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[quote="OkTennis"]Danke erstmal. Wie beweise ich [latex] \left| \left< \vec{S} \right> \right| \propto |\vec{E}|^2 [/latex] ? Fuer ebene Wellen ist es klar. Aber aus den Oeffnungen des Doppelspalts gehen leider keine ebene Wellen aus...[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Mai 2025 06:44<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>OkTennis hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Danke erstmal. <br /> <br /> <br />Wie beweise ich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \left| \left< \vec{S} \right> \right| \propto |\vec{E}|^2 "> ? <br /> <br />Fuer ebene Wellen ist es klar. Aber aus den Oeffnungen des Doppelspalts gehen leider keine ebene Wellen aus...</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Aus der Konstruktion des Energie-Impuls-Tensors ist klar, dass die Feldstärke F in jeder Komponente des Tensors quadratisch eingeht. Und aus den Lösungen der Maxwellschen Gleichungen im Vakuum ist klar, dass die Beträge von E und B zueinander proportional sind; anders ausgedrückt, wenn E und B Lösungen sind, dann erhält man mittels zweier Konstanten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E \to E^\prime = \epsilon E"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?B \to B^\prime = \beta B"> <br /> <br />neue Lösungen i.A. nur für <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\beta = \pm \epsilon"> <br /> <br />Außerdem stehen E- und B-Feld senkrecht, d.h. Mischterme verschwinden <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E \cdot B = 0"> <br /> <br />Damit ist man schon nahe an der gesuchten Proportionalität, bis auf die räumliche Abhängigkeit der Felder. Diese entspricht im vorliegenden Fall in einem kleinen Kegel jedoch einer ebenen Welle plus Korrekturen. <br /> <br />Also sollte auch die Proportionalität bis auf diese Korrekturen gelten. <br /> <br />Die Näherung ebener Wellen für Multipolstrahlung ist in einem kleinen Kegel ja sicher vernünftig.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>OkTennis</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Mai 2025 22:49<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke erstmal. <br /> <br /> <br />Wie beweise ich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \left| \left< \vec{S} \right> \right| \propto |\vec{E}|^2 "> ? <br /> <br />Fuer ebene Wellen ist es klar. Aber aus den Oeffnungen des Doppelspalts gehen leider keine ebene Wellen aus...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Mai 2025 06:59<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich komme bis heute Abend nicht dazu, mir das anzuschauen. <br /> <br /> <br />Vorab zu den <span style="font-weight: bold">Kugelwellen</span>: <br /> <br />Die einfache, von dir vorgeschlagene Welle ist keine Kugelwelle, wenn dein E_0 konstant ist. Wird das so irgendwo so vorgeschlagen? <br /> <br />Für Kugelwellen eines Vektorfeldes gilt folgender topologischer Satz: <br /> <br /><span style="font-style: italic">Auf einer n-Sphäre existiert für gerades n kein tangentiales, überall stetiges und zugleich nirgends verschwindendes Vektorfeld. </span> <br /> <br />Was du als Kugelwelle konstruieren möchtest, wäre aber so etwas: zunächst das radiale Ortsvektorfeld, auf dem ein in jedem Punkt orthogonales E-Feld konstruiert wird, das dann in diesem Punkt tangential auf der Oberfläche der dort gedachten Kugelschalen ist. Ist dies gegeben, erscheint das Feld in der Umgebung dieses Punktes bzw. innerhalb eines Kegels mit kleinem Öffnungswinkel wie eine radial auslaufende Welle, mit orthogonal zur Ausbreitungsrichtung weisenden elektrischen und magnetischen Feldern. Diese Definition einer Kugelwelle erlaubt Lösungen der Maxwell-Gleichungen. <br /> <br />Um die Maxwellschen Gleichungen zu erfüllen, darf das Feld keine Radialkomponente aufweisen, und es muss über die Oberfläche seine Richtung ändern <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{E} \cdot \vec{r} = 0"> <br /> <br />d.h. der Vektor weist in theta- und/oder phi-Richtung. <br /> <br />Um dem o.g. "<span style="font-style: italic">Satz vom Igel</span>" für die 2-dim. Kugeloberfläche zu entgehen, muss das E-Feld über die Kugeloberfläche seinen Betrag ändern, es wird sogar Nullstellen aufweisen. <br /> <br />Derartige Lösungen erscheinen innerhalb genügend kleiner Kegel* und in großer Entfernung jedoch wie ebene Wellen, Feldstärke ~ 1/r, Richtung konstant, also ähnlich wie dein Ansatz. <br /> <br />* nicht in allen Kegeln, insbs. nicht in denen mit Nullstellen. <br /> <br /> <br />Zum <span style="font-weight: bold">Poynting-Vektor</span>: <br /> <br />Typische Lösungen weisen folgende Form auf: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{E} = f(r) \, \hat{n}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\left| \vec{E} \right|^2 = f^2"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\left\langle \vec{S} \right\rangle \sim f^2 \, \hat{r}"> <br /> <br />Beides führt demnach – bis auf Proportionalitäskonstanten – auf den selben Betrag.