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[quote="Myon"]In der Gleichung [latex]\Delta\tau =\int_0^{\tau_1} d\tau\left(1-\sqrt{1-v_2^2}\right)=\tau_1-\int_0^{\tau_1}d\tau\sqrt{1-v_2^2}[/latex] aus dem oben verlinkten Beitrag von TomS (FAQ - Zeitdilatation und Zwillingsparadoxon: https://www.physikerboard.de/topic,37752,-faq---zeitdilatation-und-zwillingsparadoxon.html ) sind [latex]\tau_1[/latex] und [latex]d\tau[/latex] die Eigenzeit bzw. ein Eigenzeitintervall von Zwilling 1, der nicht beschleunigt wird, und v2 die 3er-Geschwindigkeit von Zwilling 2 im Ruhesystem von Zwilling 1. Eine analoge, umgekehrte Rechnung ist nicht möglich, denn es gibt kein Inertialsystem, in welchem Zwilling 2 durchgehend ruht.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Okt 2025 15:19<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich habe das Problem nochmal numerisch betrachtet: <br /> <br />Ich definiere zwei Weltlinien mittels Integration über die Geschwindigkeiten, gegeben in einem Inertialsystem. Dann berechne ich die beiden Eigenzeiten als Funktion der Koordinatenzeit des Inertialsystems. <br /> <br />Daraus folgt die gesuchte Funktion der Eigenzeit des Senders als der des Empfängers auf zwei Weisen: <br />a) direkt durch Betrachtung der die beiden verbindenden Lichtstrahlen, wobei jeder Lichtstrahl ein eineindeutiges Paar von Eigenzeiten definiert <br />b) durch die Integration über den Dopplerfaktor <br /> <br />(b) entspräche der Messung der Frequenz beim Empfänger unter Voraussetzung der bekannten Sendefrequenz; (a) wäre z.B. dadurch zu realisieren, dass der Sender in jedem Lichtsignal die Eigenzeit zum Sendezeitpunkt mitschickt. <br /> <br />(a) und (b) liefern natürlich übereinstimmende Ergebnisse.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Okt 2025 22:42<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ach so meinst du das. <br /> <br />Betrachte Weltlinien mit stückweise, konstanten Geschwindigkeiten. Wenn sich beide voneinander entfernen (aufeinander zu bewegen), liegt Rotverschiebung (Blauverschiebung) vor. <br /> <br />Wenn sich beide vom Startpunkt aus voneinander entfernen und beim Zielpunkt wieder annähern, dann muss mindestens ein Wechsel stattfinden.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>5com</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Okt 2025 22:28<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{d\tau_s}{d\tau_r} = \frac{u^\mu_r k_\mu}{u^\mu_s k_\mu}=\frac{\omega_r}{\omega_s} = \frac{1}{1 + z}"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />also: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?{d\tau_s}={d\tau_r}\frac{\omega_r}{\omega_s}"> <br /> <br />und weiter: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?{d\tau_s} - {d\tau_r}={d\tau_r}(\frac{\omega_r}{\omega_s}-1)"> <br /> <br />das wird positiv für: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?{\omega_r}>{\omega_s}"> <br /> <br />und negativ für: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?{\omega_r}<{\omega_s}"> <br /> <br /> <br />...ich denke nur laut. Das war es, was ich in den Formeln noch einmal sehen wollte.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Okt 2025 21:49<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Vom gemeinsamen Start am Raumzeitpunkt P mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\tau_1(P) = \tau_2(P) = 0"> <br /> <br />bis zum gemeinsamen Ziel am Raumzeitpunkt Q vergehen im allgemeinen unterschiedliche Eigenzeiten. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\tau_1(Q) > \tau_2(P)"> <br /> <br />Dabei bezeichne ich o.b.d.A. den Beobachter mit der größeren Eigenzeit mit der Nummer 1, den anderen mit der Nummer 2. <br /> <br />Nun gibt es jedoch <span style="font-weight: bold">keine</span> eindeutige oder physikalisch ausgezeichnete Vorschrift, zu welchen Raumzeitpunkten R_1 und R_2 auf den beiden Weltlinien die jeweiligen Eigenzeiten zu vergleichen sind. <br />1) Jeder der beiden Beobachter kann seine eigene momentane Gleichzeitigkeitsfläche verwendenden um seinen Raumzeitpunkt R_i einem Raumzeitpunkt R_k des jeweils anderen Beobachters zuzuordnen. (Das funktioniert wegen Rindler-Horizonten nicht immer) <br />2) Oder jeder der beiden Beobachter kann dies mittels des ihn gerade erreichenden Lichtsignals tun. (Das ist die oben genannte Vorgehensweise) <br />3) Oder man führt einen von P nach Q bewegten inertialen Beobachter ein und verwendet dessen Gleichzeitigkeitsflächen. <br />4) Oder … <br /> <br />Im Gegensatz zu (3) ist das Verfahren (1) im Allgemeinen und das Verfahren (2) sicher <span style="font-weight: bold">nicht</span> symmetrisch. Ordnet 1 seinem Punkt R_1 den Punkt R_2 als Schnittpunkt seines Vergangenheitslichtkegels I_1(R_1) mit der Weltlinie C_2 zu, so ordnet 2 natürlich nicht seinem Punkt R_2 wieder den Punkt R_1 zu, sondern einen anderen Punkt R'_1 als Schnittpunkt seines Vergangenheitslichtkegels I_2(R_2) mit der Weltlinie C_1, wobei R'_1 in der Vergangenheit von R_1 liegt. <br /> <br />Für komplizierte Weltlinien können für die dazwischenliegenden Punkte positive oder negative Eigenzeit-Differenzen sowie Vorzeichenwechsel auftreten. Der Grund ist einfach: hat ein Beobachter zu einem Punktepaar R_1, R_2 für ein derartiges Verfahren eine größere Eigenzeit als der andere, so fügt man in seine Weltlinie zwei fast lichtartige Stücke hin und wieder zurück ein, so dass für ihn fast keine Eigenzeit vergeht, und somit überholt die Eigenzeit des anderen die seine; evtl. muss man dabei Q verschieben. Jedenfalls sind mit beliebigen zulässigen Weltlinien beliebig komplizierte Eigenzeitverläufe möglich.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>5com</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Okt 2025 19:35<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Vielen Dank nochmals, TomS, für Deine außergewöhnliche Arbeit und die Einblicke, die Deine mathematischen Herleitungen ermöglichen. <br /> <br />Meinen ursprünglichen Gedanken, die Beschleunigung könne evtl. doch die primäre Ursache für Eigenzeit-Veränderungen sein, habe ich mittlerweile verworfen. Es ist offensichtlich, dass es sich anders verhält. <br /> <br /><span style="text-decoration: underline">Was mich derzeit noch umtreibt, ist Folgendes</span>: <br /> <br />Mit den einfachen Formeln zur Berechnung von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta \tau"> im Spezialfall des unbeschleunigten Beobachters 1 ergeben sich ja für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta \tau = \tau_{1} - \tau_{2}"> immer nur positive Werte (was ja auch absolut der Realität in diesem Spezialfall entspricht). <br /> <br />Wenn ich nun Formeln habe, die auch von einem beschleunigten Beobachter 1 angewendet werden können, dann müssen diese Formeln zwingend auch negative Ergebnisse für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta \tau = \tau_{1} - \tau_{2}"> zulassen, wenn sie die Realität korrekt abbilden. <br /> <br />Ich betrachte zunächst nur die Formeln für eine 2-dim. Raumzeit (aus dem Post von TomS vom 16. Okt 2025). Leider kann ich für mich den Beweis nicht führen, wo und wie hier der (stärker) beschleunigte Beobachter 1 zu seinem negativen Ergebnis für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta \tau = \tau_{1} - \tau_{2}"> kommt. <br /> <br />Es kann nicht allzu schwer sein, aber es gelingt mir dennoch nicht. Daher wäre ich für eine kleine Hilfe sehr dankbar.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Okt 2025 09:47<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DerDenkerundLenker hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Jetzt wurde ja mein Post schon wieder gelöscht. Also so vergrault ihr Alle Interessenten an einer ehrlichen Diskussion.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /><span style="color: blue">Es gibt Anstandsregeln, insbs. nicht mit sachfremden Themen in andere Threads hineinzuplatzen sondern neue aufzumachen. <br /> <br />Alles andere ist</span> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DerDenkerundLenker hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Einfach ein lächerliches und dämliches Verhalten. