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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="4lex"][b]Meine Frage:[/b]
Hallo zusammen

Im Buch ,,Modern Quantum Mechanics" Third Edition von J.J. Sakurai und Jim Napolitano werden auf den Seiten 449 und 448 Die Kohn-Sham Gleichungen über Variation des Funktionals

[latex]E(n)=F(n)+\int V_{ext}(\vec{x})n(\vec{x})d^3x[/latex]

hergeleitet.
Dabei ist

[latex]F(n)=T_{KS}(n)+U_{ee}(n)+U_{XC}(n)=T_{KS}(n)+\frac{e^2}{2}\int \int \frac{n(\vec{x})n(\vec{x}')}{|\vec{x}-\vec{x}'|}d^3xd^3x'+U_{XC}(n)[/latex]

und somit

[latex] E(n)=T_{KS}(n)+\frac{e^2}{2}\int \int \frac{n(\vec{x})n(\vec{x}')}{|\vec{x}-\vec{x}'|}d^3xd^3x'+U_{XC}(n)+\int V_{ext}(\vec{x})n(\vec{x})d^3x [/latex].

Unter Beachtung der Nebenbedingung

[latex]\int n(\vec{x})d^3x=N[/latex]

folgt nun mit Variation
 
[latex]\delta L=\delta T_{KS}(n)+\frac{e^2}{2}\int \int \frac{\delta n(\vec{x})n(\vec{x}')+\delta n(\vec{x}')n(\vec{x})}{|\vec{x}-\vec{x}'|}d^3xd^3x'+\delta U_{XC}(n)+\int V_{ext}(\vec{x})\delta n(\vec{x})d^3x -\mu \delta (\int n(\vec{x})d^3x-N)=0[/latex]

was zusammengefasst

[latex] \delta E(n)-\mu \delta(\int n(\vec{x})d^3x-N)[/latex]

entspricht.

Unter Nutzung von

[latex]\delta E(n)=\int \frac{E(n)}{\delta n(\vec{x})}\delta n(\vec{x})d^3x[/latex]

folgt dann

[latex]\int \frac{E(n)}{\delta n(\vec{x})}\delta n(\vec{x})d^3x-\int \mu \delta n(\vec{x})d^3x=0[/latex]

und daraus

[latex]\int \left(\frac{\delta E(n)}{\delta n(\vec{x})}-\mu\right)\delta n(\vec{x})  d^3x=0[/latex]

Schlussendlich landet man bei 
[latex]\frac{\delta E(n)}{\delta n}=\mu=\frac{\delta T_{KS}(n)}{\delta n}+e^2\int \frac{n(\vec{x}')}{|\vec{x}-\vec{x}'|}d^3x'+\frac{\delta U_{XC}(n)}{\delta n}+V_{ext}(\vec{x})[/latex]

Das Endergebnis soll nun laut Buch mit der allgemeinen Form

[latex] \mu=\frac{\delta T_{KS}(n)}{\delta n}+V_{KS}(\vec{x})[/latex]

verglichen werden und daraus die Form von

[latex]V_{KS}(\vec{x})=e^2\int \frac{n(\vec{x}')}{|\vec{x}-\vec{x}'|}d^3x'+\frac{\delta U_{XC}(n)}{\delta n}+V_{ext}(\vec{x})[/latex]

abgelesen werden.

Was dabei für mich nicht ganz klar ist, ist die Herleitung von

[latex] \mu=\frac{\delta T_{KS}(n)}{\delta n}+V_{KS}(\vec{x})[/latex]

die laut Buch unter Nutzung von

[latex]\left<\vec{x}|H_{KS}|\phi_j \right> =-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \phi_j(\vec{x})+V_{KS}(\vec{x})\phi_j(\vec{x})[/latex]

folgen soll. Ausgeführt ist dies im Buch aber nicht. Ich habs unten mal probiert. Bin mir aber nicht sicher ob es so stimmt.

