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[quote="TomS"]Das klingt sehr spannend, aber dazu muss ich nachfragen. Lokal ist die Topologie doch klar, d.h. es liegt eine Karte einer 4-dim. pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit mit einer entsprechenden Geometrie vor. Oder siehst du da schon ein Problem? Oder siehst die erst dann ein Problem, wenn du verschiedene Karten kompatibel zusammenkleben möchtest? Es ist ja auch nicht so, dass sich die Mannigfaltigkeit ausschließlich aus der Lösung ergibt, zumindest im Falle global hyperbolischer Mannigfaltigkeiten folgt die Mannigfaltigkeit aus der Anfangsbedingung auf einer raumartigen 3-dim. Mannigfaltigkeit (wobei du deine Frage dann auf letztere anwenden könntest). Dann: Nehmen wir an, wir hätten bereits einen Satz kompatibler Karten (nicht notwendigerweise bereits einen vollständigen Atlas), dann ist die Mannigfaltigkeit (bzw. Untermannigfaltigkeit) ja bereits gegeben, d.h. wir reden nicht mehr von einer Lösung der Einsteinschen Feldgleichung, sondern lediglich von der Berechnung des Energie-Impuls-Tensors auf Basis der gegebenen Mannigfaltigkeit. Damit stellt sich keine mathematische Frage nach der Topologie oder der Geometrie der Mannigfaltigkeit, lediglich eine physikalische, nämlich, ob der so gewonnene Energie-Impuls-Tensors sinnvoll ist. Ich glaube, ich habe noch nicht wirklich verstanden, worauf du hinauswillst.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Mai 2025 12:45<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ja, genau. <br /> <br />Deshalb hat man immer einen Satz kompatibler Karten, darüber braucht man sich keine Sorgen zu machen. <br /> <br />Was man nicht automatisch hat sind zulässigen globalen Topologien. <br /> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Shape_of_the_universe#Global_universal_structure" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Shape_of_the_universe#Global_universal_structure</a> <br /> <br />Ich denke aber nicht, dass man dazu abschließend etwas sagen kann, denn dazu müssten die möglichen globalen Topologien von glatten 4-Mannigfaltigkeiten, die lokal Signatur (+---) haben, erst mal vollständig klassifiziert sein. Ich denke, dass ist noch offen. <br /> <br />Geroch hat nach meiner Erinnerung dazu etwas gezeigt, aber wohl Bedingungen für lokale Aussagen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Mai 2025 11:25<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Lokal ist die Topologie doch klar, d.h. es liegt eine Karte einer 4-dim. pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit mit einer entsprechenden Geometrie vor. Oder siehst du da schon ein Problem? <br /> <br />Oder siehst die erst dann ein Problem, wenn du verschiedene Karten kompatibel zusammenkleben möchtest?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Okay ich habe mir jetzt etwas Gedanken gemacht und denke ich verstehe es jetzt schon etwas besser. Wenn ich die Feldgleichungen lösen möchte nehme ich ja <span style="font-style: italic">immer</span> zuerst eine Karte an. Das heißt die Lösung gilt nur in der Domain der Karte und dort ist der Raum stets homeomorph zu einer Untermenge des R^4.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Mai 2025 17:35<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Das klingt sehr spannend, aber dazu muss ich nachfragen. <br /> <br />Lokal ist die Topologie doch klar, d.h. es liegt eine Karte einer 4-dim. pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit mit einer entsprechenden Geometrie vor. Oder siehst du da schon ein Problem? <br /> <br />Oder siehst die erst dann ein Problem, wenn du verschiedene Karten kompatibel zusammenkleben möchtest? <br /> <br />Es ist ja auch nicht so, dass sich die Mannigfaltigkeit ausschließlich aus der Lösung ergibt, zumindest im Falle global hyperbolischer Mannigfaltigkeiten folgt die Mannigfaltigkeit aus der Anfangsbedingung auf einer raumartigen 3-dim. Mannigfaltigkeit (wobei du deine Frage dann auf letztere anwenden könntest). <br /> <br />Dann: Nehmen wir an, wir hätten bereits einen Satz kompatibler Karten (nicht notwendigerweise bereits einen vollständigen Atlas), dann ist die Mannigfaltigkeit (bzw. Untermannigfaltigkeit) ja bereits gegeben, d.h. wir reden nicht mehr von einer Lösung der Einsteinschen Feldgleichung, sondern lediglich von der Berechnung des Energie-Impuls-Tensors auf Basis der gegebenen Mannigfaltigkeit. Damit stellt sich keine mathematische Frage nach der Topologie oder der Geometrie der Mannigfaltigkeit, lediglich eine physikalische, nämlich, ob der so gewonnene Energie-Impuls-Tensors sinnvoll ist. <br /> <br />Ich glaube, ich habe noch nicht wirklich verstanden, worauf du hinauswillst.