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /><span style="color: blue">Und wer höflich fragt, wenn er was nicht versteht, bekommt auch eine Antwort. </span></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Okt 2025 05:37<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Man kann die obige Berechnung auch für gekrümmte Raumzeiten d.h. für die ART verallgemeinern. <br /> <br />Dabei betrachtet man <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Omega[C] = \frac{1}{2} \int_0^1 d\lambda \, g_{\mu\nu} \dot{z}^\mu \dot{z}^\nu"> <br /> <br />entlang einer Geodäten C für eine spezielle Parametrisierung. <br /> <br />Für die Tangentenvektoren gilt im Falle einer lichtartigen Geodäten und den entstehenden Wellenvektoren <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{z}^\mu \sim k^\mu"> <br /> <br />Außerdem gilt für beliebige Geodäten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Omega[C] = \frac{1}{2} \epsilon s^2[C]"> <br /> <br />mit der Länge der Geodäten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s[C] = \int_C ds"> <br /> <br />epsilon ist ein konstante Vorfaktor, in unserem Fall irrelevant, da für lichtartiges S ohnehin s=0 gilt. <br /> <br />Interessant ist nun die Variation von Omega bei Variation der Endpunkte von C – in unserem Fall Sender und Empfänger. Man erhält <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial \Omega}{\partial x^\mu_{r,s}} = \pm g_{\mu\nu} z^\nu"> <br /> <br />Alles weitere funktioniert analog zu oben. <br /> <br />D.h. auch in der ART funktioniert die Berechnung der Eigenzeit des Senders als Funktion der Eigenzeit des Empfängers und der Rotverschiebung – unter der Voraussetzung glatter Weltlinien von Sender und Empfänger sowie der Existenz eindeutiger lichtartiger Geodäten zwischen beiden für die fraglichen Abschnitte der beiden Weltlinien. Problematisch wäre dies z.B. für Gravitationslinsen oder für pathologische Raumzeiten mit geschlossenen Weltlinien (keine eindeutige lichtartige Geodäte) oder für Schwarze Löcher (aufgrund des Horizontes keine lichtartige Geodäte vom Innen- in den Außenraum). <br /> <br />Einige Details siehe hier: <a href="https://arxiv.org/abs/gr-qc/0403094" target="_blank">https://arxiv.org/abs/gr-qc/0403094</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DerDenkerundLenker</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Okt 2025 00:30<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Er zeigt damit, dass die Zeitdilatation nicht nur eine Frage des Standpunktes ist, sondern objektiv messbare Konsequenzen haben kann. Mit dem Hafele-Keating-Experiment wurde das dann praktisch bestätigt. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Also ich verstehe das nicht, was dieser Satz bedeuten soll?! <br /> <br />"Frage des Standpunktes" oder "objektiv messbare Konsequenzen" dieser Satz klingt so verrückt. Total abgehoben und nicht von dieser Welt!<img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /> <br /> <br />Damit kann ich nichts anfangen. Übersetze das bitte in eine einfach verständliche Sprache. Oder willst du mich veräppeln?!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DerDenkerundLenker</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Okt 2025 00:11<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Jetzt wurde ja mein Post schon wieder gelöscht. Also so vergrault ihr Alle Interessenten an einer ehrlichen Diskussion. <br /> <br />Einfach ein lächerliches und dämliches Verhalten. Der Heisenberg soll ja laut Burkhard Heims Ehefrau in einem Nebenraum gesagt haben, "Den dürfen wir net hochkommen lassen!" über Burkhard Heim. Die gleichen Spielchen gehen also wohl auch hier ab und bestätigen alle negativen Vorurteile gegen die Wissenschaftskleriker.(Wissensvernichter!)<img src="images/smiles/motz.gif" alt="böse" border="0" /> <br /> <br />Heim hat sich später sogar über Heisenbergs Unschärferelation mockiert, dass diese das Problem nur äußerlich betrachten würde und den Kern des Problems völlig ignoriere.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Okt 2025 16:33<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DerDenkerundLenker hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Also was bezweckte Einstein mit seinem Zwillingsparadoxon?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Er zeigt damit, dass die Zeitdilatation nicht nur eine Frage des Standpunktes ist, sondern objektiv messbare Konsequenzen haben kann. Mit dem Hafele-Keating-Experiment wurde das dann praktisch bestätigt. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DerDenkerundLenker hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Und hat das Irgendwas zu tun mit dem Doppelspaltexperiment?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Nein.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DerDenkerundLenker</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Okt 2025 14:54<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Von diesen Formeln verstehe ich leider nichts, da ich nur Leihe bin. gerne lasse ich mich auch aufklären und möchte kein Dunning kruger kandidat sein. Rumschwurbeln wäre mir ein Graus, den ich bin kein Esoteriker. Ich will höchstens ein bisschen philosophieren. <br /> <br />Also was bezweckte Einstein mit seinem Zwillingsparadoxon? <br /> <br />Und hat das Irgendwas zu tun mit dem Doppelspaltexperiment? <br /> <br />Das muss doch alles irgendwie zusammenhängen. <img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Okt 2025 08:02<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Verallgemeinerung für n-dim. Minkowski-Raumzeit</span> <br /> <br />Man definiert für die Verbindungslinie zwischen Sender und Empfänger <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?y^\mu = x^\mu_r - x^\mu_s"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?N = \eta_{\mu\nu} z^\mu z^\nu \stackrel{!}{=} 0"> <br /> <br />wobei eta die Minkowski-Metrik bezeichnet, und wobei die letzte Gleichung gilt, da beide lichtartig verbunden sind. <br /> <br />Man betrachtet <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dN = \frac{\partial N}{\partial x^\mu_r} dx^\mu_r + \frac{\partial N}{\partial x^\mu_s} dx^\mu_s \stackrel{!}{=} 0"> <br /> <br />wobei die letzte Gleichung sicherstellt, dass die infinitesimale Änderung dN unter infinitesimalen Bewegungen von Sender und Empfänger lichtartig bleibt. <br /> <br />Letztere sind gegeben vermöge der Vierergeschwindigkeit als Tangenteneinheitsvektor an die Verbindungslinie <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dx^\mu_{r,s} = u^\mu d\tau_{r,s}"> <br /> <br />Für die Ableitungen gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial N}{\partial x^\mu_{r,s}} = \pm 2 \eta_{\mu\nu} z^\nu"> <br /> <br />also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dN = 2 \eta_{\mu\nu} (u^\mu_r d\tau_r - u^\mu_s d\tau_s) z^\nu = 0"> <br /> <br />Damit folgt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{d\tau_s}{d\tau_r} = \frac{u^\mu_r z_\mu}{u^\mu_s z_\mu}"> <br /> <br />Nun ist die Verbindung zwischen Sender und Empfänger lichtartig und damit der Vektor z proportional zum Viererwellenvektor k <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?z^\mu \sim k^\mu"> <br /> <br />d.h. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{d\tau_s}{d\tau_r} = \frac{u^\mu_r k_\mu}{u^\mu_s k_\mu}=\frac{\omega_r}{\omega_s} = \frac{1}{1 + z}"> <br /> <br />Man erhält also die oben hergeleitete Differentialgleichung ohne Verwendung der Rapidität sowie für eine beliebige n-dim. Minkowski-Raumzeit, speziell natürlich für d=4. <br /> <br />Die Differentialgleichung ist für beliebige differenzierbare Weltlinien (d.h. keine Knicke) immer eindeutig lösbar. <br /> <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Lösung des Zwillings-Paradoxons durch Dopplerverschiebung? </span> <br /> <br />Nein! <br /> <br />Die verbreitete Behauptung, die Betrachtung der Dopplerverschiebung löse das Zwillingsparadoxon, ist falsch. Tatsächlich wird das Zwillingsparadoxon rein geometrisch dadurch gelöst, dass für unterschiedliche Weltlinien gegebenenfalls (jedoch nicht notwendigerweise) unterschiedliche verallgemeinerte Längen d.h. Eigenzeiten vorliegen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\tau[C_{r,s}] = \int_0^{\tau_{r,s}} d\tau"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\tau[C_r] \neq \tau[C_s]"> <br /> <br />Das ist die Lösung! <br /> <br />Für gemeinsamen Start- und Endpunkt folgen die gemessenen Eigenzeiten des jeweils anderen Zwillings aus der Dopplerverschiebung, also für zunächst genullte Uhren <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\tau_{s,r}(\tau_{r,s}) = \int_0^{\tau_{r,s}} \frac{d\tau}{1+z_{s \to r, r \to s}(\tau)}"> <br /> <br />wobei nun auch der ursprüngliche Empfänger zu einem Sender wird u.u., und wobei die beiden Funktionen z jedoch zunächst nichts (!) miteinander zu tun haben, da völlig unterschiedliche Punkte der Weltlinien verbunden werden. <br /> <br />Rein messtechnisch und auch rechnerisch geht in das Integral und dessen Obergrenze ja bereits die eigene Eigenzeit ein. Die Messung der Eigenzeit für r ist also eine Voraussetzung für die Berechnung der Eigenzeit von s durch r u.u. Die Dopplerverschiebung liefert lediglich eine weitere Möglichkeit zur Messung, keine fundamentale Begründung.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Okt 2025 11:23<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Was für ein Gedankenexperiment und welcher Widerspruch wäre das?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Abraham Zweistein</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Okt 2025 08:28<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Zeugt es nicht von purem Dilletantismus Einsteins, dass er ein Gedankenexperiment annimmt das seiner eigenen ART widerspricht wo er doch postuliert das es eine unendlich große Energiemenge benötige je größer die Materiemasse ist die man auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigen will. <br /> <br />Was für ein Murks. <img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Okt 2025 14:04<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><img src="images/smiles/prost.gif" alt="Prost" border="0" /> <br /> <br /> <br />Noch etwas: aus der Messung der Eigenbeschleunigung und der o.g. Formel <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_\mu a^\mu = - \dot{\theta}^2"> <br /> <br />gewinnt man durch abschnittsweise Integration von <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{\theta} = \pm \sqrt{-a_\mu a^\mu}"> <br /> <br />zunächst die Rapidität, sodann durch Integration von <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u^\mu = \dot{x}^\mu"> <br /> <br />die Weltlinie, ebenfalls alleine aus messbaren Größen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>5com</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Okt 2025 10:50<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Vielen Dank, TomS! <br /> <br />Das schaue ich mir sorgfältig und in Ruhe an...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Okt 2025 09:38<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Mir hat das ganze keiner Ruhe gelassen, deswegen möchte ich wenigsten für eine 2-dim. Raumzeit skizzieren, wie die Idee, alles auf messbare Größen zurückzuführen, funktionieren kann. <br /> <br />Vorab: Ich betrachte im folgenden keine Richtungs- und damit keine Vorzeichenwechsel in diversen Termen. Für die Beschleunigung ist dies zurückzuführen auf die Umkehrung des Schubes des jeweiligen Beobachters, für die Rotverschiebung treten gemischte Terme auf. Das ist ein Grund, warum die Betrachtung bereits in einer 2-dim. Raumzeit kompliziert ist, und warum ich nur von einer Skizze spreche. Die Verallgemeinerung auf eine 4-dim. Raumzeit ist für diverse Terme einfach möglich, jedoch tritt ein weiteres Problem auf: bereits bei aktuell konstanter Geschwindigkeit des Empfängers kann eine gewisse Änderung der Rotverschiebung nicht nur durch eine Beschleunigung in Bewegungsrichtung sondern auch durch Änderungen der Bewegungsrichtungen des Senders herbeigeführt werden kann; wir haben also mehrere Variablen auf der Senderseite, jedoch nur eine auf der Empfängerseite, d.h. wir können alleine aus der gemessenen Frequenz die Bewegung des Senders nicht rekonstruieren. <br /> <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Eigenzeit</span> <br /> <br />Die von einer entlang einer beliebigen Weltlinie C mitgeführten Uhr gemessene Eigenzeit tau entspricht geometrisch der "verallgemeinerten Länge" dieser Weltlinie <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\tau[C] = \int_C d\tau = \int_C \sqrt{dx_\mu \, dx^\mu}"> <br /> <br />wobei im Linienelement im zweiten Integral der "verallgemeinerte Pythagoras" im Minkowskiraum verwendet wird. <br /> <br />Mittels der nachfolgenden Definitionen erhält man die bekannte Form <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\tau[C] = \int_C dt \sqrt{1 - v^2}"> <br /> <br />die wir jedoch im folgenden nicht benötigten. <br /> <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Definitionen</span> <br /> <br />Die Weltlinien von Sender und Empfänger werden beschriebene durch Koordinaten x, die Vierergeschwindigkeiten u, ihre Eigenzeiten tau und ihre Eigenbeschleunigungen a; die letzten beiden Größen sind direkt messbar; die Beschreibung erfolgt in einem beliebigen Inertialsystem. Ich verwende im folgenden die <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Rapidity" target="_blank" class="postlink">Rapidität</a> theta, da die Formeln damit sehr einfach werden. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = (\cosh\theta, \sinh\theta)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u_\mu u^\mu = 1"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a^\mu = \frac{du^\mu}{d\tau} =(\sinh\theta, \cosh\theta) \dot{\theta}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_\mu a^\mu = - \dot{\theta}^2"> <br /> <br />Ich betrachte beide Sender und Empfänger in einem Inertialsystem, in dem beide Geschwindigkeiten für die betrachteten Ausschnitte der Weltlinien positiv d.h. nach rechts gerichtet sind. Außerdem befindet sich der Empfänger immer rechts vom Sender. <br /> <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Lichtsignale und Eigenzeiten</span> <br /> <br />Die zwei Raumzeitereignisse des Sendens (s=send) und des Empfangs (r=receive) eines Lichtsignals besteht ein lichtartiger Zusammenhang, also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(t_r - t_s)^2 - (x_r - x_s)^2 = 0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t_r - x_r = t_s - x_s"> <br /> <br />Im folgenden betrachte ich derartige Gleichungen als Funktionen der Eigenzeit des Empfängers. Ein Punkt über einer Größe bedeutet dabei immer die Differentation nach der "eigenen Eigenzeit". <br /> <br />Differentation nach der Eigenzeit des Empfängers liefert <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{t}_r - \dot{x}_r = (\dot{t}_s - \dot{x}_s) \frac{d\tau_s}{d\tau_r}"> <br /> <br />wobei ich rechts die Kettenregel anwende. <br /> <br />Einsetzen der Vierergschwindigkeiten liefert <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?e^{-\theta_r} = e^{-\theta_s} \frac{d\tau_s}{d\tau_r}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{d\tau_s}{d\tau_r} = e^{\theta_s - \theta_r} "> <br /> <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Dopplerverschiebung</span> <br /> <br />Nun definiere ich die Dopplerverschiebung gemäß <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?1 + z = \frac{\omega_s}{\omega_r}"> <br /> <br />Diese gemessenen Frequenzen folgen aus den Vierergeschwindigkeiten der Beobachter sowie dem Viererwellenvektor <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k^\mu = \kappa (1, 1)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k_\mu k^\mu = 0"> <br /> <br />des Lichtsignals zu <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega = u^\mu k_\mu"> <br /> <br />Für den Sender gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega_s = u^\mu_s k_\mu = (\cosh\theta_s - \sinh\theta_s) \kappa = e^{-\theta_s} \kappa = \omega_0 = \text{const}"> <br /> <br />Da der Sender in seinem mitbewegten Ruhesystem immer mit konstanter Frequenz sendet, sind k und kappa als Größen im festen Inertialsystem natürlich variable Größen. <br /> <br />Für den Empfänger analog. <br /> <br />In der Dopplerverschiebung fällt kappa heraus und man erhält <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?1 + z = \frac{\omega_s}{\omega_r} = \frac{\omega_0}{\omega_r} = \frac{e^{-\theta_s}}{e^{-\theta_r}} = e^{\theta_s - \theta_r}"> <br /> <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Eigenzeiten und Dopplerverschiebung</span> <br /> <br />Damit erhält man die Differentialgleichung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{d\tau_s}{d\tau_r} = \frac{1}{1+z}"> <br /> <br />sowie deren Lösung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\tau_s(\tau_r) = \tau_s^0 + \int_{\tau_r^0}^{\tau_r} \frac{d\tau}{1+z(\tau)}"> <br /> <br />Aus der gemessenen Rotverschiebung auf der Empfängerseite erhält dieser eine (abschnittsweise) Berechnung der Eigenzeit auf der Senderseite als Funktionen seiner Eigenzeit, wobei die beiden Ereignisse nicht raumartig sondern lichtartig verknüpft sind (für eine vollständige Betrachtung muss man sämtliche Abschnitte zusammensetzen und dabei diverse Fallunterscheidungen und Vorzeichenwechsel berücksichtigen). <br /> <br />Man verwendet kein mitbewegtes Koordinatensystem wie im Falle der Rindler-Koordinaten und vermeidet dadurch Artefakte wie Horizonte. Das künstlich eingeführte Inertialsystem tritt Endergebnis nicht mehr auf; es liegen ausschließlich lokale, invariante und messbare Größen vor. Die Beschleunigung ist dabei offensichtlich völlig irrelevant (außer, dass sie die Form der Weltlinie bestimmt).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Okt 2025 07:44<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Wenn beide beliebig beschleunigt wären, dann müsste der eine Zwilling nicht nur seine eigene Eigenzeit und -beschleunigung messen, sondern auch die Relativgeschwindigkeit des anderen; dies erfordert jedoch den Austausch von Lichtsignalen und die Betrachtung der Dopplerverschiebung. Über die o.g. Problematik des Rindler-Horizontes hinaus stellt sich die Frage der praktischen Durchführung. <br /> <br />Betrachten wir zunächst den einfacheren Fall, dass Zwilling 1 unbeschleunigt ist, und dass beide zu Beginn ein gemeinsames Ruhesystem haben. Dann gilt mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\tau_1(t) = t"> <br /> <br />offenbar <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\tau_2(t) = \int_0^t \, dt \, \sqrt{1 - v_2^2(t)} = \tau_2(\tau_1) "> <br /> <br />Zu berechnen wäre dann die Umkehrfunktion. <br /> <br />Wie man sich leicht graphisch veranschaulicht, liegt aufgrund des Kippens der Gleichzeitigkeitsflächen des beschleunigten Zwillings i.A. keine streng monotone Funktion vor, d.h. keine Bijektion; die Umkehrfunktion ist nur abschnittsweise definierbar. Außerdem denke ich, dass ohne Kenntnis der Weltlinie des jeweils anderen Zwillings nicht mal die Grenzen dieser Abschnitte bestimmbar sind. Daher kann die Berechnung m.E. ohne Nutzung eines Inertialsystems nicht durchgeführt werden. Mittels der Zeitkoordinate t des IS ist dies natürlich zumindest prinzipiell lösbar, denn bzgl. t sind beide Eigenzeiten immer eindeutige und streng monotone Funktionen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>ML</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Okt 2025 00:38<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />aber auch dann enthält die Formel keine Beschleunigung sondern nur die nicht-konstante Geschwindigkeit v(t).</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />wenn ich die Frage des OP richtig verstanden habe, dann sucht er nach einer möglichst einfachen Formel, die es dem Zwilling 2 erlaubt, die Eigenzeit von Zwilling 1 zu berechnen. <br /> <br />Die Formel soll insbesondere auch dann anwendbar sein, wenn Zwilling 2 in wildem Wechsel Gas gibt und bremst sowie Loopings vollführt. In die Formel sollen nur Größen eingehen, die Zwilling 2 selbst messen kann, insbesondere die Eigenbeschleunigung und die Eigenrotation. Die Relativgeschwindigkeiten zwischen Zwilling 1 und Zwilling 2 seien zu jedem Zeitpunkt der Armbanduhr von Zwilling 2 bekannt. Raumzeitkrümmungen durch Massen sollen keine Rolle spielen. <br /> <br /> <br />Viele Grüße <br />Michael</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Okt 2025 21:31<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>5com hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">In "TomS Formel" sind keinerlei Beschleunigungen explizit enthalten. Das macht sie natürlich nicht falsch, nur eingeschränkt nutzbar. Etwas anderes hat TomS auch nie behauptet.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die vollständige Formel für beliebige Koordinaten (und sogar gekrümmte Raumzeiten) ist im FAQ-Beitrag angegeben und wurde von <span style="font-weight: bold">Postulator</span> oben genannt. <br /> <br />Aber bereits in die vereinfachte Form für global kartesische Koordinaten in einer flachen Raumzeit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\tau = \int_{t_a}^{t_b} dt \, \sqrt{1 - v^2(t)}"> <br /> <br />von <span style="font-weight: bold">ML</span> darf eine beliebige Weltlinie d.h. eine beliebig beschleunigte Bewegung eingesetzt werden; aber auch dann enthält die Formel keine Beschleunigung sondern nur die nicht-konstante Geschwindigkeit v(t).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>5com</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Okt 2025 19:02<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Aruna hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Du hast also eingesehen, dass Deine Formel 2.) nix neues bringt, gegenüber TomS Formel?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Mein Anspruch war nicht, die Wissenschaft voranzubringen. Das liegt außerhalb meiner Reichweite. Wie ich bereits (nachträglich) schrieb: <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>5com hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die Formel ist sicher weder korrekt noch vollständig. Sie soll mehr ein Denkanstoß sein dafür, dass die jeweiligen Beschleunigungen verschiedener Beteiligter (Beobachter, Reisende, Zwillinge etc.) als Ursache für beobachtete (Relativ-)Geschwindigkeiten (Absolutgeschwindigkeiten gibt es ja nicht) in einer allgemeingültigen Formel m.E. Niederschlag finden müssen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Es ging mir vor allem darum, die Diskussion hier im Forum nochmals in Richtung der Berechnung von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta\tau"> bei beschleunigtem Beobachter zu lenken. In "TomS Formel" sind keinerlei Beschleunigungen explizit enthalten. Das macht sie natürlich nicht falsch, nur eingeschränkt nutzbar. Etwas anderes hat TomS auch nie behauptet.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>5com</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Okt 2025 18:40<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Qubit hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wie gesagt, für Inertialbeobachter spielt die Beschleunigung bewegter Uhren für die Zeitdilatation keine primäre Rolle.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ist mir klar.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Okt 2025 18:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Postulator hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Aruna_17 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Wie geht das, bei einem Nichtinertialsystem?