Überprüfung nicht stand. Ich hätte mir mehr Zeit nehmen sollen. Vielleicht habe ich mich auch Überschätzt. Ich werde aus Interesse das Thema weiter verfolgen aber mich aus diesem Thread zurück ziehen. Euer Know How ist offenbar größer als meines. Für die fehlerhafte Veröffentlichung entschuldige ich mich. Ich kann leider nicht sinnvoll nachbessern. Daher werde ich meine Beiträge, bis auf diesen, entfernen. Natürlich werde ich künftig vorsichtiger sein mit meinen Versprechungen.
Hallo gast_free,
dass du deine Beiträge zurückgezogen hast, finde ich eigentlich sehr schade. Glaub' mal gar nicht, dass meine Interpretation der Gleichgewichtsthematik bei diesem Thema auf festeren Füßen steht. Da ist noch lange nicht das letzte Wort gesprochen.
Dazu ist ja das Forum da, um sich sukzessive einer Wahrheit zu nähern. Und dabei gehört es auch, sich mal zu verrennen oder eine Richtung einzuschlagen, die sich am Ende als nicht haltbar erweist. Gerade bei diesem "simplen" Beispiel bin ich 3 oder 4 verschiedenen Varianten nachgegangen, bis ich endlich einen Ergebnis-Korridor gefunden hatte, der sich wahrscheinlich mit der Realität in Deckung bringen lässt. Bei meiner ersten Ableitung der Berechnungen bin ich z.B. davon ausgegangen, dass die horizontalen Kontaktkräfte zwischen den Zylindern/Kugeln generell nicht auftreten, was sich aber als völliger Blödsinn erwiesen hat. Auf diese Erkenntnis musste ich aber erst einmal kommen und diesen Fehler werde ich künftig nicht mehr machen.
Ich finde das "Auslöschen" von Beiträgen auch deshalb nicht so angebracht, weil ich ja auf deine Gedankengänge eingegangen bin, und die ja nun leider ins Leere laufen. Keiner kann jetzt mehr nachvollziehen, warum der eine oder andere Ansatz eher geeignet ist oder weniger zutreffend ist. Ehrlich gesagt, habe ich bisher aus meinen vielen Schnitzern und falschen Ansätzen immer weitaus mehr gelernt, als wenn ich eine fein säuberliche Musterlösung vorgesetzt bekommen habe. Außerdem fand ich deine Ergänzung zu den Reibkräften und wann man sie in der Regel betrachten darf und wann nicht, sehr hilfreich!!! - Leider aber gelöscht
Wie gesagt, ich hätte die Historie deiner Beiträge gerne beibehalten, weil mich doch auch die dahintersteckenden Gedankengänge sehr interessiert hätten, denn daraus ergibt sich ja gerade ein lehrreicher Erkenntnisgewinn.
Jedoch stimme ich dir voll und ganz zu, dass dieses "Problem" doch recht spannend bleibt. Hoffentlich auch für dich! - Ich werde zumindest versuchen, mich weiter vorzutasten bis ich an die Grenzen meiner Vorstellungen komme, also noch ein paar Spekulationen in die Waagschale werfen, über die man evtl. noch diskutieren könnte. Und hier freue ich mich ausnahmslos über jede Art von Feedback.
Celestina
gast_free
Verfasst am: 11. Okt 2025 17:45
Titel:
Hallo Celestina_Sheperd hallo Myon,
ich habe alles nochmal durchgeschaut. Ja meine Ergebnisse halten auch einer mathematischen Überprüfung nicht stand. Ich hätte mir mehr Zeit nehmen sollen. Vielleicht habe ich mich auch Überschätzt. Ich werde aus Interesse das Thema weiter verfolgen aber mich aus diesem Thread zurück ziehen. Euer Know How ist offenbar größer als meines. Für die fehlerhafte Veröffentlichung entschuldige ich mich. Ich kann leider nicht sinnvoll nachbessern. Daher werde ich meine Beiträge, bis auf diesen, entfernen. Natürlich werde ich künftig vorsichtiger sein mit meinen Versprechungen.