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Mai 2025 16:07<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Dazu habe ich auch noch eine Frage: <br /> <br />weiß man denn ob zu jeder Lösung der Feldgleichungen auch ein topologischer Raum existiert, der mit dieser Metrik verträglich ist? <br /> <br />Beispielsweise ist ja die euklidische Metrik nicht mit eine topologischen Sphäre verträglich. Ist also überhaupt klar ob jede Metrik, die sich als Lösung der Gleichungen ergibt, auf einen topologischen Raum passt?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Apr 2025 19:09<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die Dynamik der ART macht zur Topologie kaum eine Aussage. <br /> <br /> <br />Man setzt meist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M^{(4)} = \mathbb{R} \times M^{(3)} "> <br /> <br />so dass man – ausgehend von einer global hyperbolischen 4-dim. Mannigfaltigkeit – ein vernünftiges Cauchy-Problem auf einer 3-dim. raumartigen Untermannigfaltigkeit definieren kann. Das ist aber nicht zwingend notwendig, man betrachtet auch allgemeinere Modelle wie z.B. das Gödel-Universum, das geschlossene zeitartige Kurven zulässt. <br /> <br /> <br />Für eine global hyperbolische Mannigfaltigkeit sollte die Dynamik die Topologie der 3-dim. Untermannigfaltigkeit respektieren. Das ist im Falle von Singularitäten nicht gegeben, man kann im Gegenteil sogar beweisen, dass Singularitäten unter sehr allgemeinem Bedingungen auftreten müssen (Penrose, Hawking). <br /> <br /> <br />Die Dynamik der ART trifft nur lokale Aussagen. Tatsächlich ist ein und die selbe lokale Geometrie auf der raumartigen Untermannigfaltigkeit mit verschiedenen Topologien vertäglich; ein 3-dim. überall flacher Raum kann sowohl global mit einem euklidischen Raum identisch sein, als auch zu einem flachen 3-Torus kompaktifiziert sein; die Dynamik, d.h. in der Kosmologie die Friedmann-Gleichungen, ist bzw. sind zunächst <span style="font-style: italic">identisch</span>. Ähnliches gilt für viele andere Modelle. <br /> <br /> <br />Schaut man genauer hin, sagt die Dynamik der ART vorher, dass die Topologie sozusagen theoretisch messbare Fingerabdrücke hinterlässt, nämlich in Form von Gravitationswellen als Schwingungen des gesamten Universums, die sich z.B. der Materiedichte und damit der Hintergrundstrahlung einprägen. Man kann tatsächlich genügend kleine kompaktifizierte 3-Räume ausschließen, jedoch nicht jenseits einer gewissen Größe. <br /> <br /><a href="http://www.scholarpedia.org/article/Cosmic_Topology" target="_blank">http://www.scholarpedia.org/article/Cosmic_Topology</a> <br /><a href="https://en.m.wikipedia.org/wiki/Shape_of_the_universe" target="_blank">https://en.m.wikipedia.org/wiki/Shape_of_the_universe</a> <br /><a href="https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hearing_the_shape_of_a_drum" target="_blank">https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hearing_the_shape_of_a_drum</a> <br /> <br /> <br />Ich hoffe, das hilft erst mal weiter.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>OmegaPirat</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Apr 2025 18:04<span class="gen"> </span> Titel: Topologie in ART?</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die ART bindet den Energie Impulstensor an die Metrik der Raumzeit, d.h. die intrinsische Geometrie. <br />In wie weit macht die ART überhaupt Aussagen über die topologische Struktur der Raumzeit? Bleibt das in der Theorie weitgehend unbestimmt? <br />Kann man nicht mal sagen ob die Raumzeit topologisch zusammenhängend ist? <br />Anhand der intrinsischen Geometrie könnte ich jetzt auch nicht unterscheiden, ob die Raumzeit such wie eine Ebene erstreckt oder wie ein Zylinder aufgerollt ist. <br />Ist das ein Anzeichen dafür, dass die Theorie unvollständig ist? <br />Was sind in der ART die offenen Mengen die die Topologie definieren? <br /> <br />Vielen Dank schonmal[/list]</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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