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Die naheliegendste Variante sind <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Rindler_coordinates" target="_blank" class="postlink">Rindlerkoordinaten</a> für ein gleichförmig beschleunigtes Bezugssystem während der Richtungsumkehr des Reisenden. Hier ergibt sich ein entfernungsabhängiger Zeitunterschied von <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dt=(1+gh/c^2)d\tau"> <br /> <br />wo <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dt"> die Zeit der beim Sesshaften ruhenden Uhr, und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?d\tau"> die Zeit der Uhr des Reisenden ist, und g als Beschleunigung und h als Abstand der Uhren. Wie man sieht, geht die Uhr des Sesshaften scheinbar <span style="font-style: italic">schneller</span> während der Umkehr, was erklärt warum aus Sicht des Reisenden die gewöhnliche Zeitdilatation <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}"> nicht durchgehend auf den Sesshaften anwendbar ist. <br /> <br />PS: Ganz allgemein kann das Eigeneitintegral bei Nichtinertialsystemen definiert werden mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta\tau=\int_{P}\frac{1}{c}\sqrt{g_{\mu\nu}\;dx^{\mu}\;dx^{\nu}}"> <br /> <br />Dafür musst du den entsprechenden Metriktensor <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?g_{\mu\nu}"> definieren.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Letzteres hatte ich auch im verlinkten FAQ-Beitrag geschrieben. <br /> <br />Das Problem bei Rindlerkoordinaten ist allerdings, dass sie eine Koordinatensingularität aufweisen, jenseits derer der andere Beobachter schlicht nicht mehr beschrieben werden kann. D.h. dass das mitbewegte, nicht-inertiale Ruhesystem eines beliebig beschleunigten Beobachters i.A. nicht geeignet ist, globale Koordinaten zu definieren, in denen beliebige andere Beobachter darstellbar sind.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Qubit</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Okt 2025 18:18<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>5com hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Daher möchte ich mich lieber mit den Rindler-Koordinaten beschäftigen, als nochmal den Sonderfall des unbeschleunigten Beobachters durchzurechnen (für den ich absolut mit Dir übereinstimme).</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Der "unbeschleunigte Beobachter" ist kein Sonderfall, sondern für den "hypbolisch beschleunigten Beobachter" (~Rindler) ein anderer "Zeiteffekt", der mit dem ersteren nichts zu tun hat und anderer Ordnung ist. <br /> <br />Wie gesagt, für Inertialbeobachter spielt die Beschleunigung bewegter Uhren für die Zeitdilatation keine primäre Rolle.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Aruna</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Okt 2025 18:08<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>5com hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Daher möchte ich mich lieber mit den Rindler-Koordinaten beschäftigen, als nochmal den Sonderfall des unbeschleunigten Beobachters durchzurechnen (für den ich absolut mit Dir übereinstimme).</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Du hast also eingesehen, dass Deine Formel 2.) nix neues bringt, gegenüber TomS Formel?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>5com</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Okt 2025 17:15<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Aruna, OK. Ich habe Dein Szenario verstanden. Das ist aber wieder der Sonderfall des unbeschleunigten Beobachters. <br /> <br />Postulator hatte ja bereits auf folgendes hingewiesen: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Postulator hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Formel 1 gilt in dieser Form definitionsgemäß nur für Inertialsysteme. Möchtest du ein Ruhesystem des beschleunigten Reisenden definieren, brauchst du <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbelbewegung#Rindler-Koordinaten" target="_blank" class="postlink">Rindlerkoordinaten</a>, in denen tatsächlich die <span style="font-style: italic">Eigenbeschleunigung</span> a(t) auftritt, welche direkt von einem Beschleunigungssensor gemessen wird.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich suche eine Formel zur Berechnung von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta\tau">, die <span style="text-decoration: underline">allgemeingültig</span> ist, also nicht nur für Sonderfälle funktioniert. Daher möchte ich mich lieber mit den Rindler-Koordinaten beschäftigen, als nochmal den Sonderfall des unbeschleunigten Beobachters durchzurechnen (für den ich absolut mit Dir übereinstimme).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Aruna</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Okt 2025 16:29<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>5com hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Aruna hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Dann rechne doch die beiden Szenarien bitte mal explizit durch, aus der Sicht eines einem einem unbeschleunigten Koordinatensytems, dass sich mit der Gewschwindigkeit v_B relativ zur Erde bewegt.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />OK, mache ich. Nur noch eine Rückfrage: Es geht mir in diesem Thread ja um das Berechnen der Differenz der Eigenzeiten. Ich rechne also meine beiden Szenarien (Differenz der Eigenzeiten von zwei Zwillingen) aus der Sicht eines "unbeschleunigten Koordinatensystems", richtig? Welche Bedeutung hat der Hinweis auf die Geschwindigkeit relativ zur Erde? Nur damit ich nichts falsch verstehe.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Im üblichen Szenario bleibt ein Zwilling auf der Erde und der andere reist weg und ist hinterher weniger gealtert. <br />Die Erde wäre in diesem Szenario das Ruhesystem des nicht reisenden Zwillings. <br />Wenn das also nicht aus der Sicht des nicht reisenden Zwillings (Erde) betrachtet werden soll, sollte das Beobachter-System sich relativ zum Bezugssystem des nicht reisenden Zwillings bewegen. <br />Du kannst das natürlich auch aus Sicht der Erde betrachten, dann ist aber das Ergebnis von TomS Formel relativ klar: <br />Im ersten Fall kommt der bekannte Unterschied der Eigenzeiten raus, im zweiten Fall, wenn die Zwillinge spiegelbildliche Reisen in entgegengesetzte Richtungen unternehmen, ist v^2 relativ zur Erde zu jedem Zeitpunkt gleich und der Unterschied der Eigenzeiten bei der Rückkehr 0.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>5com</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Okt 2025 16:14<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Aruna hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Dann rechne doch die beiden Szenarien bitte mal explizit durch, aus der Sicht eines einem einem unbeschleunigten Koordinatensytems, dass sich mit der Gewschwindigkeit v_B relativ zur Erde bewegt.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />OK, mache ich. Nur noch eine Rückfrage: Es geht mir in diesem Thread ja um das Berechnen der Differenz der Eigenzeiten. Ich rechne also meine beiden Szenarien (Differenz der Eigenzeiten von zwei Zwillingen) aus der Sicht eines "unbeschleunigten Koordinatensystems", richtig? Welche Bedeutung hat der Hinweis auf die Geschwindigkeit relativ zur Erde? Nur damit ich nichts falsch verstehe.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Aruna</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Okt 2025 15:54<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>5com hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Aruna hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich sehe immer noch keinen Unterschied. <br />Du bildest mit Deiner korrigierten Formel Kombinationen von Beschleunigungen auf deren Differenz ab. <br />Dann bildest Du den zeitlichen Verlauf dieser Beschleunigungsdifferenzen von t_0 bis zum t auf das Integral ab. <br />In wie fern unterscheidet sich Deiner Meinung nach dieses Integral von v(t)?