Celestina_Shepherd
Verfasst am: 10. Okt 2025 22:07
Titel:
gast_free hat Folgendes geschrieben:
Zitat:"Ohne zu sehr ins Detail zu gehen, so ist mir beim Überfliegen der Berechnungen aufgefallen, dass nach deinem Modell ein Gleichgewicht nur herrschen kann, wenn der Haftreibwert zwischen den Zylindern größer/gleich tan(30°)=0.57735… ist. Ein Reibungskegel von dieser Größe hat mich überrascht, weil dieser doch recht hoch ist, so wie bei zwei Holzflächen, die als Reibpaare genommen werden. Heißt also, dass z.B. Stahlzylinder (Stifte, Rohre aus Eisenwerkstoff) gar nicht gestapelt werden können, es sei denn, die Oberfläche ist ziemlich korrodiert. Selbst Holz-Rollen mit einem Reibwert um 0.5 hätten keine Chance für ein Gleichgewicht. Nun, vielleicht ist das ja auch so (?)."
Antwort:
Das kann ich Dir leider auch nicht sagen. Ich habe diesbezüglich keine Experimente durchgeführt.
Ich habe mich inzwischen mal experimentell ausprobiert, weil ich eine Tüte mit Zylinderstiften gefunden habe. Gegenseitig kommen diese ins Rutschen, wenn ein Reibungskegel von etwa 18° vorliegt. Das gleiche gilt auch für die Haftreibung der Unterlage, was dann einem Reibungswert von tan(18°)=0.325 entsprechen würde. Eine Stapelung von insgesamt 3 Zylindern (n=2 ; Schichten) bekomme ich ins Gleichgewicht, wobei dieses System schon sehr störungsanfällig ist, aber es funktioniert. Demnach scheint dein allgemeines Kriterium
etwas ins Wanken zu kommen. Jedoch bei n>2 ist (zumindest bei mir!) Schluss gewesen, den eine Stapelung mit insgesamt 6 Zylindern (aus Stahl) habe ich nicht mehr zustande gebracht.
Ansonsten gehe ich mit dir konform, dass für die Stabilitätsbetrachtung nur die beiden äußersten Zylinder der untersten Schicht näher beleuchtet werden müssen. Hier bist du zu der Annahme gelangt, dass auf diesem nur die 2-fache Start-Normalkraft
von oben eingeleitet wird. Hier würde ich gerne widersprechen, weil ich denke, dass sich entlang der äußeren Flanke eine Kraftbrücke aufbaut, mit der sich diese Normalkräfte von Schicht zu Schicht linear aufbauen, also in der untersten Schicht die (n-1)-fache Start-Normalkraft eingeleitet wird. Diese Kraftbrücken-Problematik ist auch ein sehr reales Thema, das gerne unterschätzt wird wie im Beispiel von Silo-Behältern, deren Behälterwand (durch das innen gelagerte Granulat) im unteren Bereich regelrecht aufgesprengt werden kann(!), obwohl der reine hydrostatische Druck (falsche Annahme) noch längst keine Gefahr bilden sollte.
http : / /
didaktik.physik.fu-berlin.de/projekte/niliphex/material/03%20Kraftbruecken%20sichtbar%20machen%20v16.pdf
http : / / www .
physik.uni-bielefeld.de/didaktik/Experimente/FeuerraederCD05.pdf
In meinen Berechnungen bin ich immer von dieser maximal vorliegenden Kraftbrücke ausgegangen, was dann der (n-1)-fachen Start-Normalkraft entspricht, die auf den Außenzylindern der untersten Schicht lastet und diese seitlich herausdrücken wollen. Daher muss man bei der anfänglichen Fixierung (beim Aufbau der gesamten Stapelung) die unterste Zylinder-Schicht von rechts und links erst einmal zusammendrücken. Danach reduziert man allmählich die fixierende Kraft in horizontaler Richtung bis man dann (hoffentlich) ein Gleichgewichtssystem am Stehen hat.
