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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="TomS"]Was du hier tust ist, Erwartungswerte in zwei verschiedenen Darstellungen zu berechnen. Die Fouriertransformation ist dabei eine unitäre Transformation zwischen diesen Darstellungen, die die Norm und die Erwartungswerte invariant lässt. Das Prinzip, zwischen Darstellungen wechseln zu können, gilt auch für andere Darstellungen und Transformationen, aber die die hier diskutierten sind natürlich weit verbreitet. Wichtig ist, zu verstehen, dass es sich bei einem Erwartungswert – z.B. dem des Impulses – immer um [i]ein und das selbe Objekt[/i] handelt, das lediglich in [i]verschiedenen Darstellungen[/i] berechnet wird; der Erwartungswert ist aber [i]unabhängig[/i] von der Wahl der Darstellung, die zur Berechnung herangezogen wird, weil die Transformation zwischen den Darstellungen unitär.

Soweit ok?

[quote="OkTennis"][latex] \left< f (\vec{r},\vec{p}) \right> =  \int d^3 r \,  \psi^*(\vec{r},t) f( \vec{r},  -  \mathrm{i} \hbar  \nabla_{r} ) \psi(\vec{r},t)  [/latex]

Ich sehe  nicht,  wie  man diesen Ausdruck in analoger Weise zeigen kann. [/quote]
Kann man im Allgemeinen auch nicht.

Nochmal zu meiner Anmerkung oben: mir gefällt deine Notation nicht, weil man nicht unterscheidet zwischen dem abstrakten Operator r bzw. p, und der Koordinate r, die der Wahl der Darstellung geschuldet ist.

Besser:

[latex] \left< f (\vec{r},\vec{p}) \right> =  \int d^3 x \,  \psi^*(\vec{x},t) f( \vec{x},  -  \mathrm{i} \hbar  \nabla_{x} ) \psi(\vec{x},t)  [/latex]

Ist dir klar, was ich damit meine?

Eine Darstellung ist für eine bestimmte Berechnung dann besonders gut geeignet, wenn der zu betrachtende Operator eine einfache Form annimmt. Dies ist für den Ortsoperator in der Ortsdarstellung dadurch gegeben, dass er durch die Multiplikation mit der Ortskoordinate repräsentiert wird.

Für Operatoren f(r,p), die aus beiden Operatoren r und p konstruiert werden, kannst du im Allgemeinen nicht erwarten, dass eine Darstellung existiert, in der f(r,p) bzw. beide einzeln eine derart einfache Form annehmen. Siehe mein oben genanntes Beispiel des Drehimpulsoperators: wählst du, die Ortsdarstellung, so wird der Impulsoperator durch die bekannte Ableitung dargestellt, wählst du die Impulsdarstellung, so wird der Ortsoperator durch eine Ableitung dargestellt.

Ist so.

Ausblick: Es gibt weitere Darstellungen, die gegebenenfalls besser geeignet sind. Im Falle des Drehimpulsoperators (zuletzt in Ortsdarstellung)

[latex] L_i = \sum_{kl} \epsilon_{ikl} \,  x_k \, p_l = \sum_{kl} \epsilon_{ikl} \, x_k \, ( -i\hbar \partial_l) [/latex]

musst du dich für eine Komponent entscheiden, die du besonders einfach darstellen willst (die Komponenten des Drehimpulsoperators vertauschen untereinander nicht, deswegen funktioniert das nicht für alle drei Komponenten gemeinsam). Üblicherweise wählt man die z-Komponente. Anstelle die Wellenfunktionen durch eine Fourier-Transformation darzustellen – das entspricht der Entwicklung nach (verallgemeinerten) [b]Eigenfunktionen des Impulsoperators[/b] in Ortsdarstellung – wählt man eine Darstellung mittels [b]Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators[/b]:

[latex] \psi(\vec{r}) =  \sum_{n} \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^{+l} \psi_{nlm} \, R_{nl}(r) \, Y_{lm}(\theta, \phi) [/latex]

[latex] L_3 \, Y_{lm} = m \, Y_{lm} [/latex]

[latex] \vec{L}^2 \, Y_{lm} = l(l+1) \, Y_{lm} [/latex]

Dabei verwendet man Kugelkoordinaten, bei Y handelt es sich um die Kugelflächenfunktionen, für die Funktionen R besteht noch eine Wahlfreiheit. Die Wirkung der Drehimpulskomponenten für x und y sind etwas komplizierter. Im Falle rotationssymmetrischer Probleme wie z.B. für Zentralpotentiale ist das eine sehr gebräuchliche Darstellung, da sich viele Berechnungen auf lineare Algebra reduzieren.

Achtung: Während speziell die Drehimpulsoperatoren in dieser Darstellung einfach werden, ist die Anwendung der Operatoren r und p für sich betrachtet extrem hässlich!

[b]There ain't no such thing as a free lunch.[/b]

Ein wesentlicher Anteil vieler Rechnungen in der Quantenmechanik besteht gerade darin, eine geeignete Darstellung zu finden, in der die auftretenden Operatoren bzw. die Berechnung Ihrer Matrixelemente eine besonders einfache Form annehmen.[/quote]

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