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>OkTennis</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Mai 2025 22:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Aus einer Oeffnung geht die Kugelwelle <br /> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \vec{E}(\vec{r},t) = \frac{\vec{E}_0}{r}e^{ \mathrm{i} ( kr - \omega t)} "> <br /> <br /> <br />aus. Wenn wir annehmen, dass Vakuum ist, muss gelten: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? div\vec{E} = 0 \longrightarrow \vec{E}_0 \cdot \vec{r} = 0 "> <br /> <br />Diese Bedingung ist aber fuer einen konstanten Vektor E_0, der nicht der Nullvektor ist, und beliebige r nicht erfuellbar. Das gilt auch fuer die Beziehung div B = 0 . <br /> <br /> <br /> <br />Mein eigentliches Problem ist: <br /> <br /> <br />Die Intensitaet ist definiert als <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? I = |<\vec{S}>| "> <br /> <br /> <br />Im Zusammenhang mit dem Doppelspaltexperiment wird in diversen Buechern und Onlineartikeln <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? I = |\vec{E}|^2 "> <br /> <br />oder <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? I \propto |\vec{E}|^2 "> <br /> <br /> <br />angegeben. Ich sehe nicht, wie dieser Ausdruck mit der obigen Definition vereinbar ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Mai 2025 22:19<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>OkTennis hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Aber die Kugelwellen erfuellen nicht die Maxwellgleichungen …</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Natürlich erfüllen Kugelwellen die Maxwellgleichungen. <br /> <br />Es gibt nicht einen Typ von Lösungen (ebene Wellen) sondern unendlich viele.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>OkTennis</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Mai 2025 19:02<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Im Fall von ebenen Wellen gilt fuer das B-Feld die Beziehung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \vec{B} = \vec{k} \times \vec{E} "> <br /> <br />Das folgt aus den MAxwellgleichungen. <br /> <br />Aber die Kugelwellen erfuellen nicht die Maxwellgleichungen, deshalb kann ich den Ausdruck <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B} "> <br /> <br />gar nicht auswerten, da ich keinen Ausruck fuer B habe? <br /> <br />Mein Problem ist: <br /> <br /> <br />Die Intensitaet ist definiert als <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? I = |<\vec{S}>| "> <br /> <br /> <br />Jedoch wird die Intensitaet in Zusammenhang mit dem Doppelspaltexperiment als <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? I = |\vec{E}|^2 "> <br /> <br />angegeben, und ich sehe nicht wie diese Beziehung mit der Definition vereinbar ist...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Mai 2025 18:00<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Der Poynting-Vektor ist für jedes elektromagnetische Feld mittels dessen Energie-Impuls-Tensor definiert. <br /> <br /><a href="https://en.m.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_stress%E2%80%93energy_tensor" target="_blank">https://en.m.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_stress%E2%80%93energy_tensor</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>OkTennis</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Mai 2025 16:58<span class="gen"> </span> Titel: Intensitaet Doppelspalt</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo zusammen, <br /> <br /> <br />Die Intensitaet einer Welle ist definiert als den Betrag des zeitlich gemittelten Poynting-Vektors : <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? |< \vec{S}> | "> <br /> <br /> <br />Fuer eine ebene Welle <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \vec{E} = \vec{E}_0 e^{ \mathrm{i} ( \vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t) } "> <br /> <br />laesst sich dieser Ausdruck auch formal auswerten und man erhaelt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? I = \frac{1}{2} \epsilon_0 c |\vec{E}_0|^2 = c <w> "> <br /> <br /> <br />wobei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <w> "> die zeitliche gemittelte Energiedichte des elektromagnetischen Felds der ebenen Welle ist. <br /> <br /> <br />Kommen wir nun zu meinem Problem: <br /> <br /> <br />Bei einem Doppelspalt geht von jeder Oeffnung nach dem Huygenschen Prinzip eine Kugelwelle aus: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \vec{E}_1(\vec{r},t) = \frac{\vec{E}_0}{r_1}e^{ \mathrm{i} ( kr_1 - \omega t)} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \vec{E}_2(\vec{r},t) = \frac{\vec{E}_0}{r_2}e^{ \mathrm{i} ( kr_2 - \omega t)} "> <br /> <br /> <br /> <br />r_1 und r_2 sind die Abstaende vom betrachteten Punkt <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \vec{r} "> auf dem Schirm zu den Oeffnungen 1 und 2. <br /> <br /> <br />In diversen Lehrbuechern wird die Intensitaet als Betragsquadrat des Felds angegeben: <br /> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? I = |\vec{E}_1 + \vec{E}_2|^2 "> <br /> <br />bzw fuer den Fall dass z.B. Oeffnung 2 zu ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? I = |\vec{E}_1|^2 "> <br /> <br /> <br /> <br />Ich sehe jedoch nicht wie die hier angegebene Intensitaet mit der Definition <br /> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? I = |< \vec{S}> | "> <br /> <br /> <br />zusammenhaengt. Kugelwellen erfuellen ja nicht die Maxwellbeziehungen, also kann man fuer diese gar keinen Poynting-Vektor (anders als bei ebenen Wellen) angeben, oder? <br /> <br /> <br />Was hat es nun mit diesen beiden, mir unterschiedlich erscheinenden, Definitionen der Intensitaet auf sich? <br /> <br /> <br />Vielen Dank fuer Eure Hilfe!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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