Bezüglich dieses Gleichgewichts komme ich zu 3 speziellen (hypothetischen) Fällen, die man betrachten kann, wenn n gegen unendlich läuft.
Fall 1:
Das wäre der Grenzfall mit dem Mindest-Reibwert, der zwischen den Zylindern vorliegen muss. In diesem Fall sind alle horizontalen Kontaktkräfte zwischen den Zylindern der untersten Schicht kraftlos. Betrachtet man z.B. den untersten Zylinder ganz links, dann kommt von oben die Normalkraft
unter dem Winkel 60° und wird am Punkt A eingeleitet. Der Punkt B unten mit den beiden Reaktionskräften
und
ist dann der Kontaktpunkt zum Boden. Der Punkt C mit den beiden Reaktionskräften
und
(N:normal, T:tangential) ist der Kontakt mit dem Nachbar-Zylinder rechts, der hier in C kraftlos sei. Das gelingt aber erst, sobald der Reibungskegel am Punkt A so groß ist, dass er den Punkt B mit einschließt, also den Wert tan(15°)=0.26795 hat. Der einzelne Zylinder selbst besitzt zudem noch die einfache Gewichtskraft
in der Vertikalen.
Fall 2:
Sobald der Reibwert zwischen den Zylindern größer als tan(15°) ist, versucht sich der Zylinder gegen den Nachbar-Zylinder abzustützen. Es entsteht eine ansteigende Druckkraft im Punkt C als Reaktion. Lässt man den Reibkegel nun weiter anwachsen, sodass er den Wert tan(30°)=0.57735 annimmt, dann steht eine Linie des Mantels vom Reibkegel vertikal, also senkrecht zum Boden. In diesem Fall sind die horizontalen Kräfte
und
gleich groß und kompensieren sich gegenseitig.
Fall 3:
Sobald der Reibwert zwischen den Zylindern größer als tan(30°) ist, steigt die Druckkraft im Punkt C immer weiter an. Schließt der Reibkegel letztendlich auch den Punkt C ein, wenn also ein Reibwert von tan(60°) vorliegt, dann kommt es zur Situation, dass im Punkt B keine Kraft
mehr nötig ist und damit ein Reibwert
theoretisch gegen Null läuft. Die Reaktionskraft
ist dann gleichbedeutend mit der einfachen Gewichtskraft des einzelnen Zylinders. Dieser Fall müsste dann ein wirklich stabiles und gegen Störungen sehr robustes Gleichgewicht abbilden.
Soweit die Annahmen meinerseits. Die Berechnung des benötigten Reibwertes
zum Boden sieht dann bei mir so aus:
wobei dann …
mit d=2 (Zylinder) und d=3 (Kugel) gilt.
Nochmal zurück zum Fall 1:
Gemäß des Kraftbrücken-Szenario würden auf dem äußersten Zylinder (links unten) alle schräg rechts darüberstehenden Zylinder in direkter Linie eine (n-1)-fache Start-Normalkraft als Last einleiten. Der Nachbar-Zylinder bekommt dann ebenfalls diese Last eingeleitet, nämlich (n-2)-fach von rechts oben und 1-fach von links oben, sodass die Summe wieder (n-1) ist. Und das setzt sich bei allen Zylindern unten fort, womit die Auflagerreaktion
bei jedem Zylinder gleich sein sollte. Aber sobald
ist und immer größer wird, so wird das
der Außen-Zylinder im Gegenzug immer kleiner. Die Belastung an den Außen-Zylindern wird mit steigendem Reibwert quasi „nach innen transportiert“ und zu den restlichen (n-2) Zylindern verteilt.
Ich hoffe, dass meine spekulativen Annahmen sich nicht zu sehr von der Realität entfernen ???
Ansonsten, das wäre doch eigentlich etwas für die Experimentalphysiker, oder?
Denn letztendlich sind es doch die experimentellen Bestätigungen, die uns stets weiterbringen.