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Der Unterschied besteht darin, dass mit meiner Formel in die Berechnung einfließen kann, aufgrund wessen Beschleunigung eine Geschwindkeit entsteht. <br /> <br /> Es macht für die Differenz der Eigenzeiten bspw. einen Unterschied, ob nur ein Zwilling hin und her beschleunigt (=> es ergibt sich nach Wiedervereinigung eine Differenz der Eigenzeiten), oder ob beide Zwillinge in entgegengesetzte Richtungen beschleunigen, erst weg voneinander, dann wieder zueinander (=> es ergibt sich bei spiegelbildlichen Beschleunigungsprofilen nach Wiedervereinigung KEINE Differenz der Eigenzeiten). <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Und Du bist der Meinung, dass das bei der Formel von TomS nicht rauskommt? <br /> <br />Dann rechne doch die beiden Szenarien bitte mal explizit durch, aus der Sicht eines einem einem unbeschleunigten Koordinatensytems, dass sich mit der Gewschwindigkeit v_B relativ zur Erde bewegt. <br />Einmal mit TomS Formel <br />Und einmal mit Deiner Formel.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>5com</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Okt 2025 15:52<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">...ERGÄNZUNG: Die Formel ist sicher weder korrekt noch vollständig. Sie soll mehr ein Denkanstoß sein dafür, dass die jeweiligen Beschleunigungen verschiedener Beteiligter (Beobachter, Reisende, Zwillinge etc.) als Ursache für beobachtete (Relativ-)Geschwindigkeiten (Absolutgeschwindigkeiten gibt es ja nicht) in einer allgemeingültigen Formel m.E. Niederschlag finden müssen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>5com</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Okt 2025 15:20<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Aruna hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich sehe immer noch keinen Unterschied. <br />Du bildest mit Deiner korrigierten Formel Kombinationen von Beschleunigungen auf deren Differenz ab. <br />Dann bildest Du den zeitlichen Verlauf dieser Beschleunigungsdifferenzen von t_0 bis zum t auf das Integral ab. <br />In wie fern unterscheidet sich Deiner Meinung nach dieses Integral von v(t)?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Der Unterschied besteht darin, dass mit meiner Formel in die Berechnung einfließen kann, aufgrund wessen Beschleunigung eine Geschwindkeit entsteht. Es macht für die Differenz der Eigenzeiten bspw. einen Unterschied, ob nur ein Zwilling hin und her beschleunigt (=> es ergibt sich nach Wiedervereinigung eine Differenz der Eigenzeiten), oder ob beide Zwillinge in entgegengesetzte Richtungen beschleunigen, erst weg voneinander, dann wieder zueinander (=> es ergibt sich bei spiegelbildlichen Beschleunigungsprofilen nach Wiedervereinigung KEINE Differenz der Eigenzeiten). <br /> <br />Diese Unterschiede kommen in der Größe <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v(t)^{2}"> alleine nicht in jedem Fall zum Ausdruck. In meinen beiden Beispielen kann es bei geeigneter Wahl der Beschleunigungen sein, dass sich ein identisches <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v(t)^{2}"> ergibt, obwohl die Ergebnisse in Hinblick auf die Differenz der Eigenzeiten unterschieldlich sind. Sind die Beschleunigngen in der Formel explizit enthalten, kann man die genannten Fälle sauber unterscheiden - auch rechnerisch.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Aruna</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Okt 2025 15:09<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>5com hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Aruna_17 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die Beschleunigungen sind implizit in v(t) enthalten. <br />Das explizit auszudrücken ergibt m.E. keinen Unterschied.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Dass es einen Unterschied macht, sieht man m.E. dann, wenn das dritte Referenzbezugssystem selber beschleunigt. In den Geschwindigkeiten v1 und v2 sind dann nicht mehr nur die Beschleunigungen der Zwillinge enthalten (die für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta\tau"> verantwortlich sind). <br /> <br />Oder hefte das Referenzbezugssystem an einen (beschleunigten) Zwilling. Dann gibt es in der Formel 1 nur noch ein einziges v, welches durch unterschiedliche Kombinationen von Beschleunigungen beider Zwillinge denselben Wert annehmen kann. Ohne explizite Berücksichtigung der Beschleunigungen beider Zwillinge erscheint mir daher Formel 1 mehrdeutig bzw. auf Spezialfälle mit bestimmten Rahmenbedingungen beschränkt. <br /> <br /><span style="font-weight: bold">=> Ich habe meinen Post mit der Formel (heute 10:48 Uhr) ergänzt um <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{a}_b(t)"> = Beschleunigung eines Beobachters, damit das deutlicher wird.</span> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich sehe immer noch keinen Unterschied. <br />Du bildest mit Deiner korrigierten Formel Kombinationen von Beschleunigungen auf deren Differenz ab. <br />Dann bildest Du den zeitlichen Verlauf dieser Beschleunigungsdifferenzen von t_0 bis zum t auf das Integral ab. <br />In wie fern unterscheidet sich Deiner Meinung nach dieses Integral von v(t)?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Postulator</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Okt 2025 13:34<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die eigentliche Frage ist doch, warum man die Weltline der Schwester nicht als gerade ansehen darf. Man könnte doch einfach davon ausgehen, dass sie ruht und der Bruder mit dem Rest des Universums auf Rundreise geht. Kinematisch wäre das kein Problem. Berechnet man dann die Eigenzeit des Bruders mit seiner Geschwindigkeit in diesem Bezugssystem, dann müsste er am Ende jünger sein. Ist er aber nicht. Man muss die Beschleunigung berücksichtigen, wenn man das Paradoxon auflösen will. Sie bricht die Symmetrie.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das Wort Beschleunigung würde ich hier mit "Beschleunigungsprofil" ersetzen, denn dadurch wird auch die Länge der Phasen konstanter Geschwindigkeit definiert, und darüber hinaus können auch Fälle miteinbezogen werden wo <span style="text-decoration: underline">beide</span> Zwillingen beschleunigen. Ansonsten stimme ich zu, zumindest was die flache Minkowski-Raumzeit betrifft. In der gekrümmten Raumzeit sieht das anders aus, da auch ohne Eigenbeschleunigungen Unterschiede auftreten können, indem beispielsweise beide im freien Fall sind.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Okt 2025 13:08<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Aruna_17 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Franz Embacher hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die Weltlinie der Schwester ist keine Gerade − das kann sie auch nicht sein, wenn sie eine Reise beschreiben soll, die zuhause beginnt und endet.</td> </tr></table><span class="postbody"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Die Weltlinie des Bruders ist eine Gerade und sie beginnt und endet zuhause. Das ist keine schöne Quelle. <br /> <br />Die eigentliche Frage ist doch, warum man die Weltline der Schwester nicht als gerade ansehen darf. Man könnte doch einfach davon ausgehen, dass sie ruht und der Bruder mit dem Rest des Universums auf Rundreise geht. Kinematisch wäre das kein Problem. Berechnet man dann die Eigenzeit des Bruders mit seiner Geschwindigkeit in diesem Bezugssystem, dann müsste er am Ende jünger sein. Ist er aber nicht. Man muss die Beschleunigung berücksichtigen, wenn man das Paradoxon auflösen will. Sie bricht die Symmetrie.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>5com</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Okt 2025 13:03<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Aruna_17 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Mir scheint, Dir ist nicht klar, dass in Formel 1 die Eigenzeiten <span style="font-weight: bold">beider</span> Zwillinge aus einen dritten Referenzbezugssytem mit der Koordinatenzeit t berechnet.