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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="TomS"]Zum Begriff der Information, Informationserhaltung etc. in der Quantenmechanik:

Zunächst mal veranschaulichen wir die [b]Information[/b], die ein Zustandsvektor gemäß dem mathematischen Formalismus der Quantenmechanik trägt, mittels eines Zeigers auf einem Zifferblatt. Leider handelt es sich dabei nicht um eine eindimensionale Kreislinie, sondern um eine unendlich-dimensionale Kugeloberfläche in einem abstrakten Raum, dem sogenannten Hilbertraum; allerdings gelten viele Begriffe wie Längen, Winkel, Satz des Pythagoras, Cosinus-Satz ... fast identisch.

Der Zustandsvektor alleine trägt keine Information, dies ist erst zusammen mit Markierungen wie auf dem Zifferblatt der Fall. Die Information steckt dann in der Position des Zustandsvektor [i]bezüglich[/i] dieser Markierungen.

Bezeichnet wir den auf die Länge Eins normierten Zustandsvektor (einen Einheitsvektor) als psi und die Markierungen als mittels n=1,2… nummerierten Einheitsvektoren u_n, so führt dies vermöge des Skalarproduktes • auf die Zwischenwinkel

[latex]\psi_n = u_n \cdot \psi = \cos\alpha_{\psi,n}[/latex]

In der Quantenmechanik verwendet man für die Zustandsvektoren und deren Skalarprodukt die äquivalente Schreibweise nach Dirac

[latex]\psi_n = \langle u_n | \psi \rangle = \cos\alpha_{\psi,n} [/latex]

Aus dem Formalismus der Quantenmechanik folgt, dass die üblicherweise verwendeten Markierungen untereinander immer 90°-Winkel einschließen, d.h. Orthonormalsysteme bzw. [i]Basen[/i] definieren. Die o.g. Koeffizienten psi_n sind gerade die Koordinaten von psi bzgl. dieser Basis, d.h. es gilt

[latex]|\psi\rangle = \sum_n \psi_n \, |u_n\rangle[/latex]

Die Wellenfunktion ist dabei als Spezialfall enthalten, hier ist es jedoch einfacher, mit Vektoren zu argumentieren.

Die Information steckt in der Position des Zustandsvektors bzgl. einer derartigen Basis und damit in diesen Koeffizienten (Koordinaten). Die Wahl einer Basis folgt rein praktischen Gesichtspunkten; es gibt unendlich viele verschiedene Basen, wobei die Darstellungen bzgl. verschiedener Basen eindeutig ineinander umgerechnet werden können.

Die [b]Informationserhaltung[/b] entspricht dem zentralen Begriff der [b]unitären Zeitentwicklung[/b] eines quantenmechanischen Zustandsvektors. Dies bedeutet, dass der Zustandsvektor psi als Funktion der Zeit t eine Kurve auf der oben eingeführten Oberfläche überstreicht. Die Gleichung, die die Zeitentwicklung von psi definiert, ist gerade die Schrödingergleichung. Für jedes Quantensystem [i]existiert genau eine Größe[/i], der so genannte [i]Zeitentwicklungsoperator[/i] U(t), der diese Dynamik [i]exakt[/i] beschreibt; dies entspricht einer formalen Lösung der Schrödingergleichung

[latex]|\psi(t)\rangle = U(t, t_0) \, |\psi(t_0)\rangle[/latex]

Diese Zeitentwicklung ist [b]deterministisch[/b] und [b]unitär[/b].

Letzteres bedeutet, sie ändert die Länge (bzw. das Quadrat der Länge) des Zustandsvektors nicht

[latex]\langle \psi(t) | \psi(t) \rangle = \sum_n |\psi_n(t)|^2 = 1[/latex]

Beides zusammen bedeutet, sie ist [b]eindeutig invertierbar[/b]

[latex]|\psi(t_0)\rangle = U^{-1}(t, t_0) \, |\psi(t)\rangle = U^\dagger(t, t_0) \, |\psi(t)\rangle [/latex]

wobei ich die zentrale Eigenschaft

[latex]U^{-1} = U^\dagger[/latex]

unitärer Operatoren verwende.

D.h., [i]wenn wir psi zu einem Zeitpunkt kennen, und wenn U bekannt ist, dann können wir psi zu beliebigen früheren oder späteren Zeiten berechnen[/i]. Damit kennen wir auch für alle Zeiten die Positionen bezüglich der Markierungen

[latex]|\psi(t)\rangle = \sum_n \psi_n(t) \, |u_n\rangle[/latex]

[latex]\psi_n(t) = \langle u_n | \psi(t)\rangle [/latex]

Konsequenz: Für den Spezialfall der [b]Wellenfunktionen[/b] betrachtet man in vielen Fällen eine Zerlegung analog zur Fourier-Reihe; damit folgt

[latex]\psi(x,t) = \sum_n \psi_n(t) \, u_n(x)[/latex]

wobei die psi_n wieder die bisherigen Koeffizienten darstellen, und die u_n(x) den Wellenfunktionen entsprechen, die zu den abstrakten Vektoren u_n gehören.

Weitere Konsequenz: Verwenden wir für das selbe physikalische System zwei verschiedene möglichen Zustände psi und chi als Anfangsbedingungen zum selben Zeitpunkt und betrachten dazu die Zeitentwicklung

[latex]|\psi(t)\rangle = U(t, t_0) \, |\psi(t_0)\rangle[/latex]

[latex]|\chi(t)\rangle = U(t, t_0) \, |\chi(t_0)\rangle[/latex]

so können wir den Winkel, den die beiden Zustandsvektoren miteinander einschließen, für alle Zeiten berechnen

[latex]\cos\alpha_{\psi,\chi} = \langle \psi(t) | \chi(t) \rangle [/latex]

Setzen wir ein, so erhalten wir

[latex]\cos\alpha_{\psi,\chi}(t) = \langle \psi(t_0) | \, U^\dagger (t, t_0) \, U(t, t_0) \, | \chi(t_0) \rangle) [/latex]

Mittels der o.g. Eigenschaft folgt sofort

[latex]U \, U^\dagger = U^\dagger \, U = 1[/latex]

und damit

[latex]\cos\alpha_{\psi,\chi}(t) = \cos\alpha_{\psi,\chi}(t_0) [/latex]

d.h. der Winkel ändert sich nicht.

Damit folgt insbs., [i]dass verschiedene Zustände immer verschieden bleiben[/i].

Betrachtet man zu einem bestimmten Zeitpunkt beliebig viele Zustandsvektoren und diejenigen Kurven, die sie auf der unendlich-dimensionalen Kugeloberfläche überstreichen, so schneiden sich je zwei dieser Kurven nie zum selben Zeitpunkt. Betrachten wir einen Bereich d.h. eine Untermenge M der Kugeloberfläche, so findet man, dass die Fläche A(M) und die Form von M invariant unter U sind.

In welchen Fällen kommt es zum [b]Informationsverlust[/b] bzw. einer [b]Verletzung der Unitarität[/b]? Dazu später mehr ...[/quote]

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