Celestina
Myon
Verfasst am: 10. Okt 2025 14:20
Titel:
Nun habe ich mir das auch einmal angeschaut. Allerdings nur den einfachsten Fall, wo ein einzelner Zylinder auf zwei gleichartigen Zylindern aufliegt. Wobei auch das schon etwas mühsam zu rechnen ist, finde ich.
Für den minimalen Haftreibungskoeffizienten zwischen den Zylindern erhalte ich
Für den minimalen Haftreibungskoeffizienten zwischen Zylinder und Unterlage erhalte ich
Beides stimmt mit den Formeln von Celestina_Sheperd überein, Rechenfehler vorbehalten. Allerdings im Fall von
nur, wenn man für
den Minimalwert einsetzt; m.E. ist es nicht logisch, dass der Minimalwert von
von
abhängt: Damit ein Gleichgewicht vorliegen kann, muss
grösser gleich einem Minimalwert sein. Ist dies aber erfüllt, hängt die Haftreibungskraft nicht vom Haftreibungskoeffizienten ab. Ebenso hängt die Normalkraft zwischen den Zylindern m.E. nicht von
ab, hier stimme ich gast_free zu.
Allerdings ist die Anordnung, wie Celestina_Sheperd schon schreibt, statisch unbestimmt. Bei den obigen Minimalwerten sind die Berührungskräfte zwischen Zylindern der gleichen Schicht gleich null.
@gast_free: Du schreibst für den gleichen, einfachsten Fall
Ich denke, dass das nicht richtig sein kann, denn die tangential wirkende Haftreibungskraft hat ja auch eine vertikale Komponente.
PS: Den Fall d=3 mit den Kugeln habe ich ebenfalls für nur 2 Schichten resp. 4 Kugeln noch angeschaut, ich erhalte
Auch das stimmt mit den Formeln von Celestina_Sheperd überein, wenn man wiederum in der Formel für
den Minimalwert von
einsetzt.
gast_free
Verfasst am: 09. Okt 2025 13:53
Titel:
Hat sich erledigt und kann gelöscht werden.
Celestina_Shepherd
Verfasst am: 08. Okt 2025 15:40
Titel:
gast_free hat Folgendes geschrieben:
Hier, wie versprochen, mein bescheidener Beitrag. Die Berechnung und die Lösungen befinden sich in der Anlage als PDF Dokument. Leider hat es etwas länger gedauert. Ich habe unter anderem ein neues Graphikprogramm verwendet, was nicht so richtig mitgespielt hat.
Erst einmal vielen Dank für diese Ausarbeitung!!!
Ich werde nächste Woche mal versuchen, mich wieder intensiver mit diesem Thema zu beschäftigen. Dann kann ich auch direkter auf dein Skript eingehen und die jetzt dort gezogenen Schlüsse besser einordnen. – Ohne zu sehr ins Detail zu gehen, so ist mir beim Überfliegen der Berechnungen aufgefallen, dass nach deinem Modell ein Gleichgewicht nur herrschen kann, wenn der Haftreibwert zwischen den Zylindern größer/gleich tan(30°)=0.57735… ist. Ein Reibungskegel von dieser Größe hat mich überrascht, weil dieser doch recht hoch ist, so wie bei zwei Holzflächen, die als Reibpaare genommen werden. Heißt also, dass z.B. Stahlzylinder (Stifte, Rohre aus Eisenwerkstoff) gar nicht gestapelt werden können, es sei denn, die Oberfläche ist ziemlich korrodiert. Selbst Holz-Rollen mit einem Reibwert um 0.5 hätten keine Chance für ein Gleichgewicht. Nun, vielleicht ist das ja auch so (?).