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Doch, das ist mir klar. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Aruna_17 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die Beschleunigungen sind implizit in v(t) enthalten. <br />Das explizit auszudrücken ergibt m.E. keinen Unterschied.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Dass es einen Unterschied macht, sieht man m.E. dann, wenn das dritte Referenzbezugssystem selber beschleunigt. In den Geschwindigkeiten v1 und v2 sind dann nicht mehr nur die Beschleunigungen der Zwillinge enthalten (die für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta\tau"> verantwortlich sind). <br /> <br />Oder hefte das Referenzbezugssystem an einen (beschleunigten) Zwilling. Dann gibt es in der Formel 1 nur noch ein einziges v, welches durch unterschiedliche Kombinationen von Beschleunigungen beider Zwillinge denselben Wert annehmen kann. Ohne explizite Berücksichtigung der Beschleunigungen beider Zwillinge erscheint mir daher Formel 1 mehrdeutig bzw. auf Spezialfälle mit bestimmten Rahmenbedingungen beschränkt. <br /> <br /><span style="font-weight: bold">=> Ich habe meinen Post mit der Formel (heute 10:48 Uhr) ergänzt um <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{a}_b(t)"> = Beschleunigung eines Beobachters, damit das deutlicher wird.</span> <br /> <br />Werde mich auch mal mit den Rindler-Koordinaten von Postulator befassen, das sieht für mich vielversprechend aus.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Postulator</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Okt 2025 12:11<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>5com hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Will jedoch ein beschleunigter Zwilling die Differenzen der Eigenzeiten berechnen, scheitert m.E. die Formel (1). Denn die von einem beschleunigten Zwilling aus seinem eigenen Koordinatensystem heraus beim anderen Zwilling vom Startpunkt bis zur Wiedervereinigung beobachteten Geschwindigkeiten können ja unterschiedliche Ursachen haben (Beschleunigung beobachtender Zwilling, Beschleunigung beobachteter Zwilling, Beschleunigung beider Zwillinge), was ja in Hinblick auf die Differenz der Eigenzeiten nach Wiedervereinigung sehr wohl einen Unterschied macht. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Formel 1 gilt in dieser Form definitionsgemäß nur für Inertialsysteme. Möchtest du ein Ruhesystem des beschleunigten Reisenden definieren, brauchst du <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbelbewegung#Rindler-Koordinaten" target="_blank" class="postlink">Rindlerkoordinaten</a>, in denen tatsächlich die <span style="font-style: italic">Eigenbeschleunigung</span> a(t) auftritt, welche direkt von einem Beschleunigungssensor gemessen wird. Hier gilt die Formel <br /> <br />(1): <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T=T'(1+ah/c^2) "> <br /> <br />mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a"> als Eigenbeschleunigung und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?h"> als Abstand zwischen den Zwillingen. <br /> <br />Die Sicht des Reisenden sieht also so aus: Er beobachtet wie sich der <span style="font-style: italic">Sesshafte</span> zuerst mit -v bewegt und während der Rückreise mit +v, und zwar jeweils während der Zeit t, also insgesamt <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?2t">. In diese Perioden ist der Sesshafte tatsächlich zeitdilatiert gemäß <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?2t=2t'\sqrt{1-v^2 / c^2}"> <br /> <br />also genähert die Differenz <br /> <br />(2): <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?2t-2t'\approx t'v^{2}/c^{2}"> <br /> <br />Doch was passiert während der Umkehrphase? Hier erinnern wir uns an Gleichung 1 und bemerken, dass T (die Zeit des Sesshaften) schneller vergeht als T' (die Zeit des Reisenden), und zwar um: <br /> <br />(3) <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T-T'=T'ah/c^{2}"> <br /> <br />In kleinster Näherung können wir schreiben <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?aT'\approx 2v"> (denn der Zwilling wechselt von -v zu +v in vernachlässigbar kurzer Zeit) und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?h=vt'"> da er die Zeit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t'=h/v"> brauchte um den Abstand <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?h"> zu erreichen, also eingesetzt in Formel 3: <br /> <br />(4) <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T-T'=T'ah/c^{2}=2t'v^{2}/c^{2}"> <br /> <br />Gemäß Formel (2) ist der Sesshafte während der gleichförmigen Bewegung um <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t'v^{2}/c^{2}"> langsamer gealtert, jedoch während seiner scheinbaren Beschleunigung (4) um eine <span style="font-style: italic">größeren</span> Betrag <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?2t'v^{2}/c^{2}"> <span style="font-style: italic">schneller</span> gealtert. <br /> <br /><span style="font-style: italic">Also auch unter Benutzung des beschleunigten Koordinatensystems des Reisenden ergibt sich, dass der Sesshafter der Ältere ist.</span> Zugegeben, im Grunde ist das alles überflüssig, denn dasselbe Ergebnis erhält man ja auch im Inertialsystem des Sesshaften. <img src="images/smiles/lehrer.gif" alt="Lehrer" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Aruna_17</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Okt 2025 11:40<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Qubit hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">die Beschleunigungen spielen da keine primäre Rolle, die Relativgeschwindigkeit sehr wohl.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Die Beschleunigungen spielen durchaus eine primäre Rolle. Ohne Beschleunigung gibt es in der SRT gar kein Zwillingsparadoxon.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />ja, <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Franz Embacher hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> es sollte aber nicht vermutet werden, dass der Wert der Beschleunigung in einfacher Weise die Größe des Effekts bestimmt. <br /> <br />Eine bessere Charakterisierung, was für Schwester und Bruder eigentlich verschieden ist, liefert das Raumzeit-Diagramm selbst: Die Weltlinie der Schwester ist keine Gerade − das kann sie auch nicht sein, wenn sie eine Reise beschreiben soll, die zuhause beginnt und endet. Es ist dieses Zusammenführen zweier Uhren, das für eine globale Verschiedenheit der beiden Reisewege verantwortlich ist. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />homepage.univie.ac.at/franz.embacher/SRT/Zwillingsparadoxon.html</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Aruna_17</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Okt 2025 11:33<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>ML hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /> <br />Wir betrachten nochmal das klassische Zwillingsparadoxon, bei dem Zwilling 1 auf der Erde ruht und Zwilling 2 reist. Treffpunkt ist x=0, t=20. <br /> <br />Zwilling 2 bewegt sich entlang der t'-Achse für eine Eigenzeit von zunächst 8 Jahren bis zum Punkt (x=6, t=10) bzw. (x'=0, t'=8,0). <br />Als er ankommt, befindet sich gleichzeitig (gelbe Linie) Zwilling 1 an der Stelle (x=0, t=6,4). <br /> <br />Für Zwilling 2 hat Zwilling 1 eine Geschwindigkeit von 0,6 und berechnet für ihn die Zeit: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{1}{2} \tau_1 = \int\limits_{0}^{8} \sqrt{1-v^2} \mathrm{d}t = 8 \cdot \sqrt{1-0{,}6^2} = 8 \cdot \sqrt{0{,}64} = 8 \cdot 0{,}8 = 6{,}4"> <br />Das ist das, was wir im Diagramm ablesen können. <br /> <br />Für den Rückflug lautet die Rechnung entsprechend, so dass der in seiner Eigenzeit 16 Jahre lang fliegende Zwilling 2 meinen könnte, dass der auf der Erde verbliebene Zwilling 1 in den 16 Jahren nur um <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?2\times 6,4= 12,8"> Jahre gealtert sei. <br /> <br />Die (violett) eingezeichneeten 7,2 Jahre werden dabei unterschlagen und kommen in der Formel mit den Geschwindigkeitsquadraten nicht vor: Vor der Richtungsumkehr befinden sich gleichzeitige Ereignisse auf der gelben Linie, danach auf der orangenen Linie. <br /> <br />Diese missliche Situation haben wir nicht, wenn die Koordinatenzeit in einem Inertialsystem gemessen wird. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Der umkehrende Zwilling muss dann ja nur noch wissen, dass er noch die 7,2 Jahre hinzuaddieren muss.... <br /> <br />Wie mir TomS an anderer Stelle erklärte, ist die Lücke allerdings ein Artefakt der (nicht realisierbaren) instantanen Umkehr: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Der geschwärzte Bereich ist ein Artefakt der instantanen Umkehr. Würde man eine glatte Weltlinie ohne Knick verwenden, so gäbe es diesen Bereich nicht, allerdings müsste man dann die Weltlinie des linken Zwillings in einem beschleunigten Nichtinertialsystem des rechten Zwillings betrachten. Der schwarze Bereich weist also nicht auf eine Erklärung hin, sondern auf eine unzureichende Methode. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Die Betrachtung in einem Nichtinertialsystem ist dann aber wohl nicht so trivial. <br />Von Postulator haben wir zumindest erfahren, dass in Rindlerkoordinaten Reiseabschnitte konstanter Beschleunigung dazu führen, dass in diesem Phasen aus seiner Sicht die Zeit beim ruhenden Zwilling schneller vergeht und damit die Zeitdilatation in den Abschnitten gleichförmiger Bewegung kompensiert, bzw. eventuell überkompensiert wird. <br />Das führt allerdings eventuell auf die falsche Fährte (Beschleinigung) und von den zentralen Botschaften von TomS zu diesem Thema weg: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Wie gesagt, das ist völlig analog zu den beiden Autos, bei denen die Differenz der zurückgelegten Strecken unbestreitbar unabhängig davon sind, ob ich diese irgendwie unterwegs vergleiche. Dieser Vergleich unterwegs fügt dem ganzen eine Komplexität hinzu, die irrelevant ist, und auf die man daher besser verzichtet. <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Die zentrale Botschaft ist, dass die Eigenzeit eine strikt lokale Eigenschaft der Raumzeit bzw. der Weltlinie durch diese Raumzeit ist.</span> <br /> <br />Eine Idee, es fehle irgendwie Eigenzeit – womöglich verglichen mit irgendetwas anderem – ist schlicht Quatsch. Sie deutet darauf hin, dass genau diese zentrale Botschaft nicht verstanden wurde. <br /> <br />Hat man diese Botschaft verinnerlicht, so kann man natürlich ein globales, d.h. für beide Reisenden gültiges Referenzsystem – ein Koordinatensystem – einführen. <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Die zweite zentrale Botschafter dabei ist, dass im allgemeinen keine der beiden Eigenzeiten als Referenzzeit dienen kann – und aufgrund des oben gesagten auch nicht muss.</span> <br /> <br />Man ist ziemlich frei in der Koordinatenwahl, jede Eigenzeit ist mathematisch eine rein geometrische Invariante und praktisch eine unmittelbare Messgröße – und damit völlig unabhängig von Koordinaten. Deswegen reite ich immer auf dem Integral rum, denn das ist definiert, unabhängig davon, ob und welches Koordinatensystem man einführt. <br /> <br />Damit bin ich bei einem wesentlichen Kritikpunkt an vielen Darstellungen – auch Lehrbüchern – <span style="font-weight: bold">und zugleich der dritte zentralen Botschaft, nämlich dass die Identifizierung von Eigen- und Koordinatenzeiten ohne nähere Erklärung völliger Unsinn ist.</span> Eigenzeiten sind Invarianten, Koordinatenzeiten nicht; Eigenzeiten sind Skalare, Koordinatenzeiten sind 0-Komponenten von Vierervektoren … man muss etwas investieren, um zu einer Entsprechung – nicht zu einer Identität – zu gelangen. <br /> <br />Dass man die RT bereits seit Einstein, Weyl u.a. über Invarianten verstehen sollte, hat sich leider noch nicht wirklich herumgesprochen. Man zäumt das Pferd von hinten auf und bricht ab, wenn es zu bocken anfängt. Das geht jetzt natürlich deutlich über das Thema hier hinaus, ist aber tatsächlich die Ursache all dessen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />physikerboard.de/ptopic,408739.html#408739 <br /> <br />Nicht, dass die vollständig bei mir angekommen wären... <img src="images/smiles/fruit.gif" alt="Tanzen" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Aruna_17</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Okt 2025 11:11<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>5com hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Mein Ausgangspunkt ist die folgende Formel zur Berechnung von Differenzen von Eigenzeiten aus dem FAQ-Beitrag von TomS: <br /> <br /> <br />Formel (1): <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta\tau = \tau_1- \tau_2 = \int_{C_1} d\tau - \int_{C_2} d\tau = \int_{t_a}^{t_b}dt\left(\sqrt{1-\vec{v}_1^2} - \sqrt{1-\vec{v}_2^2}\right)"> <br /> <br /> <br />M.E. sollte in dieser Formel die kinematische Beschleunigung explizit enthalten sein, bspw. wie folgt: <br /> <br /> <br />Formel (2): <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta\tau = \tau_1- \tau_2 = \int_{C_1} d\tau - \int_{C_2} d\tau = \int_{t_a}^{t_b}dt\left(\sqrt{1-(\int_{t_a}^{t}\vec{a}_1(t)dt)^2} - \sqrt{1-(\int_{t_a}^{t}\vec{a}_2(t)dt)^2}\right) "> <br /> <br />Denn ohne die explizite Berücksichtigung der kinematischen Beschleunigung ist die Formel (1) nur für einen unbeschleunigten, in einem Inertialsystem ruhenden Zwilling 1 (also in einem Spezialfall) nutzbar. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />der letzte Satz stimmt nicht. <br />Mir scheint, Dir ist nicht klar, dass in Formel 1 die Eigenzeiten <span style="font-weight: bold">beider</span> Zwillinge aus einen dritten Referenzbezugssytem mit der Koordinatenzeit t berechnet. <br />Die Beschleunigungen sind implizit in v(t) enthalten. <br />Das explizit auszudrücken ergibt m.E. keinen Unterschied.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Aruna_17</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Okt 2025 10:59<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>5com hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> Vielmehr erhoffe ich mir herauszufinden, was in letzter Konsequenz die Ursache von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta \tau"> ist. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Die Ursache sind die unterschiedlichen Wegelänge durch die Raumzeit zwischen den beiden Ergebnissen. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>5com hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Ich habe die Hoffnung, dass in den (komplizierten) Formeln aus Sicht des kinematisch beschleunigten Zwillings neben der reinen Geschwindigkeit noch andere Größen auftauchen. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Wenn die in einer Berechnung auftauchen in einer anderen nicht, dann können die keine Ursache sein, sondern sind nur ein Artefact eines bestimmten Berechnungswegs. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>5com hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Das ist sehr theoretisch, ich weiß. Aber es geht mir wie gesagt um Erkenntnisse bzgl. der tieferen Ursache von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta \tau">. Einfach nur die Geschwindigkeit kann es nicht sein, sonst könnten beide Zwillinge mit derselben Formel rechnen. Irgendeinen Einfluss muss die kinematische Beschleunigung haben und dieser Einfluss muss m.E. in Formeln eindeutig abbildbar sein.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />die Beschleunigung hat <br />1.) den Einfluss, dass sich mindestens einer der Zwillinge sich nicht auf dem Weg der längsten Eigenzeit bewegt <br />2.) dass sich die Zwillinge zweimal treffen. Wenn die sich nicht wieder treffen, ist ein Vergleich der Eigenzeiten nicht möglich.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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