Wichtig zu erwähnen ist noch das H_KS nach meiner Einschätzung einmal als Ein-Teilchen-Operator gedacht ist und einmal als Summe von Ein-Teilchen Operatoren, was etwas verwirrend ist, da man es im Buch besser h_ks und H_KS hätte nennen sollen. Zumindest scheinen mir die im Buch verwendeten Formeln

[latex]\left<\psi|H_{KS}|\psi\right>=\sum\limits_{j=1}^N \int \phi_j^*(\vec{x}_i)\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\phi_j(\vec{x}_i)+V_{KS}(\vec{x}_i)\phi_j(\vec{x}_i))\right)d^3x_i[/latex]

und

[latex]\left<\vec{x}|H_{KS}|\phi_j \right> =-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \phi_j(\vec{x})+V_{KS}(\vec{x})\phi_j(\vec{x})[/latex]

den Eindruck zu machen

[b]Meine Ideen:[/b]
Meine Idee soweit wäre

[latex] \left<\vec{x}|H_{KS}|\phi_j\right>=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\right)\nabla^2\phi_j(\vec{x})+V_{KS}(\vec{x})\phi_j(\vec{x}) [/latex]

von links mit

[latex]\phi_j^* [/latex]

zu multiplizieren und dann über alle j zu summieren. Dann hätte man

[latex]\sum\limits_{j=1}^N \phi_j^*(\vec{x})\left<\vec{x}|H_{KS}|\phi_j\right>=\sum\limits_{j=1}^N \phi_j^*(\vec{x})\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\right)\nabla^2\phi_j(\vec{x})+\sum_{j=1}^N \phi_j^*(\vec{x})V_{KS}(\vec{x})\phi_j(\vec{x}) [/latex]

und man könnte mit

[latex] n(\vec{x})=\sum\limits_{j=1}^N |\phi_j(\vec{x})|^2 [/latex]

schon mal zu

vereinfachen. Wenn man dies noch integriert erhält man

[latex]\int\sum\limits_{j=1}^N \phi_j^*(\vec{x})\left<\vec{x}|H_{KS}|\phi_j\right>d^3x=\int\sum\limits_{j=1}^N \phi_j^*(\vec{x})\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\right)\nabla^2\phi_j(\vec{x})d^3x+\int V_{KS}(\vec{x})n(\vec{x})d^3x[/latex]

Das sollte dann

[latex]\left<\psi|H_{KS}|\psi\right>=\left<\psi|T_{KS}|\psi\right>+\int V_{KS}(\vec{x})n(\vec{x})d^3x[/latex]

entsprechen, denn im Buch ist

[latex]\left<\psi|T_{KS}|\psi\right>=\sum\limits_{j=1}^N \int \phi_j^*(\vec{x}_i)\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_i^2\phi_j(\vec{x}_i)\right)d^3x_i[/latex]

gegeben. Ich müsste dann nur wieder die Indizes i an die x und das Nabla machen.

Das ganze müsste dann wiederum

[latex] E(n)=T_{KS}(n)+\int V_{KS}(\vec{x})n(\vec{x})d^3x[/latex]

entsprechen.

Und der Rest dann wie zuvor unter der Annahme

[latex]\int n(\vec{x})d^3x=N[/latex]

und mit Variation. Also

[latex]\delta L=\delta T_{KS}(n)+\int V_{KS}(\vec{x})\delta n(\vec{x})d^3x-\mu\delta\left(\int n(\vec{x})d^3x-N\right)[/latex]

Mit 
[latex]\delta N=0[/latex]

und dann wieder

[latex]\delta E(n)-\mu\int\delta n(\vec{x})d^3x=0[/latex]

Woraus mit

[latex]\delta E(n)=\int\frac{\delta E(n)}{\delta n(\vec{x})}\delta n(\vec{x})d^3x[/latex]

folgt

[latex]\int\frac{\delta T_{KS}(n)}{\delta n}\delta nd^3x+\int V_{KS}(\vec{x})\delta n(\vec{x})d^3x-\mu\int \delta n(\vec{x})d^3x=0[/latex]

und somit

[latex]\int\left(\frac{\delta T_{KS}(n)}{\delta n}+V_{KS}(\vec{x})-\mu\right)\delta n(\vec{x})d^3x=0[/latex]

und daraus schlussendlich

[latex]\mu=\frac{\delta T_{KS}(n)}{\delta n}+V_{KS}(\vec{x})[/latex]

Wenn da jemand netterweise drauf gucken könnte, könnte man sich sicher sein, dass es stimmt.

[color=blue]LaTeX korrigiert, zweiten Beitrag deswegen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen [/color][/quote]

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