Ansonsten hat mich gewundert, dass deine „startende Normalkraft“ F_NZ (oberster Zylinder 1) nur direkt von der Gewichtskraft und dem Geometriewinkel 60° abhängt. Sollte diese nicht auch von dem Reibwert dort abhängen? Schließlich will doch der oberste Zylinder (1) die beiden darunterliegenden Zylinder (2) / (3) auseinanderdrücken, sodass der Kontaktpunkt (im Ursprung des KS) zwischen Zylinder (2) und (3) kraftlos wird. Die Gleichgewichtsbedingungen am obersten Zylinder (1) würden dann die Reibkräfte eigentlich berücksichtigen müssen, wenn ich mich nicht irre??? Aber ich schaue mir das noch kommende Woche näher an, wo ich eventuell geschludert haben mag.
Super, dass du dir Zeit dafür genommen hast!
Celestina
gast_free
Verfasst am: 05. Okt 2025 13:10
Titel:
Hat sich erledigt und kann gelöscht werden.
Celestina_Shepherd
Verfasst am: 02. Okt 2025 18:34
Titel:
gast_free hat Folgendes geschrieben:
Ich habe mein Versprechen nicht vergessen. Ich bin dran. Dabei beschränke ich mich auf den Zylinderstapel. Ich sehe zwei Lösungsstrategien.
...
Erst einmal besten Dank, dass Du dich diesem Thema angenommen hast!!! Die Lösung/Simulation hat absolut keine Eile. Hauptsache, am Ende kommt etwas raus, das mir vom Verständnis her weiterhilft.
Bei den horizontalen Kontaktkräften, die sich von außen nach innen (auf Null) abbauen, gehe ich mal davon aus, dass dieses dann linear geschieht.
Dann noch ein schönes langes Wochenende!
Celestina
gast_free
Verfasst am: 02. Okt 2025 16:09
Titel:
Hat sich erledigt und kann gelöscht werden.
Celestina_Shepherd
Verfasst am: 02. Okt 2025 11:32
Titel:
So, hier wäre das, was ich während meinen letzten U-Bahnfahrten versucht habe durchzurechnen. Ich habe das bzgl. der Problemstellung „Zylinder/Kugeln“ dann etwas verallgemeinert und einen zusätzlichen Parameter d eingeführt, der im Fall d=2 die Zylinder und d=3 die Kugeln anspricht.
a) Damit überhaupt ein Gleichgewicht herrschen kann, muss ein Mindest-Haftreibwert zwischen den Zylindern/Kugeln vorliegen:
b) Der Haftreibwert, der am Boden (Ebene) zumindest vorhanden sein sollte, wäre m.E. dann:
Wenn n gegen unendlich läuft, dann ergibt sich nur im Spezial-Fall des Mindestreibwertes
eine Gleichheit zum Haftreibwert des Bodens:
Natürlich darf der Reibwert am Boden größer sein als der zwischen den Zylindern/Kugeln, muss er aber theoretisch nicht. Meiner Ansicht nach würde dann allgemein zutreffen:
c) Da wir es hier mit einem statisch unbestimmtes System zu tun haben, es könnten sich also auch Kraftbrücken durch das System nach unten „tunneln“(!), wäre die Frage nach den vertikalen Auflagerreaktionen am Bodenkontakt eher akademischer Natur. In einer Stapelung werden ja nie geometrisch identische Elemente vorhanden sein, andererseits ist das System dafür elastisch und somit theoretisch wieder etwas greifbarer und für einen idealisierten Fall zumindest simulierbar.
Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben:
1) alle Zylinder/Kugeln identische Durchmesser haben
2) das gesamte System vom Gleichgewicht her symmetrisch ist
In einem solchen Fall erhalte ich für die vertikalen n Kontaktkräfte, die in den Boden geleitet werden, eine Gleichverteilung. Mit
ist dabei die Gewichtskraft eines einzelnen Zylinders / einer einzelnen Kugel gemeint.
Dieses Ergebnis wäre insofern interessant, weil man eher mutmaßen würde, dass sich die Kraftverteilung wie die Binominalkoeffizienten im Pascal‘schen Dreieck verhalten (???). Auch mit einem linearen Anstieg hin zur Mitte der Stapelung könnte man sich anfreunden, aber eine konstante Lastverteilung wirkt irgendwie befremdlich.
Daher wäre eine eventuelle Simulation eine ganz gute Idee, das einfach mal zu überprüfen, wie beispielsweise über die FEM. Leider habe ich keine geeignete Möglichkeit, diesem Spezialproblem mit einem solchen Tool auf den Grund zu gehen. Bis dahin ist das alles mehr oder weniger sehr spekulativ.
Ansonsten ließe sich das Problem auch auf höhere Dimension ausweiten (d>3), sofern man sich etwas unter einer „Masse“ bei Hyperkugeln vorstellen kann und die Gesetze der Physik (Statik) noch weiterhin Gültigkeit haben.
Nein, Spaß beiseite. - Ich bin dann erst einmal die kommende Woche offline, da eine Menge Sachen anstehen. Aber dieses „Problemchen“ hat ja auch Zeit, um gelöst zu werden. Mit Sicherheit hat das schon jemand irgendwann mal gelöst, aber leider habe ich bisher noch nichts Aufschlussreiches gefunden. - So long!
Celestina
Celestina_Shepherd
Verfasst am: 29. Sep 2025 22:32
Titel:
gast_free hat Folgendes geschrieben:
Doch. Jetzt geht es. Vielleicht weil ich jetzt mein Tablet und nicht das Smartphone verwende. Ich bin derzeit unterwegs. Wenn dann noch Bedarf ist rechne ich die Aufgabe kommende Woche durch. Dann habe ich einen vernünftigen Arbeitsplatz.
Vielen Dank für das Angebot!
Falls es darauf hinausläuft, dieses als Kontaktproblem zu simulieren (FEM etc.), dann sollte davon ausgegangen werden, dass...
1) alle Zylinder/Kugeln identische Durchmesser haben
2) das gesamte System vom Gleichgewicht her symmetrisch ist und
3) die Steifigkeit des Materials als ideal starr anzusehen ist.
D.h., der E-Modul läuft gegen unendlich. Wobei es aber auch interessant wäre, wie die Druckkraft-Verteilung am Bodenkontakt verläuft, wenn der E-Modul gegen unendlich strebt / wenn ein realistischer Fall mit z.B. Stahl (mit E=210.000 N/mm²) vorliegt. (?)
Ich würde vermuten, dass sich eine relativ gleichmäßige Kraftverteilung einstellt, im Idealfall sogar eine konstante Kraftverteilung gegeben ist. Doch wie schnell kann man sich täuschen...
Grüße von Celestina
Celestina_Shepherd
Verfasst am: 27. Sep 2025 19:44
Titel:
Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage:
Für folgende Werte habe ich das (bezogen auf n gegen unendlich) durchgerechnet:
Hier muss ich nachträglich eine Ergänzung hinzufügen, dass der Reibwert zwischen den Zylindern/Kugeln einen Mindestwert aufweisen muss, also nicht gegen Null gehen darf. Insofern fallen die Berechnungswerte für ...
und
heraus!!!
Das System kann erst dann im Gleichgewicht bleiben, wenn
vorliegt, da sonst das Momentengleichgewicht nicht eingehalten werden kann und der äußerste Zylinder bzw. die äußerste Kugel eine Rollbewegung vollführen würde und die Statik zusammenbricht.
Grüße
von Celestina
Celestina_Shepherd
Verfasst am: 27. Sep 2025 08:46
Titel: Re: Statik beim Stapeln von Zylinderrollen / Kugeln
Celestina_Shepherd hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage:
Die Frage ist nun, wie groß der Gleitreibwert zum Boden mindestens sein muss, wenn der Reibwert zwischen den Zylindern/Kugeln als bekannt vorausgesetzt wird und die Anzahl der Schichten n unbegrenzt sein soll (n gegen unendlich)?
Hier muss ich mich rein verbal korrigieren, denn es sind natürlich die
Haftreibungszahlen
anzusetzen, nicht die Gleitreibwerte, da ja das System im statischen Gleichgewicht ist und sich noch nicht bewegt hat, sich also im Zustand des "Nichtgleitens" befindet.
Grüße
von Celestina